שיטת ההצבה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

מערכת של ישר ופרבולה — כמה פתרונות ייתכנו?

להציג את התשובה והפתרון

0, 1 או 2 — כמספר נקודות החיתוך שראיתם בגרף. ולא יותר: ישר לא חותך פרבולה שלוש פעמים.

מהגרף לאלגברה

כשאף נעלם לא מבודד

ארבעה צעדים

11

מבודדים נעלם אחד מהמשוואה הפשוטה יותר — זו מהמעלה הראשונה.

22

מציבים אותו במשוואה השנייה. מקבלים משוואה ריבועית בנעלם אחד.

33

פותרים אותה — טרינום או נוסחת השורשים.

44

חוזרים למשוואה שבודדנו ומוצאים את הנעלם השני, לכל פתרון בנפרד.

פותרים את החידה

תרגילים

תרגיל 1

מהו אחד מפתרונות המערכת?

{x2+y2=253x+y=9\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 3x + y = 9 \end{cases}
  1. (3, 4)(3,\, 4)
  2. (4, 3)(4,\, 3)
  3. (4, −3)(4,\, -3)
  4. (−4, 3)(-4,\, 3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (4, −3)(4,\, -3)

הפתרון:

y=9−3xy = 9 - 3x

מבודדים

x2+(9−3x)2=25x^2 + (9-3x)^2 = 25

מציבים

5x2−27x+28=0⇒x=4\begin{aligned}5x^2 - 27x + 28 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

y=9−12=−3\begin{aligned}y &= 9 - 12 \\ &= -3\end{aligned}

וחוזרים ל-y

הפתרון השני הוא (1.4, 4.8)(1.4,\ 4.8). תמיד יש לבדוק את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הפתרון של המערכת?

{4y+x=04y2+x2=5\begin{cases} 4y + x = 0 \\ 4y^2 + x^2 = 5 \end{cases}
  1. (−2, 0.5) ו-(2, −0.5)(-2,\, 0.5) \text{ ו-} (2,\, -0.5)
  2. (1, 1)(1,\, 1)
  3. (2, 0.5)(2,\, 0.5)
  4. אין פתרון\text{אין פתרון}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (−2, 0.5) ו-(2, −0.5)(-2,\, 0.5) \text{ ו-} (2,\, -0.5)

הפתרון:

x=−4yx = -4y

מבודדים מהמשוואה הפשוטה

4y2+16y2=54y^2 + 16y^2 = 5

מציבים

20y2=5⇒y=±0.5\begin{aligned}20y^2 &= 5 \Rightarrow y \\ &= \pm 0.5\end{aligned}

ופותרים

x=∓2x = \mp 2

ולכל y מחשבים את ה-x שלו

שני זוגות, ובכל זוג הסימנים הפוכים — כי x=−4yx = -4y.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חידה. שני מספרים חיוביים: הסכום שלהם 7, וסכום הריבועים שלהם 25. מהו המספר הגדול? נסו לנחש!

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3+4=7    32+42=9+16=25\begin{aligned}3 + 4 &= 7 \; \\ \; 3^2 + 4^2 &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}

המספרים הם 3 ו-4

ניחשתם? יפה. אבל כשהתשובה היא 1.4 ו-4.8, ניחוש לא יעבוד — בסוף היחידה תפתרו את החידה בלי לנחש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזו שיטה מתאימה למערכת שבה משוואה אחת ריבועית?

  1. שיטת ההצבה
  2. חיבור שתי המשוואות
  3. אין שיטה
  4. שיטת השוואת מקדמים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שיטת ההצבה

הפתרון:

y=…⇒מציביםy = \ldots \Rightarrow \text{מציבים}

מבודדים מהפשוטה

ההצבה עובדת תמיד. השוואת מקדמים מצליחה רק כשהריבועים מתבטלים — וזה מקרה מיוחד, לא שיטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המערכת:

{x+y=0y2+x2=8\begin{cases} x + y = 0 \\ y^2 + x^2 = 8 \end{cases}
  1. (2, 2)(2,\, 2) ו-(−2, −2)(-2,\, -2)
  2. (−2, 2)(-2,\, 2) ו-(2, −2)(2,\, -2)
  3. (4, −4)(4,\, -4) בלבד
  4. אין פתרון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (−2, 2)(-2,\, 2) ו-(2, −2)(2,\, -2)

הפתרון:

x=−yx = -y

מבודדים מהפשוטה

y2+y2=8⇒y2=4\begin{aligned}y^2 + y^2 &= 8 \Rightarrow y^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

y=±2y = \pm 2

שני פתרונות

(−2, 2) , (2, −2)(-2,\, 2) \ , \ (2,\, -2)

וחוזרים ל-x

שימו לב לזוגות: כל yy עם ה-xx שלו, לא מעורבב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המערכת:

{x−2y=0x2+y2=20\begin{cases} x - 2y = 0 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}
  1. (4, 2)(4,\, 2) ו-(−4, −2)(-4,\, -2)
  2. (2, 4)(2,\, 4) ו-(−2, −4)(-2,\, -4)
  3. (2, 1)(2,\, 1) בלבד
  4. (4, −2)(4,\, -2) ו-(−4, 2)(-4,\, 2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (4, 2)(4,\, 2) ו-(−4, −2)(-4,\, -2)

הפתרון:

x=2yx = 2y

מבודדים

4y2+y2=20⇒5y2=20\begin{aligned}4y^2 + y^2 &= 20 \Rightarrow 5y^2 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים — הריבוע חל גם על ה-2

y=±2y = \pm 2
(4, 2) , (−4, −2)(4,\, 2) \ , \ (-4,\, -2)

x = 2y

(2y)2=4y2(2y)^2 = 4y^2 ולא 2y22y^2 — זו הטעות שהתרגיל בודק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המערכת:

{x+y=7x2+y2=25\begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}
  1. אין פתרון
  2. (5, 2)(5,\, 2) ו-(2, 5)(2,\, 5)
  3. (7, 0)(7,\, 0) ו-(0, 7)(0,\, 7)
  4. (3, 4)(3,\, 4) ו-(4, 3)(4,\, 3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (3, 4)(3,\, 4) ו-(4, 3)(4,\, 3)

הפתרון:

y=7−xy = 7 - x

מבודדים

x2+(7−x)2=25x^2 + (7-x)^2 = 25

מציבים בסוגריים

2x2−14x+24=0⇒x2−7x+12=0\begin{aligned}2x^2 - 14x + 24 &= 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \\ &= 0\end{aligned}

מכנסים ומחלקים ב-2

(x−3)(x−4)=0(x-3)(x-4) = 0

טרינום

המערכת סימטרית ב-xx וב-yy — ולכן שני הזוגות הם אותם מספרים בסדר הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איך נראית התשובה הסופית של מערכת משוואות?

  1. ערך של yy בלבד
  2. ערך של xx בלבד
  3. מספר יחיד
  4. זוג סדור (x, y)(x,\, y) — או כמה זוגות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד זוג סדור (x, y)(x,\, y) — או כמה זוגות

הפתרון:

(x, y)(x,\, y)

נקודה במישור

הפתרון הוא נקודת מפגש של שני גרפים — ולנקודה יש שתי קואורדינטות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המערכת y=x2y = x^2 ו-y=4y = 4: כמה פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x=±2x = \pm 2

ישר אופקי מעל הקודקוד חותך את הפרבולה בשתי נקודות סימטריות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המערכת y=x2−2xy = x^2 - 2x ו-y=3y = 3: מהו הפתרון החיובי הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0

משווים, מסדרים לאפס, ומפרקים. שני פתרונות — בוחרים לפי השאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להכיר

תרגיל 11

פתרו את המערכת: y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 וגם y=x+3y = x + 3. מהו שיעור ה-xx הגדול מבין הפתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2+2x−3=x+3x^2 + 2x - 3 = x + 3

משווים — שני הביטויים הם אותו yy

x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0
(x+3)(x−2)=0(x+3)(x-2) = 0
x=2 או x=−3\begin{aligned}x &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ומהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך שבה x=2x = 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

y=2+3=5\begin{aligned}y &= 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בישר — הקל מבין השניים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 13

פתרו: 5x2−3y2=85x^2 - 3y^2 = 8 וגם x=yx = y. מהו הפתרון החיובי של xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

5x2−3x2=85x^2 - 3x^2 = 8

מציבים y=xy=x

2x2=82x^2 = 8
x=±2x = \pm 2
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לשחק ולבדוק

תרגיל 14

סדרו את שלבי הפתרון של מערכת ישר-פרבולה

  • מסדרים למשוואה ריבועית שווה לאפס
  • מציבים כל xx חזרה ומוצאים את ה-yy שלו
  • משווים בין שני הביטויים של yy
  • פותרים — בפירוק או בנוסחה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: משווים בין שני הביטויים של yy · מסדרים למשוואה ריבועית שווה לאפס · פותרים — בפירוק או בנוסחה · מציבים כל xx חזרה ומוצאים את ה-yy שלו

הפתרון:

כל xx מקבל את ה-yy שלו — נקודת חיתוך היא זוג, לא מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

המערכת y=3x2−2xy = 3x^2 - 2x וגם y=2−xy = 2 - x

המשוואה: 3x2−x−3x^2 - x - ____ =0= 0 , והפתרון השלם הוא x=x = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המשוואה: 3x2−x−3x^2 - x - 2 =0= 0 , והפתרון השלם הוא x=x = 1

הפתרון:

3x2−2x=2−x3x^2 - 2x = 2 - x
3x2−x−2=03x^2 - x - 2 = 0
(3x+2)(x−1)=0(3x+2)(x-1) = 0
x=1 או x=−23\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

כל מערכת ישר-פרבולה מגיעה לאותו מקום: משוואה ריבועית אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x=−4yx = -4y
4y2+(−4y)2=54y^2 + (-4y)^2 = 5
4y2−16y2=54y^2 - 16y^2 = 5
−12y2=5-12y^2 = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4y2−16y2=54y^2 - 16y^2 = 5 → 4y2+16y2=54y^2 + 16y^2 = 5

הפתרון:

(−4y)2=16y2(-4y)^2 = 16y^2

הריבוע חל גם על המינוס

(−4y)2(-4y)^2 חיובי. מכאן הכול התגלגל: ל-−12y2=5-12y^2 = 5 אין פתרון בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

התאימו כל מערכת למספר הפתרונות שלה

  • y=x2y = x^2 וגם y=4y = 4
  • y=x2y = x^2 וגם y=0y = 0
  • y=x2y = x^2 וגם y=−1y = -1
  • אין פתרון
  • זוג אחד
  • שני זוגות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=x2y = x^2 וגם y=4y = 4 — שני זוגות · y=x2y = x^2 וגם y=0y = 0 — זוג אחד · y=x2y = x^2 וגם y=−1y = -1 — אין פתרון

הפתרון:

x2=4    x2=0    x2=−1\begin{aligned}x^2 &= 4 \; \\ \; x^2 &= 0 \; \\ \; x^2 &= -1\end{aligned}

משווים בכל מערכת

ריבוע אינו שלילי: ל-x2=−1x^2 = -1 אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

המערכת y=x2y = x^2 וגם y=2x+3y = 2x + 3 נותנת x=3x = 3 או x=−1x = -1. השלימו את ה-yy של כל xx: פעם מהישר, ופעם מהפרבולה.

xxyy מהישר 2x+32x + 3yy מהפרבולה x2x^2
33________
−1-1________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33: 9, 9 · −1-1: 1, 1

הפתרון:

x=3  ⇒  y=2⋅3+3=9=32\begin{aligned}x &= 3 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 \cdot 3 + 3 \\ &= 9 \\ &= 3^2\end{aligned}

שתי המשוואות נותנות 9

x=−1  ⇒  y=2⋅(−1)+3=1=(−1)2\begin{aligned}x &= -1 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 \cdot (-1) + 3 \\ &= 1 \\ &= (-1)^2\end{aligned}

שתי המשוואות נותנות 1

כל xx מקבל את ה-yy שלו, והוא יוצא שווה בשתי המשוואות: זו הבדיקה. הזוגות: (3, 9)(3,\, 9) ו-(−1, 1)(-1,\, 1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

פתרונות המערכת y=x2y = x^2 וגם y=x+2y = x + 2 הם x=2x = 2 או x=−1x = -1. לכן הזוג (2, 1)(2,\, 1) הוא פתרון שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x=2  ⇒  y=2+2=4\begin{aligned}x &= 2 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 + 2 \\ &= 4\end{aligned}

ה-yy של x=2x = 2 הוא 4, לא 1

1≠221 \neq 2^2

הזוג (2, 1)(2,\, 1) לא מקיים את y=x2y = x^2

זה זוג מעורבב: ה-xx של נקודה אחת וה-yy של הנקודה השנייה. הפתרונות הם (2, 4)(2,\, 4) ו-(−1, 1)(-1,\, 1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

מאיזו משוואה כדאי לבודד נעלם? מיינו כל מערכת.

  • מהראשונה
  • מהשנייה
  • 2x+y=52x + y = 5 וגם y2−x2=3y^2 - x^2 = 3
  • x2−3y2=1x^2 - 3y^2 = 1 וגם x=2y+1x = 2y + 1
  • x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 וגם x−y=2x - y = 2
  • y=3−xy = 3 - x וגם x2+xy=6x^2 + xy = 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 וגם x−y=2x - y = 2 — מהשנייה · y=3−xy = 3 - x וגם x2+xy=6x^2 + xy = 6 — מהראשונה · 2x+y=52x + y = 5 וגם y2−x2=3y^2 - x^2 = 3 — מהראשונה · x2−3y2=1x^2 - 3y^2 = 1 וגם x=2y+1x = 2y + 1 — מהשנייה

הפתרון:

x−y=2  ⇒  x=y+2\begin{aligned}x - y &= 2 \;\Rightarrow\; x \\ &= y + 2\end{aligned}

מבודדים מהמשוואה שאין בה ריבועים

מבודדים תמיד מהמשוואה הפשוטה, זו מהמעלה הראשונה. מהריבועית היה יוצא שורש עם שני סימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת