איך מוכיחים שמרובע הוא מעוין

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

יש ארבע דרכים להוכיח שמרובע הוא מעוין, ומספיקה אחת.

נתון: ABCDABCD מקבילית, ו-AB=ADAB = AD. איזו דרך מתאימה?

להציג את התשובה והפתרון

השנייה: מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות. הצלעות הנגדיות כבר שוות, ולכן כל הארבע.

מאונכים לבד אינו מספיק

זו הנקודה שמפילה: דלתון הוא מרובע שאלכסוניו מאונכים, והוא אינו מעוין.

ההבדל: במעוין שני האלכסונים נחצים. בדלתון רק האלכסון הראשי חוצה את המשני.

⊥בלבד\perp \quad \text{בלבד}

דלתון — אלכסון אחד נחצה.

⊥+שניהם נחצים\perp \quad +\quad \text{שניהם נחצים}

מעוין — שני האלכסונים נחצים.

⊥+נחצים+שווים\perp \quad +\quad \text{נחצים} \quad +\quad \text{שווים}

ריבוע — ועוד תנאי אחד.

קיצור דרך שאינו עובד.

AC⊥BD⇒מעויןAC \perp BD \Rightarrow \text{מעוין}
AC⊥BD+חוצים⇒מעויןAC \perp BD \quad +\quad \text{חוצים} \Rightarrow \text{מעוין}

אנכיות לבדה מתקיימת בכל דלתון. בלי החצייה של שני האלכסונים, ההוכחה לא הוכיחה מעוין.

הוכחה מלאה

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, נתון AC⊥BDAC \perp BD, AO=OCAO = OC ו-BO=ODBO = OD. הוכיחו שהמרובע מעוין.

AC⊥BDAC \perp BD

AO=OCAO = OC

BO=ODBO = OD

ABCDABCD מעוין

AO=OCAO = OC, BO=ODBO = OD

נתון

ABCDABCD מקבילית

האלכסונים חוצים זה את זה

נתון

מקבילית שאלכסוניה מאונכים

שימו לב לסדר: קודם מקבילית, ורק אז מעוין. את האנכיות מוסיפים על בסיס שכבר הוכח.

מקבילית שאלכסוניה מאונכים — מה היא?

להציג את התשובה והפתרון

מעוין. זה אחד ממשפטי הזיהוי: מקבילית + אלכסונים מאונכים = מעוין.

איזו דרך לבחור?

בוחרים דרך לפי מה שנתון. קודם סורקים מה יש ביד.

תרגילים

תרגיל 1

נתון שהאלכסונים במרובע מאונכים בלבד. מה אפשר להסיק?

  1. המרובע ריבוע
  2. המרובע מעוין
  3. לא מספיק
  4. המרובע מלבן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא מספיק

הפתרון:

AC⊥BDנכון גם בדלתוןAC \perp BD \quad \text{נכון גם בדלתון}

תנאי חלקי

צריך להוסיף שגם שני האלכסונים חוצים זה את זה. ייתכן שזה דלתון

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה צירוף מוכיח שמרובע הוא מעוין?

  1. האלכסונים שווים בלבד
  2. האלכסונים מאונכים ושווים
  3. האלכסונים חוצים זה את זה בלבד
  4. האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה

הפתרון:

⊥+חוצים⇒מעוין\perp \quad +\quad \text{חוצים} \Rightarrow \text{מעוין}

הדרך השלישית

חוצים לבד = מקבילית. מאונכים ושווים + חוצים = ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הראינו שארבע הצלעות במרובע שוות. מה הוכחנו?

  1. שהוא ריבוע
  2. שהוא דלתון בלבד
  3. לא מספיק כדי להסיק
  4. שהוא מעוין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שהוא מעוין

הפתרון:

AB=BC=CD=DA⇒מעוין\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \Rightarrow \text{מעוין}\end{aligned}

הדרך הראשונה — ההגדרה

לריבוע חסרה עוד זווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במעוין הזווית ∠A=60°\angle A = 60°. מה גודל ∠B\angle B במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

∠A+∠B=180°\angle A + \angle B = 180°

מעוין הוא מקבילית — זוויות סמוכות משלימות

∠B=120°\angle B = 120°

ומחשבים

כל תכונות המקבילית עובדות גם במעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDO
האלכסונים מאונכים — נראה מה זה מכריח.

במקבילית ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD. הוכיחו כי ABCDABCD הוא מעוין.

  • ABCDABCD מקבילית
  • AC⊥BDAC \perp BD

ABCDABCD מעוין

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. AC⊥BDAC \perp BD — נתון
  3. BO=ODBO = OD — במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
  4. ∠AOB=∠AOD=90∘\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה
  5. AO=AOAO = AO — צלע משותפת לשני המשולשים
  6. △AOB≅△AOD\triangle AOB \cong \triangle AOD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  7. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. ABCDABCD מעוין — מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין

הפתרון:

BO=OD  ∠AOB=∠AOD=90∘  AO=AO\begin{aligned}BO &= OD \ \\ \ \angle AOB &= \angle AOD \\ &= 90^\circ \ \\ \ AO &= AO\end{aligned}

צלע, זווית, צלע

△AOB≅△AOD\triangle AOB \cong \triangle AOD

צ.ז.צ

AB=ADAB = AD

שתי צלעות סמוכות שוות

לב ההוכחה הוא שהמקבילית נתנה לנו את חציית האלכסונים בחינם. בלעדיה לא היה לנו BO=ODBO = OD, ולא הייתה חפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD
במעוין כל הצלעות שוות — זו נקודת המוצא.

במעוין ABCDABCD, הוכיחו כי האלכסון ACAC חוצה את הזווית ∠BAD\angle BAD.

  • ABCDABCD מעוין

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מעוין — נתון
  2. AB=ADAB = AD — במעוין כל הצלעות שוות
  3. CB=CDCB = CD — במעוין כל הצלעות שוות
  4. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AB=AD  CB=CD  AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD \ \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות שוות

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

זוויות מתאימות

שימו לב שההוכחה זהה לזו של הדלתון — כי מעוין הוא דלתון מיוחד, שבו גם הזוג השני של הצלעות שווה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית — מה היא?

  1. ריבוע
  2. טרפז
  3. מעוין
  4. מלבן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מעוין

הפתרון:

חוצה זווית→מעוין\text{חוצה זווית} \rightarrow \text{מעוין}

משפט זיהוי

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מרובע שכל צלעותיו שוות — בהכרח…

  1. דלתון
  2. מלבן
  3. ריבוע
  4. מעוין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מעוין

הפתרון:

4=4 =

ההגדרה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מה מבדיל מעוין ממלבן באלכסונים?

  1. במעוין מאונכים, במלבן שווים
  2. במעוין שווים
  3. במלבן מאונכים
  4. אין הבדל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א במעוין מאונכים, במלבן שווים

הפתרון:

⊥ מול =\perp \ \text{מול} \ =

במעוין האלכסונים מאונכים אך לא שווים; במלבן שווים אך לא מאונכים. בריבוע — גם וגם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

להוכחת מעוין מתוך מקבילית — מה מספיק?

  1. זווית ישרה
  2. שתי צלעות סמוכות שוות
  3. אלכסונים שווים
  4. שתי נגדיות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שתי צלעות סמוכות שוות

הפתרון:

סמוכות=\text{סמוכות} =

נגדיות שוות יש בכל מקבילית

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

האם הנתון מספיק כדי להוכיח שהמרובע הוא מעוין?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות
  • מקבילית שאלכסוניה מאונכים
  • מקבילית שאלכסוניה שווים
  • מרובע עם שתי צלעות סמוכות שוות
  • מרובע שאלכסוניו מאונכים
  • מרובע שאלכסוניו מאונכים וחוצים זה את זה
  • מרובע שכל צלעותיו שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מרובע שכל צלעותיו שוות — מספיק · מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות — מספיק · מקבילית שאלכסוניה מאונכים — מספיק · מרובע שאלכסוניו מאונכים וחוצים זה את זה — מספיק · מרובע שאלכסוניו מאונכים — לא מספיק · מקבילית שאלכסוניה שווים — לא מספיק · מרובע עם שתי צלעות סמוכות שוות — לא מספיק

הפתרון:

ABCD מקבילית, AC⊥BD⇒מעויןABCD \ \text{מקבילית} ,\ AC \perp BD \Rightarrow \text{מעוין}

מקבילית שאלכסוניה מאונכים

AC⊥BDAC \perp BD

לבד מתקיים גם בדלתון — לא מספיק

ארבעת הראשונים הם מדרכי ההוכחה של מעוין. אלכסונים מאונכים לבד מתקיימים גם בדלתון, וכך גם שתי צלעות סמוכות שוות. מקבילית עם אלכסונים שווים היא מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה מקבילית ABCDABCD שבה AB=BCAB = BC. מוכיחים שהיא מעוין — שורה אחת שגויה

ABCD מקבילית (נתון)ABCD \ \text{מקבילית} \ (\text{נתון})
AB=DC BC=AD (צלעות נגדיות במקבילית שוות)\begin{aligned}AB &= DC \\ \ BC &= AD \ (\text{צלעות נגדיות במקבילית שוות})\end{aligned}
AB=BC (נתון)AB = BC \ (\text{נתון})
AB=BC=CD=DA (משתי השורות הקודמות)\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \ (\text{משתי השורות הקודמות})\end{aligned}
ABCD מעוין (מקבילית שאלכסוניה מאונכים)ABCD \ \text{מעוין} \ (\text{מקבילית שאלכסוניה מאונכים})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ABCD מעוין (מקבילית שאלכסוניה מאונכים)ABCD \ \text{מעוין} \ (\text{מקבילית שאלכסוניה מאונכים}) → ABCD מעוין (מרובע שכל צלעותיו שוות)ABCD \ \text{מעוין} \ (\text{מרובע שכל צלעותיו שוות})

הפתרון:

AB=BC=CD=DA⇒ABCD מעוין\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \Rightarrow ABCD \ \text{מעוין}\end{aligned}

מרובע שכל צלעותיו שוות

בהוכחה לא נאמר דבר על האלכסונים, ולכן אי אפשר לנמק בהם. מה שהוכח הוא שכל ארבע הצלעות שוות — וזו ההגדרה של מעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

השלימו

במקבילית ABCDABCD נתון AB=2x+3AB = 2x + 3 ו-BC=4x−5BC = 4x - 5. המקבילית היא מעוין כאשר x=x = ____, ואז היקף המעוין הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במקבילית ABCDABCD נתון AB=2x+3AB = 2x + 3 ו-BC=4x−5BC = 4x - 5. המקבילית היא מעוין כאשר x=x = 4, ואז היקף המעוין הוא 44.

הפתרון:

2x+3=4x−5⇒x=4\begin{aligned}2x + 3 &= 4x - 5 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}
AB=2⋅4+3=11BC=4⋅4−5=11\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 4 + 3 \\ &= 11 \\ \quad BC &= 4 \cdot 4 - 5 \\ &= 11\end{aligned}
P=4⋅11=44\begin{aligned}P &= 4 \cdot 11 \\ &= 44\end{aligned}

מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין, ולכן דורשים AB=BCAB = BC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ABCD
AB=2x+1AB = 2x + 1, AD=x+4AD = x + 4.

במקבילית ABCDABCD נתון AB=2x+1AB = 2x + 1 ו-AD=x+4AD = x + 4. לאיזה xx המקבילית היא מעוין?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x+1=x+42x + 1 = x + 4

מקבילית עם צלעות סמוכות שוות היא מעוין

x=3x = 3

פותרים

AB=AD=7\begin{aligned}AB &= AD \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה

משווים צלעות סמוכות. ABAB ו-DCDC שוות בכל מקבילית, ומהן לא לומדים כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

האלכסונים של מרובע ABCDABCD מאונכים, ונחתכים בנקודה OO כך ש-BO=ODBO = OD. לכן המרובע הוא בהכרח מעוין.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC⊥BDBO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

רק האלכסון BDBD נחצה

AO≠OC⇒דלתוןAO \neq OC \Rightarrow \text{דלתון}

בלי AO=OCAO = OC, זה דלתון

לא נכון. זה דלתון: ACAC חוצה את BDBD, אבל BDBD לא חוצה את ACAC. למעוין צריך ששני האלכסונים ייחצו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מקבילית ABCDABCD שבה ∠A=90∘\angle A = 90^\circ וגם AC⊥BDAC \perp BD היא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AC⊥BD⇒מעויןAC \perp BD \Rightarrow \text{מעוין}

מקבילית שאלכסוניה מאונכים

∠A=90∘⇒ריבוע\angle A = 90^\circ \Rightarrow \text{ריבוע}

מעוין עם זווית ישרה

נכון. האנכיות נותנת מעוין, והזווית הישרה נותנת מלבן. מעוין שהוא גם מלבן הוא ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

איזה נתון מספיק כדי לקבוע שהמרובע ABCDABCD הוא מעוין? הנקודה OO היא נקודת החיתוך של האלכסונים.

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
  • גם AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • גם AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD
  • מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD
  • מקבילית ABCDABCD שבה AC⊥BDAC \perp BD
  • מקבילית ABCDABCD שבה AC=BDAC = BD
  • רק AC⊥BDAC \perp BD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA — מספיק · מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD — מספיק · מקבילית ABCDABCD שבה AC⊥BDAC \perp BD — מספיק · גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD — מספיק · רק AC⊥BDAC \perp BD — לא מספיק · גם AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — לא מספיק · מקבילית ABCDABCD שבה AC=BDAC = BD — לא מספיק · גם AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — לא מספיק

הפתרון:

AC⊥BDBO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

כך נראה גם דלתון

AC=BDAC = BD

במקבילית: מלבן, לא מעוין

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) מגדירים דלתון. למעוין צריך שכל הצלעות יהיו שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

התאימו כל נתון לדרך שהוא פותח

  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
  • מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD
  • גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD
  • מקבילית ABCDABCD שבה ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • הדרך הראשונה: ההגדרה
  • הדרך הרביעית: אלכסון חוצה זווית
  • הדרך השלישית: אלכסונים מאונכים
  • הדרך השנייה: צלעות סמוכות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA — הדרך הראשונה: ההגדרה · מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD — הדרך השנייה: צלעות סמוכות שוות · גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD — הדרך השלישית: אלכסונים מאונכים · מקבילית ABCDABCD שבה ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — הדרך הרביעית: אלכסון חוצה זווית

הפתרון:

AO=OC BO=OD⇒מקבילית\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

בדרך השלישית, החצייה נותנת את המקבילית

בשלוש הדרכים האחרונות «מקבילית» היא חצי מהתנאי. כשהיא לא כתובה, מחפשים אותה בנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCD
ACAC חוצה את ∠A\angle A. AB=5AB = 5.

במקבילית ABCDABCD האלכסון ACAC חוצה את ∠A\angle A, ו-AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המקבילית, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

∠BAC=∠DAC⇒מעוין\angle BAC = \angle DAC \Rightarrow \text{מעוין}

מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית

4⋅5=204 \cdot 5 = 20

כל הצלעות שוות ל-ABAB

לא 2⋅5+…2 \cdot 5 + \ldots: בלי לזהות מעוין, ADAD לא ידוע. הזיהוי הוא מה שנותן את שלוש הצלעות האחרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת