מקרים מיוחדים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

כששתי המשוואות ריבועיות

אם שתיהן בצורת y=…y = \ldots, אין מה לבודד — משווים ביניהן ישירות, בדיוק כמו בנקודת חיתוך בין שני ישרים.

פתרו: y=x2+1y = x^2 + 1 וגם y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3. מה קורה לאיבר x2x^2?

להציג את התשובה והפתרון

משווים: x2+1=x2+2x−3x^2 + 1 = x^2 + 2x - 3.

האיבר x2x^2 מתבטל, ונשאר 1=2x−31 = 2x - 3. כלומר x=2x = 2, ונקודה אחת בלבד: (2, 5)(2,\ 5).

כשהאיבר x2x^2 מתבטל, יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת.

כשיש מכפלה

בסוף כל מערכת — מציבים את הזוג בחזרה בשתי המשוואות. זו הבדיקה היחידה שתופסת גם טעות אלגברית וגם זוג מעורבב.

בדרך: משוואה ריבועית חסרה

קיבלתם משוואה ריבועית בלי איבר חופשי, כמו x2−5x=0x^2 - 5x = 0. איך פותרים הכי מהר?

להציג את התשובה והפתרון

גורם משותף: x(x−5)=0x(x - 5) = 0, ולכן x=0x = 0 או x=5x = 5. בלי נוסחה.

x2−5x=0  ⇒  x(x−5)=0\begin{aligned}x^2 - 5x &= 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) \\ &= 0\end{aligned}

אין איבר חופשי: מוציאים גורם משותף. x=0x = 0 או x=5x = 5.

3x2=27  ⇒  x2=9  ⇒  x=±3\begin{aligned}3x^2 &= 27 \;\Rightarrow\; x^2 \\ &= 9 \;\Rightarrow\; x \\ &= \pm 3\end{aligned}

אין איבר עם xx: מבודדים את x2x^2, ואז שורש — עם שני סימנים. אם x2x^2 יוצא שלילי, אין פתרון.

תרגילים

תרגיל 1

מהם שיעורי ה-xx של פתרונות המערכת?

{y=x2+3x+8y=2x2+8x+2\begin{cases} y = x^2 + 3x + 8 \\ y = 2x^2 + 8x + 2 \end{cases}
  1. x=2 או x=3x = 2 \text{ או } x = 3
  2. x=6 או x=−1x = 6 \text{ או } x = -1
  3. x=−6 או x=1x = -6 \text{ או } x = 1
  4. אין פתרון\text{אין פתרון}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=−6 או x=1x = -6 \text{ או } x = 1

הפתרון:

x2+3x+8=2x2+8x+2x^2 + 3x + 8 = 2x^2 + 8x + 2

משווים בין שני ה-y

0=x2+5x−60 = x^2 + 5x - 6

מעבירים לאגף אחד

(x+6)(x−1)=0(x+6)(x-1) = 0

טרינום: מכפלה 6−, סכום 5

הזוגות המלאים: (−6, 26)(-6,\ 26) ו-(1, 12)(1,\ 12).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו אחד מפתרונות המערכת?

{xy=9(x+1)(y−3)=12\begin{cases} xy = 9 \\ (x + 1)(y - 3) = 12 \end{cases}
  1. (1, 9)(1,\, 9)
  2. (3, 3)(3,\, 3)
  3. (9, 1)(9,\, 1)
  4. (−1, −9)(-1,\, -9)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (1, 9)(1,\, 9)

הפתרון:

y=9x x≠0\begin{aligned}y &= \frac{9}{x} \\ \ x \neq 0\end{aligned}

מבודדים עם תחום הגדרה

x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0

אחרי הצבה, פתיחה וכפל ב-x

(x+3)(x−1)=0(x+3)(x-1) = 0

טרינום

הפתרון השני הוא (−3, −3)(-3,\ -3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במערכת שבה שתי המשוואות בצורת y=…y = \ldots, מה עושים?

  1. מחברים את המשוואות
  2. מבודדים xx מהראשונה
  3. משווים בין שני הביטויים
  4. מחלקים אחת בשנייה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג משווים בין שני הביטויים

הפתרון:

y=y⇒משוויםy = y \Rightarrow \text{משווים}

אותה נקודה, אותו y

בדיוק כמו נקודת חיתוך בין שני ישרים — רק שהתוצאה ריבועית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה נקודות חיתוך יש בין y=x2−4x+4y = x^2 - 4x + 4 ל-y=−x2+4x−4y = -x^2 + 4x - 4?

  1. אף לא אחת
  2. אינסוף
  3. שתיים
  4. אחת בדיוק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אחת בדיוק

הפתרון:

2x2−8x+8=02x^2 - 8x + 8 = 0
x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0
(x−2)2=0(x-2)^2 = 0

שורש כפול

x=2x = 2

נקודת השקה

שורש כפול = הפרבולות משיקות: נוגעות בנקודה אחת ונפרדות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ממערכת קיבלנו x=2x = 2 ו-x=−5x = -5. כמה זוגות פתרון יש?

  1. תלוי בסימן
  2. שניים
  3. אחד
  4. ארבעה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שניים

הפתרון:

x=2⇒y1    x=−5⇒y2\begin{aligned}x &= 2 \Rightarrow y_1 \; \\ \; x &= -5 \Rightarrow y_2\end{aligned}

כל x מוליד את ה-y שלו

שתי נקודות חיתוך בין שני הגרפים. אחד לכל ערך של xx

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איך בודקים שהפתרון נכון?

  1. מציבים את הזוג בשתי המשוואות
  2. בודקים שהתוצאה חיובית
  3. מציבים רק בראשונה
  4. אין דרך לבדוק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מציבים את הזוג בשתי המשוואות

הפתרון:

(x0, y0)∈שתי המשוואות(x_0,\, y_0) \in \text{שתי המשוואות}

הנקודה חייבת לקיים את שתיהן

זו גם הבדיקה שתופסת זוגות מעורבבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המערכת (מכפלה — פותחים סוגריים לפני שמציבים):

{xy=12(x+1)(y−1)=12\begin{cases} xy = 12 \\ (x+1)(y-1) = 12 \end{cases}
  1. (3, 4)(3,\, 4) ו-(−4, −3)(-4,\, -3)
  2. (12, 1)(12,\, 1) בלבד
  3. (2, 6)(2,\, 6) ו-(6, 2)(6,\, 2)
  4. (4, 3)(4,\, 3) ו-(−3, −4)(-3,\, -4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (3, 4)(3,\, 4) ו-(−4, −3)(-4,\, -3)

הפתרון:

xy−x+y−1=12xy - x + y - 1 = 12

פותחים סוגריים

12−x+y−1=1212 - x + y - 1 = 12

ומשתמשים ב-xy=12xy = 12 הנתון

y−x=1⇒y=x+1\begin{aligned}y - x &= 1 \Rightarrow y \\ &= x + 1\end{aligned}

נשארה משוואה פשוטה!

x(x+1)=12⇒x2+x−12=0\begin{aligned}x(x+1) &= 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בראשונה

(x+4)(x−3)=0(x+4)(x-3) = 0

x = 3 או x = −4

הטריק של הדוגמה: פותחים סוגריים, וה-xyxy כבר נתון — המערכת מתקפלת למשוואה פשוטה. בדיקה: (−4+1)(−3−1)=12(-4+1)(-3-1) = 12 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: x2=8xx^2 = 8x — כתבו את הפתרון שאינו אפס.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x(x−8)=0x(x - 8) = 0

אסור לחלק ב-x — מאבדים את הפתרון אפס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו: x2−100=0x^2 - 100 = 0 — הפתרון החיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

x2=100x^2 = 100

שורש נותן שני פתרונות. השאלה מבקשת את החיובי — אבל השלילי קיים גם הוא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו: 3x2=273x^2 = 27 — הפתרון החיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2=9x^2 = 9

קודם מחלקים במקדם כדי לבודד את x2x^2, ורק אז מוציאים שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

כמה פתרונות ל-x2+16=0x^2 + 16 = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x2=−16x^2 = -16

ריבוע לא שלילי

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x2=8xx^2 = 8x
x2x=8xx\frac{x^2}{x} = \frac{8x}{x}
x=8x = 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2x=8xx\frac{x^2}{x} = \frac{8x}{x} → x2−8x=0  ⇒  x(x−8)=0x^2 - 8x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 8) = 0

הפתרון:

x(x−8)=0  ⇒  x=0  או  x=8\begin{aligned}x(x - 8) &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 0 \;\text{או}\; x \\ &= 8\end{aligned}

גורם משותף, בלי לחלק

מי שמחלק ב-xx מאבד את הפתרון x=0x = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

פתרו את המערכת y=x2+4xy = x^2 + 4x וגם y=x2+2x+6y = x^2 + 2x + 6. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

x2+4x=x2+2x+6x^2 + 4x = x^2 + 2x + 6

משווים בין שני ה-yy

2x=6  ⇒  x=3\begin{aligned}2x &= 6 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

ה-x2x^2 מתבטל, ונשארת משוואה פשוטה

y=32+4⋅3=21\begin{aligned}y &= 3^2 + 4 \cdot 3 \\ &= 21\end{aligned}

מציבים באחת המשוואות

כשה-x2x^2 מתבטל יש נקודה אחת בלבד: (3, 21)(3,\, 21). בדיקה בשנייה: 9+6+6=219 + 6 + 6 = 21.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

למערכת y=x2+1y = x^2 + 1 וגם y=x2+5y = x^2 + 5 אין אף פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2+1=x2+5x^2 + 1 = x^2 + 5

משווים

1=51 = 5

ה-x2x^2 מתבטל, ונשאר שוויון שקר

שתי פרבולות זהות, אחת מוזזת 4 יחידות מעל השנייה: הן לא נפגשות. כשה-x2x^2 מתבטל יש לכל היותר נקודה אחת, ולפעמים אף לא אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

המערכת y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5 וגם y=3x2+4x−3y = 3x^2 + 4x - 3. משווים ומעבירים הכול לאגף ימין, ומקבלים 0=2x2+bx+c0 = 2x^2 + bx + c.

b=b = ____ ; c=c = ____ ; הפתרון החיובי: x=x = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b=b = 6 ; c=c = -8 ; הפתרון החיובי: x=x = 1

הפתרון:

x2−2x+5=3x2+4x−3x^2 - 2x + 5 = 3x^2 + 4x - 3

משווים

0=2x2+6x−80 = 2x^2 + 6x - 8

−2x-2x עובר כ-+2x+2x, ו-+5+5 עובר כ-−5-5

x2+3x−4=0  ⇒  (x+4)(x−1)=0\begin{aligned}x^2 + 3x - 4 &= 0 \;\Rightarrow\; (x + 4)(x - 1) \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב-2 ומפרקים

איבר שעובר לאגף השני מחליף סימן: 4x−(−2x)=6x4x - (-2x) = 6x, ו-−3−5=−8-3 - 5 = -8. הפתרונות: x=1x = 1 או x=−4x = -4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

פתרו את המערכת xy=6xy = 6 וגם (x−1)(y+1)=6(x - 1)(y + 1) = 6. בפתרון שבו xx חיובי — מהו yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

xy+x−y−1=6xy + x - y - 1 = 6

פותחים את הסוגריים

6+x−y−1=6  ⇒  y=x−1\begin{aligned}6 + x - y - 1 &= 6 \;\Rightarrow\; y \\ &= x - 1\end{aligned}

מציבים xy=6xy = 6 ונשארת משוואה פשוטה

x(x−1)=6  ⇒  x2−x−6=0\begin{aligned}x(x - 1) &= 6 \;\Rightarrow\; x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב-xy=6xy = 6

(x−3)(x+2)=0(x - 3)(x + 2) = 0

x=3x = 3 או x=−2x = -2

x=3  ⇒  y=3−1=2\begin{aligned}x &= 3 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

חוזרים ל-y=x−1y = x - 1

הפתרונות: (3, 2)(3,\, 2) ו-(−2, −3)(-2,\, -3). בדיקה: (3−1)(2+1)=6(3 - 1)(2 + 1) = 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת