תכונות המעוין

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות.

מעוין הוא גם מקבילית. לכן הוא יורש את כל תכונותיה, ומוסיף עליהן.

במעוין ABCDABCD הצלע AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המעוין?

להציג את התשובה והפתרון

20 ס״מ. ארבע הצלעות שוות: 4⋅5=204 \cdot 5 = 20.

התכונות

נקפל את המעוין לאורך כל אחד מהאלכסונים. כל קיפול מגלה תכונות.

במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=80∘\angle BAD = 80^\circ. מה גודל ∠BAC\angle BAC?

להציג את התשובה והפתרון

40∘40^\circ. האלכסון ACAC חוצה את הזווית: 80∘2=40∘\frac{80^\circ}{2} = 40^\circ.

מאונכים, לא שווים

האלכסונים במעוין מאונכים אבל אינם שווים — אלכסונים שווים זו תכונה של מלבן. מעוין שאלכסוניו גם שווים הוא כבר ריבוע.

הבלבול הקבוע עם המלבן.

AC=BDAC = BD
AC⊥BDAC \perp BD

במעוין האלכסונים מאונכים, לא שווים. במלבן — הפוך בדיוק. זו ההבחנה שנבדקת בכל מבחן.

השטח

האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה. לכן הם חותכים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית חופפים.

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

כל משולש כזה ישר זווית: חצאי האלכסונים הם הניצבים, והצלע היא היתר.

במעוין האלכסונים הם 6 ו-8. מה אורך הצלע?

להציג את התשובה והפתרון

5. החצאים הם 3 ו-4, ו-32+42=25=523^2 + 4^2 = 25 = 5^2.

אלכסוני מעוין — שלוש תכונות?

להציג את התשובה והפתרון

חוצים זה את זה, מאונכים זה לזה, וחוצים את זוויות המעוין. השילוש שמזהה מעוין מיד.

תרגילים

תרגיל 1

במעוין האלכסונים הם 6 ס״מ ו-8 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

S=d1⋅d22=6⋅82\begin{aligned}S &= \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{2}\end{aligned}

נוסחת השטח לאלכסונים מאונכים

S=24S = 24

ומחשבים

הנוסחה עובדת בזכות האנכיות — ולכן היא נכונה גם בדלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעוין האלכסונים הם 10 ס״מ ו-24 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

S=d1⋅d22=10⋅242\begin{aligned}S &= \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \\ &= \frac{10 \cdot 24}{2}\end{aligned}

נוסחת השטח לאלכסונים מאונכים

S=120S = 120

ומחשבים

הנוסחה עובדת בזכות האנכיות — ולכן היא נכונה גם בדלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במעוין האלכסונים הם 12 ס״מ ו-16 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

S=d1⋅d22=12⋅162\begin{aligned}S &= \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \\ &= \frac{12 \cdot 16}{2}\end{aligned}

נוסחת השטח לאלכסונים מאונכים

S=96S = 96

ומחשבים

הנוסחה עובדת בזכות האנכיות — ולכן היא נכונה גם בדלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במעוין האלכסונים הם 6 ס״מ ו-8 ס״מ. מה אורך הצלע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

62=382=4\begin{aligned}\frac{6}{2} &= 3 \\ \quad \frac{8}{2} &= 4\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

a2=32+42=25\begin{aligned}a^2 &= 3^2 + 4^2 \\ &= 25\end{aligned}

והם מאונכים — פיתגורס

a=5a = 5

ומוציאים שורש

חצאי האלכסונים הם הניצבים, והצלע היא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במעוין האלכסונים הם 10 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך הצלע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

102=5242=12\begin{aligned}\frac{10}{2} &= 5 \\ \quad \frac{24}{2} &= 12\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

a2=52+122=169\begin{aligned}a^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

והם מאונכים — פיתגורס

a=13a = 13

ומוציאים שורש

חצאי האלכסונים הם הניצבים, והצלע היא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזו תכונה מבדילה מעוין ממקבילית כללית?

  1. האלכסונים מאונכים
  2. האלכסונים חוצים זה את זה
  3. האלכסונים שווים
  4. הזוויות הנגדיות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א האלכסונים מאונכים

הפתרון:

AC⊥BDAC \perp BD

רק במעוין ובריבוע

אלכסונים שווים זו תכונת המלבן, לא המעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מעוין שאלכסוניו גם שווים זה לזה הוא:

  1. דלתון
  2. עדיין מעוין רגיל
  3. ריבוע
  4. מלבן שאינו ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ריבוע

הפתרון:

⊥+נחצים+=⇒ריבוע\perp \quad +\quad \text{נחצים} \quad +\quad = \quad \Rightarrow\quad \text{ריבוע}

שלוש התכונות יחד

זו בדיוק הדרך השלישית להוכיח ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במעוין אלכסונים 12 ו-16. מהי צלע המעוין? (רמז: פיתגורס על החצאים)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

62+82=1006^2 + 8^2 = 100

חצאי האלכסונים והצלע

100=10\sqrt{100} = 10
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטח מעוין עם אלכסונים 10 ו-14?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

10×142=70\frac{10 \times 14}{2} = 70

שטח מעוין הוא מכפלת האלכסונים חלקי שתיים — כי הם מאונכים וחוצים זה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במעוין זווית אחת היא 60∘60^\circ. מהי הזווית הנגדית לה, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

6060

נגדיות שוות — כמו בכל מקבילית

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDO
במעוין כל ארבע הצלעות שוות.

נתון מעוין ABCDABCD שאלכסוניו נחתכים בנקודה OO. הוכיחו: AC⊥BDAC \perp BD.

  • ABCDABCD מעוין
  • ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO

∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מעוין — נתון
  2. ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO — נתון
  3. AB=ADAB = AD — במעוין כל הצלעות שוות
  4. BO=ODBO = OD — אלכסוני המעוין חוצים זה את זה
  5. AO=AOAO = AO — צלע משותפת לשני המשולשים
  6. △ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO — משפט חפיפה צ.צ.צ
  7. ∠AOB=∠AOD\angle AOB = \angle AOD — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. ∠AOB+∠AOD=180∘\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ — זוויות צמודות משלימות ל-180∘180^\circ
  9. ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 180∘180^\circ — כל אחת ישרה

הפתרון:

AB=ADBO=ODAO=AO\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad BO &= OD \\ \quad AO &= AO\end{aligned}

צלעות המעוין, חציית האלכסון, וצלע משותפת

△ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO

צ.צ.צ

∠AOB=∠AOD∠AOB+∠AOD=180∘\begin{aligned}\angle AOB &= \angle AOD \\ \quad \angle AOB + \angle AOD &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות, וזוויות צמודות

∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ

שוות ומשלימות — כל אחת ישרה

התבנית «שוות וגם סכומן 180180» הופכת חפיפה לזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
  • AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD
  • האלכסונים חוצים זה את זה — ירושה מהמקבילית.
  • האלכסונים מאונכים — וזו התכונה שהמקבילית הכללית אינה מקיימת.
  • כל אלכסון חוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר.
  • כל הצלעות שוות — זו ההגדרה.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA — כל הצלעות שוות — זו ההגדרה. · AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD — האלכסונים חוצים זה את זה — ירושה מהמקבילית. · AC⊥BDAC \perp BD — האלכסונים מאונכים — וזו התכונה שהמקבילית הכללית אינה מקיימת. · ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD — כל אלכסון חוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מיינו: מה נכון בכל מעוין, ומה לא בהכרח?

  • נכון בכל מעוין
  • לא בהכרח
  • אחד האלכסונים שווה לצלע
  • האלכסונים חוצים את זוויות המעוין
  • האלכסונים מאונכים זה לזה
  • האלכסונים שווים זה לזה
  • הזוויות הנגדיות שוות
  • כל הזוויות ישרות
  • כל הצלעות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כל הצלעות שוות — נכון בכל מעוין · האלכסונים מאונכים זה לזה — נכון בכל מעוין · האלכסונים חוצים את זוויות המעוין — נכון בכל מעוין · הזוויות הנגדיות שוות — נכון בכל מעוין · האלכסונים שווים זה לזה — לא בהכרח · כל הזוויות ישרות — לא בהכרח · אחד האלכסונים שווה לצלע — לא בהכרח

הפתרון:

AB=BC=CD=DA\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

כל הצלעות שוות

AC⊥BDAC \perp BD

האלכסונים מאונכים

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

האלכסון חוצה את הזווית

המעוין יורש את תכונות המקבילית ומוסיף צלעות שוות ואלכסונים מאונכים שחוצים את הזוויות. אלכסונים שווים וזוויות ישרות מתקיימים רק בריבוע, ואלכסון ששווה לצלע — רק במעוין שאחת מזוויותיו 60°60°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במעוין ABCDABCD האלכסונים AC=30AC = 30 ס״מ ו-BD=16BD = 16 ס״מ נחתכים בנקודה OO. מחשבים את הצלע ואת השטח — שורה אחת שגויה

AO=15 BO=8\begin{aligned}AO &= 15 \\ \ BO &= 8\end{aligned}
AB2=152+82=289\begin{aligned}AB^2 &= 15^2 + 8^2 \\ &= 289\end{aligned}
AB=17AB = 17
S=16⋅30=480\begin{aligned}S &= 16 \cdot 30 \\ &= 480\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=16⋅30=480S = 16 \cdot 30 = 480 → S=16⋅302=240S = \frac{16 \cdot 30}{2} = 240

הפתרון:

S=16⋅302=240\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 30}{2} \\ &= 240\end{aligned}

סמ״ר

שטח המעוין הוא חצי מכפלת האלכסונים: S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}. המכפלה לבדה היא שטח המלבן שמקיף את המעוין — כפול ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השלימו

במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=70°\angle BAD = 70°, והאלכסונים נחתכים בנקודה OO. אז ∠BAO=\angle BAO = ____ מעלות, ∠ABC=\angle ABC = ____ מעלות, ו-∠AOB=\angle AOB = ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=70°\angle BAD = 70°, והאלכסונים נחתכים בנקודה OO. אז ∠BAO=\angle BAO = 35 מעלות, ∠ABC=\angle ABC = 110 מעלות, ו-∠AOB=\angle AOB = 90 מעלות.

הפתרון:

∠BAO=70°2=35°\begin{aligned}\angle BAO &= \frac{70°}{2} \\ &= 35°\end{aligned}

האלכסון חוצה את זווית המעוין

∠ABC=180°−70°=110°\begin{aligned}\angle ABC &= 180° - 70° \\ &= 110°\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°

∠AOB=90°\angle AOB = 90°

האלכסונים מאונכים

שלוש תכונות, שלוש תשובות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

לפניכם אורכי האלכסונים של חמישה מעוינים (בס״מ). סדרו את המעוינים לפי השטח, מהקטן לגדול

  • d1=4, d2=12d_1 = 4 ,\ d_2 = 12
  • d1=4, d2=16d_1 = 4 ,\ d_2 = 16
  • d1=5, d2=10d_1 = 5 ,\ d_2 = 10
  • d1=6, d2=9d_1 = 6 ,\ d_2 = 9
  • d1=7, d2=10d_1 = 7 ,\ d_2 = 10
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: d1=4, d2=12d_1 = 4 ,\ d_2 = 12 · d1=5, d2=10d_1 = 5 ,\ d_2 = 10 · d1=6, d2=9d_1 = 6 ,\ d_2 = 9 · d1=4, d2=16d_1 = 4 ,\ d_2 = 16 · d1=7, d2=10d_1 = 7 ,\ d_2 = 10

הפתרון:

24<25<27<32<3524 < 25 < 27 < 32 < 35

השטחים בסמ״ר

השטח הוא חצי מכפלת האלכסונים, ולכן מספיק להשוות את המכפלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCD
AB=6.5AB = 6.5. ארבע הצלעות שוות.

במעוין ABCDABCD הצלע AB=6.5AB = 6.5 ס״מ. מה היקף המעוין, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

AB=BC=CD=DA=6.5\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \\ &= 6.5\end{aligned}

במעוין כל הצלעות שוות

4⋅6.5=264 \cdot 6.5 = 26

ההיקף: ארבע צלעות

לא 2⋅6.52 \cdot 6.5: למעוין ארבע צלעות, וכולן שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCD
נתון: ∠BAD=70∘\angle BAD = 70^\circ

במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=70∘\angle BAD = 70^\circ. מה גודל ∠BAC\angle BAC, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35

הפתרון:

∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD

במעוין האלכסון חוצה את הזווית שדרכה הוא עובר

∠BAC=70∘2=35∘\begin{aligned}\angle BAC &= \frac{70^\circ}{2} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

חצי מהזווית

70∘70^\circ היא הזווית כולה. האלכסון חוצה אותה לשני חצאים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

השלימו

במעוין ABCD הזווית A היא 50 מעלות. הזווית C היא ____ מעלות, הזווית B היא ____ מעלות, והזווית ABD היא ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במעוין ABCD הזווית A היא 50 מעלות. הזווית C היא 50 מעלות, הזווית B היא 130 מעלות, והזווית ABD היא 65 מעלות.

הפתרון:

∠C=∠A=50∘\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 50^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות שוות

∠B=180∘−50∘=130∘\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות

∠ABD=130∘2=65∘\begin{aligned}\angle ABD &= \frac{130^\circ}{2} \\ &= 65^\circ\end{aligned}

האלכסון BDBD חוצה את ∠B\angle B

שלושה כללים: נגדיות שוות, סמוכות משלימות, והאלכסון חוצה את הזווית. ∠ABD\angle ABD היא חצי מ-∠B\angle B, לא חצי מ-∠A\angle A.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

מיינו: מה נכון בכל מעוין ABCDABCD, ומה לא בהכרח? הנקודה OO היא נקודת החיתוך של האלכסונים.

  • בכל מעוין
  • לא בהכרח
  • ∠A=90∘\angle A = 90^\circ
  • ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD
  • AB=ACAB = AC
  • AB=BCAB = BC
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • AC=BDAC = BD
  • AO=BOAO = BO
  • AO=OCAO = OC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=BCAB = BC — בכל מעוין · AC⊥BDAC \perp BD — בכל מעוין · AO=OCAO = OC — בכל מעוין · ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD — בכל מעוין · AC=BDAC = BD — לא בהכרח · ∠A=90∘\angle A = 90^\circ — לא בהכרח · AO=BOAO = BO — לא בהכרח · AB=ACAB = AC — לא בהכרח

הפתרון:

AC⊥BDAO=OC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad AO &= OC\end{aligned}

האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה

AC=BD⇒ריבועAC = BD \Rightarrow \text{ריבוע}

אלכסונים שווים במעוין: כבר ריבוע

אלכסונים שווים, זווית ישרה ו-AO=BOAO = BO יש רק בריבוע. AB=ACAB = AC רק כשהזווית BB היא 60∘60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

ABCD
S=60S = 60, AC=12AC = 12. מחפשים את BDBD.

שטח מעוין הוא 60 סמ״ר, ואחד האלכסונים שלו 12 ס״מ. מה אורך האלכסון השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

12⋅d22=60\frac{12 \cdot d_2}{2} = 60

נוסחת השטח, והאלכסון השני לא ידוע

12⋅d2=120d2=10\begin{aligned}12 \cdot d_2 &= 120 \\ \quad d_2 &= 10\end{aligned}

כופלים ב-2, ומחלקים ב-12

לא 60:12=560 : 12 = 5: שוכחים את החלוקה ב-2 שבנוסחה. בדיקה: 12⋅102=60\frac{12 \cdot 10}{2} = 60.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

ABCDO
AO=9AO = 9, BO=12BO = 12.

במעוין ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. נתון AO=9AO = 9 ס״מ ו-BO=12BO = 12 ס״מ. מה שטח המעוין, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 216

הפתרון:

AC=2⋅9=18BD=2⋅12=24\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 9 \\ &= 18 \\ \quad BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

S=18⋅242=216\begin{aligned}S &= \frac{18 \cdot 24}{2} \\ &= 216\end{aligned}

נוסחת השטח, על האלכסונים השלמים

9⋅122=54\frac{9 \cdot 12}{2} = 54 הוא שטח משולש אחד מתוך ארבעה. הנוסחה לוקחת את האלכסונים השלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת