תכונות המלבן

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות.

הוא גם מקבילית. לכן כל תכונות המקבילית נכונות בו, ועוד שתיים משלו.

באיזו זווית המקבילית הפכה למלבן? ומה קרה אז לאלכסונים?

להציג את התשובה והפתרון

ב-90°90°. ואז שני האלכסונים שווים. בכל זווית אחרת, אלכסון אחד ארוך מהשני.

התכונות

במלבן האלכסונים שווים. אבל הם עדיין לא מאונכים: אלכסונים מאונכים הם תכונה של מעוין.

עודף תכונות שנדבקות למלבן בטעות.

AC⊥BDAC \perp BD
AC=BDAC = BD

במלבן האלכסונים שווים אבל אינם מאונכים — אלא אם המלבן הוא גם ריבוע.

מה מוסיף המלבן על המקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

זוויות ישרות — וכתוצאה מזה אלכסונים שווים. השוויון הזה הוא סימן ההיכר.

ארבעה חצאים שווים

האלכסונים חוצים זה את זה, וגם שווים זה לזה. לכן ארבעת החצאים שווים:

AO=BO=CO=DO\begin{aligned}AO &= BO \\ &= CO \\ &= DO\end{aligned}

לכן כל אחד מארבעת המשולשים סביב OO, כמו △AOB\triangle AOB, הוא שווה-שוקיים.

אלכסון המלבן 14 ס״מ. מה המרחק מ-OO לכל קודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

7 ס״מ. חצי אלכסון — ואותו מרחק לכל ארבעת הקודקודים.

אורך האלכסון

האלכסון חוצה את המלבן לשני משולשים ישרי-זווית. את אורכו מוצאים במשפט פיתגורס:

AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2

צלעות המלבן 8 ו-15. מה אורך האלכסון?

להציג את התשובה והפתרון

17. 82+152=64+225=2898^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, ו-289=17\sqrt{289} = 17.

תרגילים

תרגיל 1

במלבן שצלעותיו 6 ס״מ ו-8 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

AC2=62+82=100\begin{aligned}AC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=10AC = 10

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במלבן שצלעותיו 5 ס״מ ו-12 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

AC2=52+122=169\begin{aligned}AC^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=13AC = 13

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במלבן שצלעותיו 9 ס״מ ו-12 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

AC2=92+122=225\begin{aligned}AC^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=15AC = 15

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במלבן שצלעותיו 3 ס״מ ו-4 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

AC2=32+42=25\begin{aligned}AC^2 &= 3^2 + 4^2 \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=5AC = 5

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזו תכונה מבדילה מלבן ממקבילית כללית?

  1. האלכסונים שווים זה לזה
  2. הזוויות הנגדיות שוות
  3. הצלעות הנגדיות שוות
  4. האלכסונים חוצים זה את זה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א האלכסונים שווים זה לזה

הפתרון:

AC=BDAC = BD

רק במלבן

שלוש התשובות האחרות נכונות בכל מקבילית — הן לא מבדילות בין השתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האם האלכסונים במלבן מאונכים זה לזה?

  1. כן, תמיד
  2. רק אם הוא ארוך מאוד
  3. לא, אלא אם המלבן הוא גם ריבוע
  4. לא, אף פעם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא, אלא אם המלבן הוא גם ריבוע

הפתרון:

AC⊥BD⇔ריבועAC \perp BD \Leftrightarrow \text{ריבוע}

אנכיות שייכת למעוין

במלבן רגיל האלכסונים שווים, אבל נפגשים בזווית שאינה ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במלבן אלכסון 13 וצלע 5. מהי הצלע השנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

132−52=14413^2 - 5^2 = 144

פיתגורס — האלכסון יוצר משולש ישר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אלכסוני מלבן נחתכים. אלכסון שלם 20 — כמה מהמפגש לקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

20:2=1020 : 2 = 10

חוצים זה את זה — וגם שווים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

היקף מלבן 28 וצלע אחת 8. מהי השנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

14−8=614 - 8 = 6

חצי היקף פחות הצלע

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במלבן האלכסונים יוצרים עם הצלע זווית 35°. מהי הזווית בין האלכסון לצלע השנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55

הפתרון:

90−35=5590 - 35 = 55

האלכסון והצלעות יוצרים משולש ישר-זווית: שתי הזוויות החדות משלימות ל-90°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCD
שני אלכסוני המלבן.

נתון מלבן ABCDABCD. הוכיחו: AC=BDAC = BD.

  • ABCDABCD מלבן

AC=BDAC = BD

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מלבן — נתון
  2. AB=DCAB = DC — הצלעות הנגדיות במלבן שוות
  3. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB — כל זוויות המלבן ישרות
  4. BC=CBBC = CB — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. AC=BDAC = BD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB=DC∠ABC=∠DCB=90∘BC=CB\begin{aligned}AB &= DC \\ \quad \angle ABC &= \angle DCB \\ &= 90^\circ \\ \quad BC &= CB\end{aligned}

צלע, זווית, צלע

△ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB

צ.ז.צ

AC=BDAC = BD

צלעות מתאימות

הזוויות הישרות הן מה שמבדיל את המלבן: במקבילית כללית ∠ABC≠∠DCB\angle ABC \ne \angle DCB, והחפיפה נופלת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: מה נכון בכל מלבן, ומה לא בהכרח?

  • נכון בכל מלבן
  • לא בהכרח
  • האלכסון חוצה את זווית המלבן
  • האלכסונים חוצים זה את זה
  • האלכסונים מאונכים זה לזה
  • האלכסונים שווים זה לזה
  • הצלעות הנגדיות מקבילות
  • כל הזוויות ישרות
  • כל הצלעות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כל הזוויות ישרות — נכון בכל מלבן · האלכסונים שווים זה לזה — נכון בכל מלבן · האלכסונים חוצים זה את זה — נכון בכל מלבן · הצלעות הנגדיות מקבילות — נכון בכל מלבן · האלכסונים מאונכים זה לזה — לא בהכרח · כל הצלעות שוות — לא בהכרח · האלכסון חוצה את זווית המלבן — לא בהכרח

הפתרון:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°\begin{aligned}\angle A &= \angle B \\ &= \angle C \\ &= \angle D \\ &= 90°\end{aligned}

כל הזוויות ישרות

AC=BDAO=OC\begin{aligned}AC &= BD \\ \quad AO &= OC\end{aligned}

אלכסונים שווים וחוצים זה את זה

המלבן יורש את תכונות המקבילית (צלעות נגדיות מקבילות, אלכסונים חוצים) ומוסיף זוויות ישרות ואלכסונים שווים. אלכסונים מאונכים, צלעות שוות ואלכסון שחוצה זווית — אלה מתקיימים רק כשהמלבן הוא גם ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במלבן ABCDABCD הצלעות הן 9 ס״מ ו-12 ס״מ, והאלכסונים נחתכים בנקודה MM. מחשבים את MAMA — שורה אחת שגויה

AC2=92+122=225\begin{aligned}AC^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}
AC=15AC = 15
BD=AC=15\begin{aligned}BD &= AC \\ &= 15\end{aligned}
MA=BD=15\begin{aligned}MA &= BD \\ &= 15\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: MA=BD=15MA = BD = 15 → MA=AC2=7.5MA = \frac{AC}{2} = 7.5

הפתרון:

MA=152=7.5\begin{aligned}MA &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

MM היא נקודת החיתוך של האלכסונים, והם חוצים זה את זה. לכן MAMA הוא חצי אלכסון, לא אלכסון שלם: MA=7.5MA = 7.5 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM, ונתון ∠MAB=40°\angle MAB = 40°. אז ∠MBA=\angle MBA = ____ מעלות, ∠AMB=\angle AMB = ____ מעלות, ו-∠MBC=\angle MBC = ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM, ונתון ∠MAB=40°\angle MAB = 40°. אז ∠MBA=\angle MBA = 40 מעלות, ∠AMB=\angle AMB = 100 מעלות, ו-∠MBC=\angle MBC = 50 מעלות.

הפתרון:

∠MBA=∠MAB=40°\begin{aligned}\angle MBA &= \angle MAB \\ &= 40°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

∠AMB=180°−40°−40°=100°\begin{aligned}\angle AMB &= 180° - 40° - 40° \\ &= 100°\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠MBC=90°−40°=50°\begin{aligned}\angle MBC &= 90° - 40° \\ &= 50°\end{aligned}

∠ABC=90°\angle ABC = 90°

במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן MA=MBMA = MB והמשולש AMBAMB שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במלבן ABCDABCD נתון AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=5BC = 5 ס״מ, והאלכסונים נחתכים בנקודה MM. סדרו מהקצר לארוך

  • ABAB
  • ACAC
  • BCBC
  • MAMA
  • היקף המשולש AMBAMB
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: BCBC · MAMA · ABAB · ACAC · היקף המשולש AMBAMB

הפתרון:

AC=122+52=13\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 5^2} \\ &= 13\end{aligned}
MA=132=6.5\begin{aligned}MA &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

MA+MB+AB=6.5+6.5+12=25\begin{aligned}MA + MB + AB &= 6.5 + 6.5 + 12 \\ &= 25\end{aligned}

היקף △AMB\triangle AMB

5<6.5<12<13<255 < 6.5 < 12 < 13 < 25

קודם מחשבים את האלכסון בפיתגורס, ואז חצי ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCD
מלבן ABCD.

כל מלבן הוא גם מקבילית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AB∥DC,AD∥BCAB \parallel DC ,\quad AD \parallel BC

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות

נכון: במלבן הצלעות הנגדיות מקבילות, ולכן הוא מקבילית. ההפך לא נכון: לא כל מקבילית היא מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCD
מקבילית מוטה ושני האלכסונים שלה.

במקבילית שזוויותיה 60°60° ו-120°120°, שני האלכסונים שווים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC≈4.36BD=7\begin{aligned}AC \approx 4.36 \\ \quad BD &= 7\end{aligned}

מקבילית שצלעותיה 5 ו-3, וזווית DD בת 60°60°

לא נכון: האלכסונים שווים רק כשהזוויות ישרות. בזווית חדה, האלכסון שמול הזווית הקהה ארוך יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מיינו: מה נכון בכל מקבילית, ומה רק במלבן?

  • בכל מקבילית
  • רק במלבן
  • האלכסונים חוצים זה את זה
  • האלכסונים שווים זה לזה
  • הזוויות הנגדיות שוות
  • הצלעות הנגדיות שוות
  • כל הזוויות ישרות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הצלעות הנגדיות שוות — בכל מקבילית · האלכסונים חוצים זה את זה — בכל מקבילית · הזוויות הנגדיות שוות — בכל מקבילית · כל הזוויות ישרות — רק במלבן · האלכסונים שווים זה לזה — רק במלבן

הפתרון:

AC=BDAC = BD

שתי התכונות שהמלבן מוסיף: זוויות ישרות, ואלכסונים שווים

שלוש התכונות הראשונות הן ירושה מהמקבילית. מי שממיין את «האלכסונים חוצים» ל«רק במלבן» מבלבל בין חוצים לשווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCDO
מלבן ABCD ונקודת המפגש O.

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. אז AO=BOAO = BO.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AO=AC2BO=BD2\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \\ \quad BO &= \frac{BD}{2}\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

AC=BD⇒AO=BO\begin{aligned}AC &= BD \Rightarrow AO \\ &= BO\end{aligned}

והם שווים

נכון. במקבילית כללית AO=OCAO = OC בלבד; רק השוויון AC=BDAC = BD של המלבן נותן גם AO=BOAO = BO.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCDO
הזווית בין האלכסונים ליד הצלע AB היא 70°.

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO, ו-∠AOB=70°\angle AOB = 70°. מה גודל ∠OAB\angle OAB במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55

הפתרון:

AO=BOAO = BO

ארבעת החצאים שווים, ולכן △AOB\triangle AOB שווה-שוקיים

∠OAB=∠OBA=180°−70°2=55°\begin{aligned}\angle OAB &= \angle OBA \\ &= \frac{180° - 70°}{2} \\ &= 55°\end{aligned}

זוויות הבסיס שוות

הטעות הנפוצה היא 180°−70°=110°180° - 70° = 110°: שוכחים לחלק בין שתי זוויות הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

ABCD
מלבן שצלעותיו 40 ו-9, והאלכסון AC.

השלימו

צלעות המלבן 9 ו-40. אורך האלכסון הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: צלעות המלבן 9 ו-40. אורך האלכסון הוא 41

הפתרון:

AC2=92+402=81+1600=1681\begin{aligned}AC^2 &= 9^2 + 40^2 \\ &= 81 + 1600 \\ &= 1681\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABCABC

AC=1681=41\begin{aligned}AC &= \sqrt{1681} \\ &= 41\end{aligned}

מוציאים שורש

לא מחברים את הצלעות (4949): מחברים את הריבועים שלהן, ואז מוציאים שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת