פתיחת סוגריים · נוסחאות הכפל המקוצר · כיתה ט׳

בפרק הזה שלוש נוסחאות, ורק שלוש. הן חוסכות פתיחת סוגריים ארוכה.

ובהמשך הן מה שמאפשר פירוק לגורמים וצמצום שברים אלגבריים.

מאיפה הנוסחה הראשונה מגיעה

ריבוע של ביטוי הוא הביטוי כפול עצמו: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$ .

פותחים כרגיל: כל איבר כופל כל איבר. בטבלה, כל משבצת היא מכפלה אחת.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

זה כל הסוד של האיבר האמצעי: שתי מכפלות $ab$ . אחת מ- $a$ כפול $b$ , ואחת מ- $b$ כפול $a$ .

הטעות מספר אחת בכל הפרק, ובכל כיתה ט.

(a+b)^2 = a^2 + b^2

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

בדיקה מספרית שלוקחת שתי שניות: $(3+4)^2 = 49$ , אבל $9 + 16 = 25$ . אם התוצאה לא מסתדרת עם מספרים — הנוסחה שהופעלה שגויה.

(a-b)^2 = a^2 - b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

שתי הנוסחאות האלה נראות דומות ומתערבבות. הפרש ריבועים מגיע ממכפלת סכום בהפרש, לא מהעלאה בריבוע.

ריבוע של הפרש

נסו לבד: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$ . אילו ארבע מכפלות מתקבלות?

להציג את התשובה והפתרון

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . שתי המכפלות האמצעיות שליליות, ולכן האיבר האמצעי שלילי.

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

ב- $(a-b)^2$ רק האיבר האמצעי מקבל מינוס. $b^2$ נשאר חיובי: מינוס בריבוע הוא פלוס.

הפרש ריבועים — למה האמצע נעלם

אותה טבלה, אבל הסוגריים שונות: באחת מינוס, ובשנייה פלוס.

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

פתחו: $(x - 4)(x + 4)$

להציג את התשובה והפתרון

$x^2 - 16$ — שני האיברים האמצעיים, $+4x$ ו- $-4x$ , מתקזזים.

לזהות מי a ומי b

לפני שמציבים, עונים על שתי שאלות: מה במקום $a$ ? ומה במקום $b$ ?

כשיש מקדם, כמו ב- $(2x+3)^2$ , אז $a = 2x$ כולו. לא רק $x$ .

עם מקדם

פתחו: $(2x+3)^2$ .

\begin{aligned}a &= 2x \quad \\ \quad b &= 3\end{aligned}

a הוא כל האיבר הראשון, כולל המקדם

(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2

מציבים בנוסחה

4x^2 + 12x + 9

שימו לב: $(2x)^2 = 4x^2$ , לא $2x^2$

פעילות אינטראקטיבית

פותחים יחד: $(5x - 2)^2$

פתחו את הסוגריים: $(5x - 2)^2$ . בכל שלב בחרו מה עושים — ורק אחר כך תראו את השורה.

$25x^2 - 20x + 4$

$5x^2 - 20x + 4$

$25x^2 - 10x + 4$

$25x^2 - 20x - 4$

קודם כול — מי $a$ ומי $b$ ?

$a = 5$ , $b = x$

להציג את התשובה והפתרון

לא. $a$ הוא האיבר הראשון כולו, ו- $5$ לבדו אינו איבר — הוא רק המקדם שלו.

$a = 5x$ , $b = 2$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $a$ הוא כל האיבר הראשון, המקדם בכלל זה. זו הנקודה שבה רוב הטעויות נולדות.

$a = x$ , $b = 2$

להציג את התשובה והפתרון

לא — כך היינו מפתחים את $(x-2)^2$ , וזה ביטוי אחר לגמרי. המקדם $5$ אינו נעלם.

\begin{aligned}a &= 5x \quad \\ \quad b &= 2\end{aligned}

מזהים לפני שמציבים. $a = 5x$ כולו.

מהו האיבר הראשון, $a^2$ ?

$5x^2$

להציג את התשובה והפתרון

לא. כאן רק ה- $x$ עלה בריבוע. המקדם עולה בריבוע יחד איתו.

$25x^2$

להציג את התשובה והפתרון

כן: $(5x)^2 = 5^2 \cdot x^2 = 25x^2$ . הריבוע חל על המכפלה כולה.

$10x^2$

להציג את התשובה והפתרון

לא — $10$ הוא $5$ כפול $2$ , כלומר כפל ולא ריבוע. $5$ בריבוע הוא $25$ .

(5x)^2 = 25x^2

המקדם עולה בריבוע יחד עם $x$ — $25$ , לא $5$ ולא $10$ .

ומה האיבר האמצעי?

$-10x$ — כי $5 \cdot 2 = 10$

להציג את התשובה והפתרון

כמעט. שכחתם את הפעמיים: האיבר האמצעי הוא $2ab$ , לא $ab$ .

$-20x$ — פעמיים $5x$ כפול $2$

להציג את התשובה והפתרון

כן: $2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x$ , והסימן שלילי כי בסוגריים יש מינוס.

$+20x$

להציג את התשובה והפתרון

הגודל נכון, הסימן לא. ב- $(a-b)^2$ רק האיבר האמצעי מקבל מינוס.

-2 \cdot 5x \cdot 2 = -20x

פעמיים המכפלה, עם מינוס. זה האיבר היחיד שהמינוס נוגע בו.

ולסיום — מהו האיבר האחרון?

$-4$

להציג את התשובה והפתרון

לא. המינוס נכנס לריבוע יחד עם $2$ , ומינוס בריבוע נותן פלוס.

$+4$

להציג את התשובה והפתרון

כן: $(-2)^2 = 4$ . האיבר האחרון חיובי תמיד בשתי נוסחאות הריבוע.

(-2)^2 = +4

חיובי — תמיד, בשתי נוסחאות הריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה היא $25x^2 - 20x + 4$ . המסיחים מודדים בדיוק את שלוש הטעויות: מקדם שלא עלה בריבוע, «פעמיים» ששכחו, וסימן של האיבר האחרון.

לעשות את הפעילות ב-elev

עכשיו אתם, לבד: $(3x-2)^2$

להציג את התשובה והפתרון

$9x^2 - 12x + 4$ . כאן $a = 3x$ , ולכן $a^2 = 9x^2$ — המקדם עולה בריבוע יחד עם $x$ .

חשבון מהיר בלי מחשבון

הנוסחאות עובדות גם על מספרים. הסוד: למצוא מספר עגול קרוב.

חשבו בעל-פה: $49^2$

להציג את התשובה והפתרון

$(50-1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$ . מספר עגול פחות אחד — הנוסחה השנייה.

איך זה מגיע בבעיה מילולית

בבעיה מילולית אף אחד לא כותב «השתמשו בנוסחה».

כתוב שם סיפור על ריבוע שגדל או קטן. מתרגמים את הסיפור לביטוי, והנוסחה מופיעה.

פעילות אינטראקטיבית

גינה ריבועית שמרחיבים

(x+3)^2 - x^2 = \ ?

גינה ריבועית שאורך צלעה $x$ מטרים. מרחיבים כל אחת מהצלעות ב-3 מטרים. בכמה גדל השטח?

מתרגמים

\begin{aligned}\text{לפני} &= x^2 \quad \\ \quad \text{אחרי} &= (x+3)^2\end{aligned}

קודם כותבים את שני השטחים כביטוי. זה התרגום של הסיפור.

פותחים

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

נוסחה ראשונה, עם $a=x$ ו- $b=3$ .

מחסרים

(x^2 + 6x + 9) - x^2 = 6x + 9

השאלה היא «בכמה גדל», ולכן מחסרים. ה- $x^2$ מתבטל.

בודקים במספר

\begin{aligned}x &= 10 \ \Rightarrow\ 6 \cdot 10 + 9 \\ &= 69\end{aligned}

ובאמת: $13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$ . תמיד לבדוק במספר — זה תופס טעות סימן בשתי שניות.

שימו לב שהתשובה תלויה ב- $x$ : גינה גדולה מרוויחה יותר מהרחבה של 3 מטרים מגינה קטנה.

לעשות את הפעילות ב-elev

ריבוע שצלעו $x$ ס״מ. מאריכים צלע אחת ב-6 ס״מ ומקצרים את השנייה ב-6 ס״מ. בכמה קטן השטח?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $36$ סמ״ר, ולא משנה מה $x$ : השטח החדש הוא $(x-6)(x+6) = x^2 - 36$ , כלומר תמיד פחות $36$ מהמקורי. זו הפרש ריבועים בסיפור.

שתי אותיות, וסדר שלא משנה

עד כאן $b$ היה מספר. אבל הנוסחאות עובדות על איברים, לא רק על מספרים.

ב- $(4x+7y)^2$ פשוט $a = 4x$ ו- $b = 7y$ . וזה הכול.

פעילות אינטראקטיבית

פותחים עם שתי אותיות

(4x + 7y)^2

שום כלל חדש. אותה נוסחה ראשונה, עם $a$ ו- $b$ שהם שניהם איברים עם אות.

מזהים

\begin{aligned}a &= 4x \quad \\ \quad b &= 7y\end{aligned}

כל אחד מהם הוא איבר שלם, מקדם ואות יחד.

הריבועים

\begin{aligned}(4x)^2 &= 16x^2 \quad \\ \quad (7y)^2 &= 49y^2\end{aligned}

כל אחד עולה בריבוע כולו — המקדם וגם האות.

האמצע

2 \cdot 4x \cdot 7y = 56xy

פעמיים המכפלה. שימו לב שהאיבר האמצעי נושא את שתי האותיות: $xy$ , לא $x$ ולא $y$ לבד.

מרכיבים

(4x+7y)^2 = 16x^2 + 56xy + 49y^2

שלושה איברים, שלוש אותיות שונות — ובכל זאת אותה נוסחה בדיוק.

וזה עובד גם כששני האיברים הם מכפלות: ב- $(xy - 3)(xy + 3)$ פשוט $a = xy$ , והתוצאה היא $x^2y^2 - 9$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

הסדר בסוגריים לא משנה. $(-7 + x)^2$ הוא בדיוק $(x - 7)^2$ , כי חיבור מתחלף.

גם $(t + 9)(-9 + t)$ הוא $(t+9)(t-9)$ : הפרש ריבועים, אף שבמבט ראשון זה לא נראה כך. מסדרים לפני שמחליטים.

פתחו: $(6a - 5b)(6a + 5b)$

להציג את התשובה והפתרון

$36a^2 - 25b^2$ — הפרש ריבועים עם שתי אותיות. $a = 6a$ ו- $b = 5b$ , וכל אחד עולה בריבוע כולו.

טעימה של צמצום שברים

כל נוסחה נקראת גם בכיוון ההפוך: מי שרואה $x^2 - 25$ רשאי לכתוב $(x-5)(x+5)$ .

כך מצמצמים שבר: מפרקים את המונה למכפלה, ומצמצמים גורם שמופיע גם במכנה.

מצמצמים שבר

צמצמו: $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

מזהים הפרש ריבועים במונה

\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3

הגורם $x+3$ מופיע למעלה ולמטה — מצטמצם

מצמצמים רק גורם שאינו אפס. כאן צריך $x \neq -3$ : במבחן כותבים את זה במילה אחת, אבל חייבים לכתוב.

צמצמו: $\dfrac{x^2 - 49}{x - 7}$

להציג את התשובה והפתרון

$x + 7$ — המונה הוא $(x-7)(x+7)$ , והגורם $x-7$ מצטמצם (בתנאי ש- $x \neq 7$ ).

בתת-הנושא הבא, פירוק לגורמים, הכיוון ההפוך הופך לשיטה שלמה. שם נצמצם גם שברים שבהם צריך לפרק את המכנה.

תרגילים

סדרה א — קל: ישר מהנוסחה

תרגיל 1

בפתיחת הסוגריים, מה המקדם של $x$ ?

(x + 5)^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2 \cdot x \cdot 5 = 10x

האיבר האמצעי הוא פעמיים המכפלה

+10x

והסימן חיובי

הפיתוח המלא: $x^2 + 10x + 25$ .

הביטוי	המקדם של $x^2$	המקדם של $x$
$(3x + 4)^2$	____	____
$(5x - 1)^2$	____	____
$(6x - 5)(6x + 5)$	____	____

מאיפה הנוסחה הראשונה מגיעה

ריבוע של הפרש

הפרש ריבועים — למה האמצע נעלם

לזהות מי a ומי b

חשבון מהיר בלי מחשבון

איך זה מגיע בבעיה מילולית

שתי אותיות, וסדר שלא משנה

טעימה של צמצום שברים

תרגילים

סדרה א — קל: ישר מהנוסחה

סדרה ב — בינוני: מקדמים, מספרים ושברים

סדרה ג — מאתגר: בעיות מילוליות וצמצום שברים

סדרה ד — מתקדם: שתי אותיות וסדר הפוך

סדרה ה — לקראת המבחן: הכול מעורבב

השיעור הבא מחכה ב-elev