תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

אחד-עשר תרגילים על כל הפרק: תכונות המלבן — הזוויות הישרות והאלכסונים השווים — ואיך מוכיחים שמרובע הוא מלבן. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במלבן שצלעותיו 8 ס״מ ו-15 ס״מ, מה אורך האלכסון, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

d2=82+152=289\begin{aligned}d^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &= 289\end{aligned}

משפט פיתגורס — הזווית בין הצלעות ישרה

d=17d = 17

מוציאים שורש

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM. נתון BD=26BD = 26 ס״מ. מה אורך MAMA, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

AC=BD=26\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 26\end{aligned}

האלכסונים במלבן שווים

MA=262=13\begin{aligned}MA &= \frac{26}{2} \\ &= 13\end{aligned}

והם חוצים זה את זה

ולכן MA=MB=MC=MD=13MA = MB = MC = MD = 13.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מקבילית שיש בה זווית ישרה אחת היא מלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠A=90°⇒∠C=90°\begin{aligned}\angle A &= 90° \Rightarrow \angle C \\ &= 90°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

∠B=∠D=180°−90°=90°\begin{aligned}\angle B &= \angle D \\ &= 180° - 90° \\ &= 90°\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°

זווית ישרה אחת במקבילית מכריחה את שלוש האחרות להיות ישרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM. נתון ∠MAB=25°\angle MAB = 25°. מה גודל ∠AMB\angle AMB, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 130

הפתרון:

MA=MBMA = MB

חצאי אלכסונים שווים במלבן

∠MBA=∠MAB=25°\begin{aligned}\angle MBA &= \angle MAB \\ &= 25°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

∠AMB=180°−25°−25°=130°\begin{aligned}\angle AMB &= 180° - 25° - 25° \\ &= 130°\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

המשולש AMBAMB שווה שוקיים — זו הירושה של האלכסונים השווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה מקבילית ABCDABCD שאלכסוניה נחתכים בנקודה OO. איזה נתון נוסף מוכיח שהיא מלבן?

  1. AB=BCAB = BC
  2. AO=OCAO = OC
  3. AC⊥BDAC \perp BD
  4. AC=BDAC = BD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד AC=BDAC = BD

הפתרון:

AC=BDAC = BD

מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן

אלכסונים מאונכים או צלעות סמוכות שוות הופכים מקבילית למעוין. ו-AO=OCAO = OC נכון בכל מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במלבן האלכסון הוא 25 ס״מ ואחת הצלעות 7 ס״מ. מה אורך הצלע השנייה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

x2=252−72=576\begin{aligned}x^2 &= 25^2 - 7^2 \\ &= 576\end{aligned}

משפט פיתגורס — האלכסון הוא היתר

x=24x = 24

מוציאים שורש

בדיקה: 72+242=49+576=625=2527^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מסך טלוויזיה בצורת מלבן. רוחבו 80 ס״מ וגובהו 60 ס״מ. גודל מסך מודדים לפי האלכסון. מה אורך האלכסון, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

d2=802+602=10000\begin{aligned}d^2 &= 80^2 + 60^2 \\ &= 10000\end{aligned}

משפט פיתגורס

d=100d = 100

מוציאים שורש

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

ABCMD
MM אמצע ACAC וגם אמצע BDBD — ו-ABCDABCD נסגר למרובע.

במשולש ABCABC נתון ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ, והנקודה MM היא אמצע היתר ACAC. ממשיכים את BMBM מעבר ל-MM עד נקודה DD כך ש-MD=BMMD = BM. הוכיחו: BM=AC2BM = \frac{AC}{2} — התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

  • ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ
  • MM אמצע ACAC
  • DD על המשך BMBM, ו-MD=BMMD = BM

BM=AC2BM = \frac{AC}{2}

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ — נתון
  2. MM אמצע ACAC — נתון
  3. DD על המשך BMBM, ו-MD=BMMD = BM — נתון
  4. AM=MCAM = MC — נקודת אמצע מחלקת את הקטע לשני קטעים שווים
  5. ABCDABCD מקבילית — מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
  6. ABCDABCD מלבן — מקבילית שבה זווית אחת ישרה היא מלבן
  7. BD=ACBD = AC — במלבן האלכסונים שווים
  8. BM=BD2BM = \frac{BD}{2} — MM אמצע BDBD, כי MD=BMMD = BM
  9. BM=AC2BM = \frac{AC}{2} — הצבה: BD=ACBD = AC

הפתרון:

AM=MCBM=MD\begin{aligned}AM &= MC \\ \quad BM &= MD\end{aligned}

MM אמצע של שני האלכסונים של ABCDABCD

ABCD מקביליתABCD \ \text{מקבילית}

האלכסונים חוצים זה את זה

∠ABC=90∘ ⇒ ABCD מלבן\angle ABC = 90^\circ \ \Rightarrow\ ABCD \ \text{מלבן}

מקבילית עם זווית ישרה

BD=AC ⇒ BM=BD2=AC2\begin{aligned}BD &= AC \ \Rightarrow\ BM \\ &= \frac{BD}{2} \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

במלבן האלכסונים שווים

הטריק הוא להשלים את המשולש למלבן. מכאן גם MA=MB=MCMA = MB = MC: אמצע היתר רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

היקף מלבן הוא 34 ס״מ, ואחת הצלעות 5 ס״מ. מה אורך האלכסון, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

2(5+x)=34⇒x=12\begin{aligned}2(5 + x) &= 34 \Rightarrow x \\ &= 12\end{aligned}

הצלע השנייה

d2=52+122=169\begin{aligned}d^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

משפט פיתגורס

d=13d = 13

מוציאים שורש

שני שלבים: קודם הצלע החסרה מההיקף, ורק אחריה האלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM. נתון ∠AMB=60°\angle AMB = 60° ו-BD=14BD = 14 ס״מ. מה אורך הצלע ABAB, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

MA=MB=142=7\begin{aligned}MA &= MB \\ &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

האלכסונים שווים וחוצים זה את זה

∠MAB=∠MBA=180°−60°2=60°\begin{aligned}\angle MAB &= \angle MBA \\ &= \frac{180° - 60°}{2} \\ &= 60°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

AB=MA=7\begin{aligned}AB &= MA \\ &= 7\end{aligned}

המשולש AMBAMB שווה צלעות

כל שלוש הזוויות במשולש AMBAMB הן 60°60°, ולכן כל צלעותיו שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שדה בעמק יזרעאל בצורת מלבן, באורך 120 מטר וברוחב 50 מטר. דני הולך מפינה לפינה הנגדית. בכמה מטרים הדרך קצרה יותר אם הוא הולך באלכסון, במקום לאורך שתי הצלעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

120+50=170120 + 50 = 170

הדרך לאורך שתי הצלעות

d=1202+502=16900=130\begin{aligned}d &= \sqrt{120^2 + 50^2} \\ &= \sqrt{16900} \\ &= 130\end{aligned}

האלכסון, לפי משפט פיתגורס

170−130=40170 - 130 = 40

ההפרש

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת