גם וגם — כפל · הסתברות · כיתה ט׳

הסיכוי שאטוס לארצות הברית הוא $\frac{1}{5}$ . הסיכוי שאטוס לדובאי הוא $\frac{1}{7}$ .

אני רוצה לטוס גם לארצות הברית וגם לדובאי. מה הסיכוי?

\begin{aligned}P &= \frac{1}{5} \times \frac{1}{7} \\ &= \frac{1}{35}\end{aligned}

המילה «וגם» מתורגמת לכפל.

זה הגיוני: אני דורש שני דברים במקום אחד, ולכן הסיכוי קטן. $\frac{1}{35}$ קטן גם מ- $\frac{1}{5}$ וגם מ- $\frac{1}{7}$ .

בכפל שברים התוצאה תמיד קטנה משני השברים. זו הבדיקה: אם קיבלתם מספר גדול יותר אחרי «וגם» — הפעלתם את הפעולה הלא נכונה.

שתי הטלות של קובייה

מטילים קובייה פעמיים. מה הסיכוי לקבל 6 בשתי ההטלות?

מטילים קובייה שלוש פעמים. מה ההסתברות לקבל 6 בכל שלוש ההטלות?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1}{216}$ — שלוש דרישות, שלוש פעמים כופלים: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{216}$ . כל דרישה נוספת מקטינה את הסיכוי פי 6.

הכפל עובד כששני האירועים אינם משפיעים זה על זה. ההטלה השנייה לא זוכרת את הראשונה.

מטילים מטבע פעמיים. מה ההסתברות לשני «עץ»?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1}{4}$ — חצי כפול חצי: מתוך ארבעה צירופים (עץ-עץ, עץ-פלי, פלי-עץ, פלי-פלי) רק אחד מתאים. ב«וגם» של מאורעות בלתי תלויים כופלים.

תרגילים

תרגיל 1

הסיכוי לטיסה לארצות הברית הוא 1/5, והסיכוי לטיסה לדובאי הוא 1/7. מה הסיכוי ששניהם יקרו? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.028571

הפתרון:

\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}

«וגם» — כופלים

= \frac{1}{35} = 0.028571

ומצמצמים

התוצאה קטנה משני השברים — סימן שהפעולה נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הסיכוי לקבל 6 בהטלה הראשונה של קובייה הוא 1/6, והסיכוי לקבל 6 בהטלה השנייה הוא 1/6. מה הסיכוי ששניהם יקרו? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.027778

הפתרון:

\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

«וגם» — כופלים

= 0.027778

ומחשבים

שתי דרישות במקום אחת — הסיכוי קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הסיכוי ל«עץ» במטבע הראשון הוא 1/2, והסיכוי ל«עץ» במטבע השני הוא 1/2. מה הסיכוי ששניהם יקרו? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

«וגם» — כופלים

= 0.25

ומחשבים

שתי דרישות במקום אחת — הסיכוי קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הסיכוי לזכות בהגרלה הראשונה הוא 1/3, והסיכוי לזכות בהגרלה השנייה הוא 1/4. מה הסיכוי ששניהם יקרו? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.083333

הפתרון:

\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

«וגם» — כופלים

= 0.083333

ומחשבים

שתי דרישות במקום אחת — הסיכוי קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הסיכוי לטוס לארה״ב הוא $\frac{1}{5}$ ולדובאי $\frac{1}{7}$ . מה הסיכוי לטוס לשני היעדים?

$\frac{7}{5}$
$\frac{1}{35}$
$\frac{12}{35}$
$\frac{2}{12}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{1}{35}$

הפתרון:

\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

«וגם» — כפל

$\frac{12}{35}$ היא התשובה לשאלה עם «או» — שאלה אחרת לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אחרי חישוב של «וגם», ההסתברות שקיבלנו גדולה משתי ההסתברויות המקוריות. מה זה אומר?

צריך לחלק ב-2
יש טעות
צריך להחסיר 1
הכול תקין

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יש טעות

הפתרון:

\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} < \frac{1}{7}

כפל שברים מקטין

כנראה חוברו השברים במקום שהוכפלו. «וגם» תמיד מקטין

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מטילים שתי קוביות: מה ההסתברות לקבל 6 בשתיהן? (כתבו מכנה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

שני מאורעות בלתי תלויים: מכפילים את ההסתברויות. המכנים נכפלים זה בזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מטילים מטבע וקובייה: הסתברות ל«עץ וגם 6»? (מכנה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

מטבע וקובייה אינם משפיעים זה על זה — ולכן כפל, לא חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שלושה מטבעות: הסתברות לשלושה «עץ»? (מכנה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

שלוש הטלות בלתי תלויות: הכפל חוזר שלוש פעמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מתי מותר לכפול הסתברויות?

כשהמאורעות בלתי תלויים
אף פעם
תמיד
כשהם זרים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כשהמאורעות בלתי תלויים

הפתרון:

\text{בלתי תלויים}

תוצאה אחת לא משפיעה על השנייה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שני מאורעות בלתי תלויים: $P(A) = \frac{1}{2}$ ו- $P(B) = \frac{1}{3}$ . לכן ההסתברות שגם $A$ וגם $B$ יקרו היא $\frac{5}{6}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

«וגם» — כופלים

חיברו במקום לכפול. «וגם» תמיד קטן משני הסיכויים, ו- $\frac{5}{6}$ גדול משניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: האם הניסוי הראשון משנה את הסיכויים בניסוי השני?

לא משנה — מותר לכפול כרגיל
משנה

מטבע, ואחריו קובייה
שני כדורים מאותה שקית, בלי החזרה
שני כדורים מאותה שקית, עם החזרה
שני קלפים מחפיסה, בלי להחזיר את הראשון
שתי הטלות של אותה קובייה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מטבע, ואחריו קובייה — לא משנה — מותר לכפול כרגיל · שתי הטלות של אותה קובייה — לא משנה — מותר לכפול כרגיל · שני כדורים מאותה שקית, עם החזרה — לא משנה — מותר לכפול כרגיל · שני כדורים מאותה שקית, בלי החזרה — משנה · שני קלפים מחפיסה, בלי להחזיר את הראשון — משנה

הפתרון:

\frac{3}{5} \to \frac{2}{4}

בלי החזרה השקית משתנה

קובייה ומטבע לא זוכרים כלום. שקית בלי החזרה «זוכרת»: הכדור שיצא כבר לא בפנים — על זה היחידה «עם החזרה ובלי החזרה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מטילים מטבע וקובייה. מה ההסתברות לקבל «עץ» וגם מספר זוגי? רשמו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{עץ}) &= \frac{1}{2} \\ \quad P(\text{זוגי}) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

כל ניסוי בנפרד

\begin{aligned}\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

«וגם» — כופלים

מתוך 12 הצירופים של מטבע וקובייה, 3 מתאימים: עץ-2, עץ-4, עץ-6. הטעות: לחבר ולקבל 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שתי הטלות של קובייה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev