תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

אחד-עשר תרגילים על כל הפרק: תכונות המעוין — הצלעות השוות והאלכסונים המאונכים — השטח והצלע לפי האלכסונים, ואיך מוכיחים שמרובע הוא מעוין. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

צלע של מעוין היא 7.5 ס״מ. מה היקף המעוין, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

4⋅7.5=304 \cdot 7.5 = 30

כל ארבע הצלעות במעוין שוות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעוין האלכסונים הם 11 ס״מ ו-8 ס״מ. מה השטח, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 44

הפתרון:

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

האלכסונים במעוין מאונכים

S=11⋅82=44\begin{aligned}S &= \frac{11 \cdot 8}{2} \\ &= 44\end{aligned}

מציבים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

האלכסונים בכל מעוין שווים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC⊥BDAC \perp BD

במעוין האלכסונים מאונכים; שווים זה לזה הם רק בריבוע

אלכסונים שווים הם תכונה של המלבן. מעוין שאלכסוניו גם שווים הוא כבר ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במעוין האלכסונים הם 18 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך הצלע, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

9, 129 ,\ 12

האלכסונים חוצים זה את זה — חצאי האלכסונים

a2=92+122=225\begin{aligned}a^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

משפט פיתגורס — האלכסונים מאונכים

a=15a = 15

מוציאים שורש

משתמשים בחצאי האלכסונים, לא באלכסונים השלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במעוין ABCDABCD נתון ∠A=50°\angle A = 50°. מה גודל ∠ABD\angle ABD, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

∠ABC=180°−50°=130°\begin{aligned}\angle ABC &= 180° - 50° \\ &= 130°\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°

∠ABD=130°2=65°\begin{aligned}\angle ABD &= \frac{130°}{2} \\ &= 65°\end{aligned}

האלכסון במעוין חוצה את הזווית

בדיקה במשולש שווה השוקיים ABDABD: 50°+65°+65°=180°50° + 65° + 65° = 180° ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה מקבילית ABCDABCD. איזה נתון נוסף מוכיח שהיא מעוין?

  1. AB=BCAB = BC
  2. ∠A=90°\angle A = 90°
  3. AC=BDAC = BD
  4. AB=DCAB = DC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א AB=BCAB = BC

הפתרון:

AB=BCAB = BC

שתי צלעות סמוכות שוות

AB=BC=CD=DA\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

יחד עם הצלעות הנגדיות השוות — כל הצלעות שוות

AB=DCAB = DC נכון בכל מקבילית. אלכסונים שווים או זווית ישרה הופכים אותה למלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

רצפת מרפסת בירושלים מכוסה באריחים בצורת מעוין. האלכסונים של כל אריח הם 20 ס״מ ו-30 ס״מ. כמה אריחים צריך כדי לכסות 6 מ״ר, בלי חיתוך ובלי רווחים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

20⋅302=300\frac{20 \cdot 30}{2} = 300

שטח אריח אחד, בסמ״ר

6⋅10000=600006 \cdot 10000 = 60000

ב-1 מ״ר יש 10000 סמ״ר

60000:300=20060000 : 300 = 200

מספר האריחים

הטעות הנפוצה כאן היא לשכוח להמיר מ״ר לסמ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

BCDAEF
שני הגבהים יוצאים מאותו קודקוד AA, אל שתי הצלעות הרחוקות ממנו.

במקבילית ABCDABCD מורידים מהקודקוד AA שני גבהים: AE⊥BCAE \perp BC ו-AF⊥CDAF \perp CD, כאשר EE על BCBC ו-FF על CDCD. נתון AE=AFAE = AF. הוכיחו: ABCDABCD מעוין.

  • ABCDABCD מקבילית
  • AE⊥BCAE \perp BC, ו-EE על BCBC
  • AF⊥CDAF \perp CD, ו-FF על CDCD
  • AE=AFAE = AF

ABCDABCD מעוין

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. AE⊥BCAE \perp BC, ו-EE על BCBC — נתון
  3. AF⊥CDAF \perp CD, ו-FF על CDCD — נתון
  4. AE=AFAE = AF — נתון
  5. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — במקבילית הזוויות הנגדיות שוות
  6. ∠AEB=∠AFD=90∘\angle AEB = \angle AFD = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה
  7. ∠BAE=∠DAF\angle BAE = \angle DAF — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  8. △ABE≅△ADF\triangle ABE \cong \triangle ADF — משפט חפיפה ז.צ.ז
  9. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  10. ABCDABCD מעוין — מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין

הפתרון:

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

זוויות נגדיות במקבילית

∠BAE=90∘−∠B=90∘−∠D=∠DAF\begin{aligned}\angle BAE &= 90^\circ - \angle B \\ &= 90^\circ - \angle D \\ &= \angle DAF\end{aligned}

סכום הזוויות במשולשים הישרים ABEABE ו-ADFADF

△ABE≅△ADF\triangle ABE \cong \triangle ADF

ז.צ.ז: ∠BAE=∠DAF\angle BAE = \angle DAF, AE=AFAE = AF, והזוויות הישרות

AB=ADAB = AD

צלעות מתאימות — שתי צלעות סמוכות

ABCD מעויןABCD \ \text{מעוין}

מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות

גבהים שווים מאותו קודקוד מכריחים צלעות שוות: שטח המקבילית הוא BC⋅AE=CD⋅AFBC \cdot AE = CD \cdot AF, ולכן BC=CDBC = CD — דרך שנייה להגיע לאותה מסקנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטח מעוין הוא 96 סמ״ר, ואחד האלכסונים 12 ס״מ. מה אורך הצלע, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

12⋅d2=96⇒d=16\begin{aligned}\frac{12 \cdot d}{2} &= 96 \Rightarrow d \\ &= 16\end{aligned}

האלכסון השני מנוסחת השטח

6, 86 ,\ 8

חצאי האלכסונים

a=62+82=10\begin{aligned}a &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

היקף מעוין הוא 52 ס״מ, ואחד האלכסונים 10 ס״מ. מה שטח המעוין, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

a=524=13\begin{aligned}a &= \frac{52}{4} \\ &= 13\end{aligned}

הצלע

132−52=12\sqrt{13^2 - 5^2} = 12

חצי האלכסון השני, לפי משפט פיתגורס

S=10⋅242=120\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

האלכסון השני הוא 2424

שלושה שלבים: צלע, חצי אלכסון, שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

תמרור בצורת מעוין ABCDABCD. צלעו 8 ס״מ, ונתון ∠BAD=60°\angle BAD = 60°. מה אורך האלכסון הקצר BDBD, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

AB=AD=8\begin{aligned}AB &= AD \\ &= 8\end{aligned}

צלעות המעוין שוות

∠ABD=∠ADB=180°−60°2=60°\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADB \\ &= \frac{180° - 60°}{2} \\ &= 60°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

BD=AB=8\begin{aligned}BD &= AB \\ &= 8\end{aligned}

המשולש ABDABD שווה צלעות

כשזווית המעוין היא 60°60°, האלכסון הקצר שווה לצלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת