הכיוון ההפוך — פירוק לגורמים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

עד עכשיו פתחנו סוגריים. עכשיו הכיוון ההפוך: מקבלים ביטוי פתוח, מזהים מאיזו נוסחה הוא בא, וסוגרים אותו חזרה.

למה זה שווה את המאמץ? ביטוי מפורק אפשר לצמצם בשבר. ואפשר להשוות אותו לאפס ולפתור משוואה.

הפרש ריבועים — הקל לזיהוי

שני איברים בלבד, שניהם ריבועים, ובאמצע מינוס. ביטוי כזה תמיד מתפרק, והציור מראה למה.

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

סכום ריבועים, כמו x2+9x^2 + 9, אינו מתפרק: אין שתי סוגריים שייתנו אותו. רק הפרש.

פרקו: x2−49x^2 - 49

להציג את התשובה והפתרון

(x−7)(x+7)(x-7)(x+7) — הפרש ריבועים בכיוון ההפוך. בדיקה: פותחים בחזרה ומקבלים x2−49x^2-49.

שלושה איברים — ריבוע מושלם

שלושה איברים, הראשון והאחרון ריבועים. זה לא מספיק.

צריך לבדוק שהאיבר האמצעי הוא בדיוק פעמיים המכפלה של שני השורשים. הבדיקה הזו היא ההבדל בין פירוק לניחוש.

פירוק שנראה נכון ואינו.

x2+6x+25=(x+5)2x^2 + 6x + 25 = (x+5)^2
2⋅x⋅5=10x≠6x2 \cdot x \cdot 5 = 10x \neq 6x

הקצוות מתאימים, אבל האיבר האמצעי לא. בלי הבדיקה הזו מפרקים ביטויים שאינם ריבוע מושלם.

x2+16=(x+4)2x^2 + 16 = (x+4)^2
(x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

כאן חסר האיבר האמצעי לגמרי. סכום ריבועים אינו מתפרק — שני איברים עם פלוס נשארים כמו שהם.

האם x2−14x+49x^2 - 14x + 49 הוא ריבוע מושלם? ואם כן — של מה?

להציג את התשובה והפתרון

כן: x2=x\sqrt{x^2}=x, 49=7\sqrt{49}=7, ו-2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x — מתאים. המינוס באמצע נותן (x−7)2(x-7)^2.

הצעד שקודם לכל השאר: גורם משותף

לפני שמחפשים נוסחה, שואלים: האם משהו כופל את כל האיברים? אם כן, מוציאים אותו ראשון.

בלי הצעד הזה, 2x2−722x^2 - 72 נראה כאילו לא מתפרק: 2x22x^2 אינו ריבוע יפה, וגם 7272 לא.

הגורם שיצא ולא חזר.

2x2−72=(x−6)(x+6)2x^2 - 72 = (x-6)(x+6)
2x2−72=2(x−6)(x+6)2x^2 - 72 = 2(x-6)(x+6)

ה-22 הוצא ואז נשכח. בדיקה בפתיחה חוזרת: (x−6)(x+6)=x2−36(x-6)(x+6) = x^2 - 36, ולא 2x2−722x^2 - 72. כל גורם שיוצא חייב להופיע בתשובה.

3x3−27x=3x(x2−9)3x^3 - 27x = 3x(x^2 - 9)
3x3−27x=3x(x−3)(x+3)3x^3 - 27x = 3x(x-3)(x+3)

כאן הגורם המשותף נכון, אבל עצרו באמצע: מה שנשאר בסוגריים עדיין מתפרק. מפרקים עד הסוף.

פרקו עד הסוף: 4x2−644x^2 - 64

להציג את התשובה והפתרון

4(x−4)(x+4)4(x-4)(x+4) — מוציאים 44, ואז הפרש ריבועים בסוגריים. אפשר גם (2x−8)(2x+8)(2x-8)(2x+8), וזה נכון — אבל לא מפורק עד הסוף, כי מכל סוגריים אפשר עוד להוציא 22.

צמצום שברים בעזרת פירוק

זו הסיבה שהפירוק שווה את הטרחה: אי אפשר לצמצם חיבור, רק מכפלה.

לכן בשבר אלגברי מפרקים קודם את המונה ואת המכנה. רק אז מוחקים גורם שמופיע בשניהם.

כשצריך לפרק גם למטה

צמצמו: x2−25x2−10x+25\dfrac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}.

x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

למעלה: הפרש ריבועים

x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

למטה: ריבוע מושלם — הבדיקה: 2⋅x⋅5=10x2 \cdot x \cdot 5 = 10x

(x−5)(x+5)(x−5)2=x+5x−5\dfrac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \dfrac{x+5}{x-5}

גורם (x−5)(x-5) אחד נמחק. אחד, לא שניים

x≠5x \neq 5

ומציינים את התחום

אסור למחוק x2x^2 למעלה ולמטה: הוא איבר בתוך חיבור, לא גורם. מוחקים רק מה שכופל את כל השורה.

צמצמו: x2−36x+6\dfrac{x^2 - 36}{x + 6}

להציג את התשובה והפתרון

x−6x - 6 — המונה הוא (x−6)(x+6)(x-6)(x+6), והגורם (x+6)(x+6) נמחק. בתנאי ש-x≠−6x \neq -6.

ולמה זה פותח משוואות

הפירוק הוא הכלי שפותח את המשוואות הריבועיות.

x2−9=0x^2 - 9 = 0 הופכת ל-(x−3)(x+3)=0(x-3)(x+3) = 0. מכפלה מתאפסת רק כשאחד הגורמים אפס: x=3x = 3 או x=−3x = -3.

תרגילים

סדרה א — קל: לזהות ולסגור

תרגיל 1

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−9x^2 - 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

9=3\sqrt{9} = 3

שורש האיבר השני

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−16x^2 - 16
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

16=4\sqrt{16} = 4

שורש האיבר השני

x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x-4)(x+4)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−25x^2 - 25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

25=5\sqrt{25} = 5

שורש האיבר השני

x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−49x^2 - 49
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

49=7\sqrt{49} = 7

שורש האיבר השני

x2−49=(x−7)(x+7)x^2 - 49 = (x-7)(x+7)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−100x^2 - 100
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

100=10\sqrt{100} = 10

שורש האיבר השני

x2−100=(x−10)(x+10)x^2 - 100 = (x-10)(x+10)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2+10x+25=(x+?)2x^2 + 10x + 25 = (x + \quad ?\quad )^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

25=5\sqrt{25} = 5

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅5=10x2 \cdot x \cdot 5 = 10x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2+6x+9=(x+?)2x^2 + 6x + 9 = (x + \quad ?\quad )^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

9=3\sqrt{9} = 3

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅3=6x2 \cdot x \cdot 3 = 6x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2+14x+49=(x+?)2x^2 + 14x + 49 = (x + \quad ?\quad )^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

49=7\sqrt{49} = 7

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2−12x+36=(x−?)2x^2 - 12x + 36 = (x - \quad ?\quad )^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

36=6\sqrt{36} = 6

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅6=12x2 \cdot x \cdot 6 = 12x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איזה ביטוי אינו ניתן לפירוק?

  1. x2+9x^2 + 9
  2. x2+6x+9x^2 + 6x + 9
  3. x2−6x+9x^2 - 6x + 9
  4. x2−9x^2 - 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x2+9x^2 + 9

הפתרון:

(x+3)2=x2+6x+9≠x2+9(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \neq x^2 + 9

החסר הוא האיבר האמצעי

רק הפרש ריבועים מתפרק. סכום — לא, ואין נוסחה שתעזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

האם אפשר לכתוב את x2+6x+25x^2 + 6x + 25 בצורה (x+k)2(x + k)^2?

  1. לא ניתן לדעת
  2. לא — האיבר האמצעי היה צריך להיות 10x10x
  3. כן, (x+5)2(x+5)^2
  4. כן, (x+3)2(x+3)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא — האיבר האמצעי היה צריך להיות 10x10x

הפתרון:

25=5\sqrt{25} = 5

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅5=10x≠6x2 \cdot x \cdot 5 = 10x \neq 6x

והאמצעי אינו מתאים

הקצוות מתאימים והאמצע לא — וזה מספיק כדי לפסול. הבדיקה השלישית היא זו שמכריעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

9−x29 - x^2 אינו מתפרק, כי ה-x2x^2 הוא השני ולא הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

9−x2=32−x29 - x^2 = 3^2 - x^2

שני ריבועים, ובאמצע מינוס

=(3−x)(3+x)= (3-x)(3+x)

הפרש ריבועים כרגיל

לא נכון. הסדר אינו משנה — מה שקובע הוא שני איברים ובאמצע מינוס. כאן a=3a=3 ו-b=xb=x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x2−36=(x−6)(x+6)x^2 - 36 = (x-6)(x+6)
4a2+4a+1=(2a+1)24a^2 + 4a + 1 = (2a+1)^2
x2+16=(x+4)2x^2 + 16 = (x+4)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+16=(x+4)2x^2 + 16 = (x+4)^2 → x2+16 אינו מתפרקx^2 + 16 \ \text{אינו מתפרק}

הפתרון:

(x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

פותחים בחזרה ומשווים

חסר האיבר האמצעי 8x8x. סכום ריבועים אינו מתפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו: האם כל ביטוי הוא ריבוע מושלם?

הביטויפעמיים המכפלהריבוע מושלם?
x2+8x+16x^2 + 8x + 16________
x2+12x+16x^2 + 12x + 16________
4x2+20x+254x^2 + 20x + 25________
9x2+12x+169x^2 + 12x + 16________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+8x+16x^2 + 8x + 16: 8, כן · x2+12x+16x^2 + 12x + 16: 8, לא · 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25: 20, כן · 9x2+12x+169x^2 + 12x + 16: 24, לא

הפתרון:

2⋅x⋅4=8x2 \cdot x \cdot 4 = 8x

מתאים ל-8x8x: (x+4)2(x+4)^2

2⋅x⋅4=8x≠12x2 \cdot x \cdot 4 = 8x \neq 12x

אותם קצוות, אמצע אחר: לא ריבוע מושלם

2⋅2x⋅5=20x2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x

מתאים: (2x+5)2(2x+5)^2

2⋅3x⋅4=24x≠12x2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x \neq 12x

לא מתאים

הקצוות לבדם לא מספיקים: x2+8x+16x^2 + 8x + 16 ו-x2+12x+16x^2 + 12x + 16 חולקים אותם, ורק בדיקת האמצע מבדילה ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מיינו: איזה ביטוי מתפרק בעזרת נוסחה, ואיזה לא?

  • מתפרק
  • לא מתפרק
  • 36−x236 - x^2
  • x2−12x+36x^2 - 12x + 36
  • x2−36x^2 - 36
  • x2+12x+36x^2 + 12x + 36
  • x2+36x^2 + 36
  • x2+6x+36x^2 + 6x + 36
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2−36x^2 - 36 — מתפרק · x2+36x^2 + 36 — לא מתפרק · x2+12x+36x^2 + 12x + 36 — מתפרק · x2+6x+36x^2 + 6x + 36 — לא מתפרק · 36−x236 - x^2 — מתפרק · x2−12x+36x^2 - 12x + 36 — מתפרק

הפתרון:

x2−36=(x−6)(x+6)36−x2=(6−x)(6+x)\begin{aligned}x^2 - 36 &= (x-6)(x+6) \quad \\ \quad 36 - x^2 &= (6-x)(6+x)\end{aligned}

הפרש ריבועים, בכל סדר

x2±12x+36=(x±6)2x^2 \pm 12x + 36 = (x \pm 6)^2

2⋅x⋅6=12x2 \cdot x \cdot 6 = 12x: מתאים

2⋅x⋅6=12x≠6x2 \cdot x \cdot 6 = 12x \neq 6x

x2+6x+36x^2 + 6x + 36: האמצע לא מתאים

שתי מלכודות: x2+36x^2 + 36 הוא סכום ריבועים, ו-x2+6x+36x^2 + 6x + 36 עובר את בדיקת הקצוות ונכשל באמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני: מקדמים, מספרים ושברים

תרגיל 16

פרקו לגורמים: 9x2+12x+49x^2 + 12x + 4

  1. (9x+2)2(9x+2)^2
  2. (3x+2)2(3x+2)^2
  3. (3x+2)(3x−2)(3x+2)(3x-2)
  4. (3x+4)2(3x+4)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (3x+2)2(3x+2)^2

הפתרון:

9x2=3x4=2\begin{aligned}\sqrt{9x^2} &= 3x \quad \\ \quad \sqrt{4} &= 2\end{aligned}

שורש משני הקצוות, המקדם בכלל זה

2⋅3x⋅2=12x ✓2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x \ \checkmark

והאמצע מתאים

(9x+2)2(9x+2)^2 נופל בבדיקה: שם המקדם לא הוצא ממנו שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

פרקו לגורמים: x2−10x+25x^2 - 10x + 25

  1. (x−25)2(x-25)^2
  2. (x+5)2(x+5)^2
  3. (x−5)2(x-5)^2
  4. (x−5)(x+5)(x-5)(x+5)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (x−5)2(x-5)^2

הפתרון:

2⋅x⋅5=10x ✓2 \cdot x \cdot 5 = 10x \ \checkmark

הבדיקה עוברת

x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

והמינוס באמצע קובע את הסימן

המינוס באמצע והפלוס בסוף — סימן ההיכר של (a−b)2(a-b)^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

פרקו: 4x2−494x^2 - 49. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים ליד ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4x2=2x\sqrt{4x^2} = 2x

שורש של האיבר כולו, המקדם בכלל זה

4x2−49=(2x−7)(2x+7)4x^2 - 49 = (2x-7)(2x+7)

הפרש ריבועים

המקדם 22 הוא מה ש-44 נותן בשורש. הטעות הנפוצה היא לכתוב 4x4x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

השלימו כך שיתקבל (4x−k)2(4x - k)^2: □ x2−24x+□=(4x−□)2\square \, x^2 - 24x + \square = (4x - \square)^2

המקדם של x2x^2: ____ , המספר החופשי: ____ , ובסוגריים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המקדם של x2x^2: 16 , המספר החופשי: 9 , ובסוגריים: 3

הפתרון:

(4x)2=16x2(4x)^2 = 16x^2
2⋅4x⋅3=24x2 \cdot 4x \cdot 3 = 24x

האמצעי מכתיב הכול

32=93^2 = 9

מהאיבר האמצעי מחלצים את שני הריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

חשבו בלי מחשבון בעזרת פירוק: 272−23227^2 - 23^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

(27−23)(27+23)(27-23)(27+23)

הפרש ריבועים בכיוון ההפוך

4⋅50=2004 \cdot 50 = 200

הפרש קטן כפול סכום עגול — זה כל הרווח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

חשבו בלי מחשבון: 552−45255^2 - 45^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000

הפתרון:

(55−45)(55+45)(55-45)(55+45)

הפרש ריבועים

10⋅100=100010 \cdot 100 = 1000

שני מספרים לא נוחים, ותשובה עגולה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

חשבו בלי מחשבון: 82−2⋅8⋅3+328^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 + 3^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

(8−3)2(8-3)^2

זו בדיוק התבנית של ריבוע ההפרש — במספרים

52=255^2 = 25

מי שחישב איבר-איבר קיבל 64−48+964-48+9; אותה תשובה, שלוש פעמים יותר עבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

חשבו בלי מחשבון:

19+2⋅13⋅23+49\frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{9}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

(13+23)2\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right)^2

לזהות את התבנית — גם בשברים

12=11^2 = 1

מי שמחשב איבר-איבר עובד קשה; מי שמזהה ריבוע — גומר בשנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

צמצמו את השבר:

4x2−252x−5\dfrac{4x^2 - 25}{2x - 5}
  1. 2x−52x - 5
  2. 2x+52x + 5
  3. 4x+54x + 5
  4. אי אפשר לצמצם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2x+52x + 5

הפתרון:

4x2−25=(2x−5)(2x+5)4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)

הפרש ריבועים עם מקדם

(2x−5)(2x+5)2x−5=2x+5\dfrac{(2x-5)(2x+5)}{2x-5} = 2x+5

הגורם שבמכנה נמחק

מצטמצם (2x−5)(2x-5), ולכן מה שנשאר הוא הגורם השני. בתנאי ש-x≠2.5x \neq 2.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

צמצמו ורק אחר כך הציבו:

x2−36x+6x=15\begin{aligned}\dfrac{x^2 - 36}{x + 6} \quad \\ \quad x &= 15\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

(x−6)(x+6)x+6=x−6\dfrac{(x-6)(x+6)}{x+6} = x - 6

מפרקים ומצמצמים

15−6=915 - 6 = 9

מציבים בסוף

הצבה לפני צמצום הייתה מחייבת לחשב 225−36225-36 ואז לחלק ב-2121.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

צמצמו את השבר:

x2−9x2−6x+9\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}
  1. x+3x−3\dfrac{x+3}{x-3}
  2. x+3x + 3
  3. x−3x+3\dfrac{x-3}{x+3}
  4. אי אפשר לצמצם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x+3x−3\dfrac{x+3}{x-3}

הפתרון:

(x−3)(x+3)(x−3)2\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}

מפרקים למעלה ולמטה

=x+3x−3= \dfrac{x+3}{x-3}

גורם (x−3)(x-3) אחד נמחק

למטה יש שני עותקים של (x−3)(x-3), ורק אחד מהם מצטמצם — נשאר אחד במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

מיינו: איזו תבנית לפניכם?

  • ריבוע מושלם
  • הפרש ריבועים
  • 100−9t2100 - 9t^2
  • 49a2−149a^2 - 1
  • 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9
  • 81−x281 - x^2
  • 9−6y+y29 - 6y + y^2
  • x2+6x+9x^2 + 6x + 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9 — ריבוע מושלם · 81−x281 - x^2 — הפרש ריבועים · x2+6x+9x^2 + 6x + 9 — ריבוע מושלם · 49a2−149a^2 - 1 — הפרש ריבועים · 9−6y+y29 - 6y + y^2 — ריבוע מושלם · 100−9t2100 - 9t^2 — הפרש ריבועים

הפתרון:

שלושה איברים — ריבוע מושלם. שניים בלבד, עם מינוס — הפרש ריבועים. הסדר בביטוי לא משנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר: בעיות מילוליות וצמצום שברים

תרגיל 28

שטחו של ריבוע הוא x2+12x+36x^2 + 12x + 36 סמ״ר. מה אורך צלעו בס״מ, כאשר x=4x = 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2⋅x⋅6=12x ✓2 \cdot x \cdot 6 = 12x \ \checkmark

הבדיקה עוברת — זה ריבוע מושלם

x2+12x+36=(x+6)2x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2

ולכן הצלע היא x+6x+6

4+6=104 + 6 = 10

מציבים

שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע — ולכן «מצאו צלע» פירושו «פרקו לגורמים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

שטחו של מלבן הוא x2−49x^2 - 49 סמ״ר, ואחת מצלעותיו היא x−7x - 7 ס״מ. מה אורך הצלע השנייה, כאשר x=20x = 20?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

x2−49=(x−7)(x+7)x^2 - 49 = (x-7)(x+7)

שטח מלבן הוא מכפלת צלעותיו — אז מפרקים

הצלע השנייה=x+7\text{הצלע השנייה} = x + 7

הגורם השני הוא הצלע החסרה

20+7=2720 + 7 = 27

מציבים

אין כאן חילוק ארוך: פירוק הוא החילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

גינה ריבועית ששטחה 9x2−24x+169x^2 - 24x + 16 מ״ר. מה אורך צלעה במטרים, כאשר x=3x = 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

9x2=3x  16=4\begin{aligned}\sqrt{9x^2} &= 3x \ \\ \ \sqrt{16} &= 4\end{aligned}

שורש משני הקצוות

2⋅3x⋅4=24x ✓2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x \ \checkmark

האמצע מתאים, והוא שלילי

(3x−4)2 ⇒ 3⋅3−4=5(3x-4)^2 \ \Rightarrow\ 3 \cdot 3 - 4 = 5

מציבים

המינוס באמצע הוא שקבע (3x−4)(3x-4) ולא (3x+4)(3x+4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

חשבו בלי מחשבון:

372−13224\dfrac{37^2 - 13^2}{24}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

372−132=(37−13)(37+13)37^2 - 13^2 = (37-13)(37+13)

הפרש ריבועים

=24⋅50= 24 \cdot 50

וההפרש הוא בדיוק המכנה

24⋅5024=50\dfrac{24 \cdot 50}{24} = 50

מי שהעלה בריבוע קודם עשה שני כפלים ארוכים לחינם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

חשבו בלי מחשבון: 1012−992101^2 - 99^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 400

הפתרון:

(101−99)(101+99)(101-99)(101+99)

הפרש ריבועים

2⋅200=4002 \cdot 200 = 400

שני מספרים בני שלוש ספרות, ותרגיל של שתי שניות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

צמצמו את השבר:

x2−1x2+2x+1\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}
  1. x−1x - 1
  2. x−1x+1\dfrac{x-1}{x+1}
  3. x+1x−1\dfrac{x+1}{x-1}
  4. אי אפשר לצמצם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x−1x+1\dfrac{x-1}{x+1}

הפתרון:

x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

למעלה: הפרש ריבועים, כש-b=1b=1

x2+2x+1=(x+1)2x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2

למטה: ריבוע מושלם

(x−1)(x+1)(x+1)2=x−1x+1\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \dfrac{x-1}{x+1}

ה-11 הוא 121^2, וזה מה שמסווה את שתי התבניות. בתנאי ש-x≠−1x \neq -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

צמצמו את הביטוי x2−4x−2−x\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} - x. איזה מספר מתקבל (לכל xx מותר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x−2)(x+2)x−2=x+2\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2

מפרקים ומצמצמים

(x+2)−x=2(x + 2) - x = 2

וה-xx מתבטל

התוצאה אינה תלויה ב-xx בכלל. בדיקה ב-x=7x=7: 455−7=9−7=2\dfrac{45}{5} - 7 = 9 - 7 = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

aa ו-bb שני מספרים שסכומם 5050 והפרשם 44. מהו a2−b2a^2 - b^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הנוסחה, בכיוון ההפוך

=4⋅50=200= 4 \cdot 50 = 200

מציבים ישר את מה שנתון

לא צריך למצוא את aa ואת bb בכלל — הנוסחה שואלת בדיוק את מה שנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

אילו מהביטויים הבאים אינו מתפרק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר?

  1. 4x2−94x^2 - 9
  2. 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9
  3. 4x2+94x^2 + 9
  4. 4x2+12x+94x^2 + 12x + 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 4x2+94x^2 + 9

הפתרון:

4x2+9→סכום4x^2 + 9 \rightarrow \text{סכום}

שני איברים, ובאמצע פלוס

סכום שני ריבועים אינו מתפרק. שלושת האחרים כן — האחד הפרש ריבועים, השניים האחרים ריבועים מושלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 37

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

9x2−30x+25=(3x−5)29x^2 - 30x + 25 = (3x-5)^2
x2−25x2−10x+25=x+5x−5\dfrac{x^2-25}{x^2-10x+25} = \dfrac{x+5}{x-5}
x2+4x+2=x+2\dfrac{x^2+4}{x+2} = x + 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+4x+2=x+2\dfrac{x^2+4}{x+2} = x + 2 → x2+4x+2 אינו מצטמצם\dfrac{x^2+4}{x+2} \ \text{אינו מצטמצם}

הפתרון:

x2+4≠(x+2)2x^2 + 4 \neq (x+2)^2

כי (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2+4x+4

המונה הוא סכום ריבועים ואינו מתפרק — ולכן אין גורם משותף למחוק. בדיקה ב-x=2x=2: 84=2\dfrac{8}{4}=2, ואילו x+2=4x+2 = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 38

סדרו את שלבי הפירוק של x2−14x+49x^2 - 14x + 49 בסדר הנכון

  • בודקים את האמצע: 2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x — מתאים
  • בודקים בפתיחה חוזרת
  • מוציאים שורש משני הקצוות: xx ו-77
  • סוגרים לפי סימן האמצע: (x−7)2(x-7)^2
  • סופרים איברים: שלושה — אז לא הפרש ריבועים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סופרים איברים: שלושה — אז לא הפרש ריבועים · מוציאים שורש משני הקצוות: xx ו-77 · בודקים את האמצע: 2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x — מתאים · סוגרים לפי סימן האמצע: (x−7)2(x-7)^2 · בודקים בפתיחה חוזרת

הפתרון:

הסדר אינו שרירותי: הספירה קובעת איזו נוסחה בכלל רלוונטית, ובדיקת האמצע היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

מריבוע שצלעו 1111 ס״מ חותכים בפינה ריבוע שצלעו 44 ס״מ. את מה שנשאר חותכים ומסדרים מחדש למלבן, שאחת מצלעותיו 77 ס״מ. מה אורך הצלע השנייה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

112−42=121−16=105\begin{aligned}11^2 - 4^2 &= 121 - 16 \\ &= 105\end{aligned}

השטח שנשאר, בסמ״ר

(11−4)(11+4)=7⋅15(11 - 4)(11 + 4) = 7 \cdot 15

הפרש ריבועים: הצלע הקצרה 11−411 - 4, והארוכה 11+411 + 4

1515 ס״מ: החתיכה שהזיזו מאריכה את הצלע של 1111 ב-44. מי שענה 1111 שכח את החתיכה, ומי שענה 44 בלבל בין רוחב החתיכה לצלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ד — מתקדם: קודם גורם משותף, ואז הנוסחה

תרגיל 40

פרקו עד הסוף: 2x2−722x^2 - 72. מה הגורם שיוצא מחוץ לסוגריים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2x2−72=2(x2−36)2x^2 - 72 = 2(x^2 - 36)

22 כופל את שני האיברים

=2(x−6)(x+6)= 2(x-6)(x+6)

ואז הפרש ריבועים

בלי להוציא את 22 הביטוי נראה כאילו אינו מתפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 41

באותו פירוק של 2x2−722x^2 - 72 — מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2(x2−36)2(x^2 - 36)

אחרי הוצאת הגורם

36=6\sqrt{36} = 6

שימו לב שהשורש נלקח מ-3636, לא מ-7272: אחרי ההוצאה המספר השתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 42

פרקו עד הסוף: 3x3−27x3x^3 - 27x. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3x3−27x=3x(x2−9)3x^3 - 27x = 3x(x^2 - 9)

הגורם המשותף הוא 3x3x — מספר ואות

=3x(x−3)(x+3)= 3x(x-3)(x+3)

ומה שנשאר עדיין מתפרק

עצירה ב-3x(x2−9)3x(x^2-9) היא הטעות: מפרקים עד הסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 43

פרקו עד הסוף: 3x2−12x+123x^2 - 12x + 12

  1. 3(x2−4x+4)3(x^2-4x+4)
  2. 3(x−2)(x+2)3(x-2)(x+2)
  3. 3(x−2)23(x-2)^2
  4. (x−2)2(x-2)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3(x−2)23(x-2)^2

הפתרון:

3(x2−4x+4)3(x^2 - 4x + 4)

מוציאים 55

2⋅x⋅2=4x ✓2 \cdot x \cdot 2 = 4x \ \checkmark

הבדיקה עוברת בתוך הסוגריים

=3(x−2)2= 3(x-2)^2

(x−2)2(x-2)^2 שכח את השלוש, ו-3(x2−4x+4)3(x^2-4x+4) עצר באמצע — נכון, אבל לא מפורק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 44

פרקו עד הסוף: 4x2−644x^2 - 64

  1. (2x−8)(2x+8)(2x-8)(2x+8)
  2. 4(x−4)(x+4)4(x-4)(x+4)
  3. 2(x−4)(x+4)2(x-4)(x+4)
  4. 4(x−16)(x+16)4(x-16)(x+16)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 4(x−4)(x+4)4(x-4)(x+4)

הפתרון:

4x2−64=4(x2−16)4x^2 - 64 = 4(x^2 - 16)

מוציאים 44

=4(x−4)(x+4)= 4(x-4)(x+4)

(2x−8)(2x+8)(2x-8)(2x+8) שווה בערכו — אבל אינו מפורק עד הסוף: מכל סוגריים אפשר עוד להוציא 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 45

פרקו עד הסוף: 2x2+20x+502x^2 + 20x + 50. מה המספר בתוך הסוגריים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2(x2+10x+25)2(x^2 + 10x + 25)

מוציאים 22

2⋅x⋅5=10x ✓2 \cdot x \cdot 5 = 10x \ \checkmark

הבדיקה בתוך הסוגריים

=2(x+5)2= 2(x+5)^2

התשובה השלמה היא 2(x+5)22(x+5)^2 — עם ה-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 46

פרקו עד הסוף: 50a3−8a50a^3 - 8a

  1. 2a(25a2−4)2a(25a^2-4)
  2. 2a(5a−2)22a(5a-2)^2
  3. 2a(5a−2)(5a+2)2a(5a-2)(5a+2)
  4. (50a−8)(a2+1)(50a-8)(a^2+1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2a(5a−2)(5a+2)2a(5a-2)(5a+2)

הפתרון:

50a3−8a=2a(25a2−4)50a^3 - 8a = 2a(25a^2 - 4)

הגורם המשותף הוא 2a2a

25a2=5a  4=2\begin{aligned}\sqrt{25a^2} &= 5a \ \\ \ \sqrt{4} &= 2\end{aligned}

ומה שנשאר הוא הפרש ריבועים

=2a(5a−2)(5a+2)= 2a(5a-2)(5a+2)

שלושה שלבים ברצף — גורם משותף, ואז נוסחה. התשובה השנייה עצרה באמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 47

x3−4xx^3 - 4x אינו מתפרק, כי אין נוסחה לחזקה שלישית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x3−4x=x(x2−4)x^3 - 4x = x(x^2 - 4)

קודם גורם משותף — כאן xx

=x(x−2)(x+2)= x(x-2)(x+2)

ואז הפרש ריבועים

לא נכון. הוצאת הגורם המשותף מורידה את החזקה, ומה שנשאר הוא ביטוי ריבועי מוכר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 48

השלימו: □ x2−□=3(x−4)(x+4)\square \, x^2 - \square = 3(x-4)(x+4)

המקדם של x2x^2: ____ , המספר החופשי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המקדם של x2x^2: 3 , המספר החופשי: 48

הפתרון:

3(x−4)(x+4)=3(x2−16)3(x-4)(x+4) = 3(x^2-16)

פותחים את שתי הסוגריים

=3x2−48= 3x^2 - 48

ומכפילים ב-33

הדרך הבטוחה היא לפתוח בחזרה — לא לנחש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 49

צמצמו והציבו:

2x2−18x+3x=10\begin{aligned}\dfrac{2x^2 - 18}{x + 3} \quad \\ \quad x &= 10\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

2x2−18=2(x−3)(x+3)2x^2 - 18 = 2(x-3)(x+3)

קודם גורם משותף, ואז הנוסחה

2(x−3)(x+3)x+3=2(x−3)\dfrac{2(x-3)(x+3)}{x+3} = 2(x-3)

מצטמצם (x+3)(x+3)

2⋅7=142 \cdot 7 = 14

מציבים

ה-22 נשאר: מצטמצם רק הגורם שמופיע למעלה ולמטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 50

צמצמו והציבו:

50a3−8a5a−2a=1\begin{aligned}\dfrac{50a^3 - 8a}{5a - 2} \quad \\ \quad a &= 1\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

50a3−8a=2a(5a−2)(5a+2)50a^3 - 8a = 2a(5a-2)(5a+2)

גורם משותף, ואז הפרש ריבועים

2a(5a−2)(5a+2)5a−2=2a(5a+2)\dfrac{2a(5a-2)(5a+2)}{5a-2} = 2a(5a+2)

מצטמצם (5a−2)(5a-2)

2⋅1⋅7=142 \cdot 1 \cdot 7 = 14

מציבים

בדיקה ישירה: 50−83=423=14\dfrac{50-8}{3} = \dfrac{42}{3} = 14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 51

סדרו את שלבי הפירוק של 2x2−502x^2 - 50 בסדר הנכון

  • מוציאים אותו: 2(x2−25)2(x^2 - 25)
  • מחפשים גורם משותף לכל האיברים: 22
  • מפרקים לפי הפרש ריבועים: 2(x−5)(x+5)2(x-5)(x+5)
  • סופרים איברים בתוך הסוגריים: שניים, ובאמצע מינוס
  • פותחים בחזרה כדי לבדוק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחפשים גורם משותף לכל האיברים: 22 · מוציאים אותו: 2(x2−25)2(x^2 - 25) · סופרים איברים בתוך הסוגריים: שניים, ובאמצע מינוס · מפרקים לפי הפרש ריבועים: 2(x−5)(x+5)2(x-5)(x+5) · פותחים בחזרה כדי לבדוק

הפתרון:

הגורם המשותף קודם לכל השאר. מי שמתחיל מהנוסחה מסתכל על 2x22x^2 ו-5050 ולא מוצא שורשים יפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ה — לקראת המבחן: שברים, השוואות והוכחה

תרגיל 52

צמצמו והציבו:

4x+244x=5\begin{aligned}\dfrac{4x + 24}{4} \quad \\ \quad x &= 5\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

4(x+6)4=x+6\dfrac{4(x+6)}{4} = x + 6

גורם משותף במונה, ואז מצמצמים

5+6=115 + 6 = 11

אסור למחוק את ה-44 מ-4x4x בלבד: מצמצמים רק אחרי שהמונה הפך למכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 53

צמצמו והציבו:

9y2+9y4y+4y=4\begin{aligned}\dfrac{9y^2 + 9y}{4y + 4} \quad \\ \quad y &= 4\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

9y(y+1)4(y+1)\dfrac{9y(y+1)}{4(y+1)}

גורם משותף למעלה (9y9y) וגורם משותף למטה (44)

=9y4= \dfrac{9y}{4}

מצטמצם (y+1)(y+1)

9⋅44=9\dfrac{9 \cdot 4}{4} = 9

שני צדדים, שני גורמים משותפים — ורק אז אפשר לצמצם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 54

צמצמו את השבר:

3x2−27x2+6x+9\dfrac{3x^2 - 27}{x^2 + 6x + 9}
  1. 3(x−3)3(x-3)
  2. אי אפשר לצמצם
  3. 3(x−3)x+3\dfrac{3(x-3)}{x+3}
  4. x−3x+3\dfrac{x-3}{x+3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3(x−3)x+3\dfrac{3(x-3)}{x+3}

הפתרון:

3x2−27=3(x−3)(x+3)3x^2 - 27 = 3(x-3)(x+3)

למעלה: גורם משותף ואז הפרש ריבועים

x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9 = (x+3)^2

למטה: ריבוע מושלם

3(x−3)(x+3)(x+3)2=3(x−3)x+3\dfrac{3(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \dfrac{3(x-3)}{x+3}

שלוש טכניקות בשבר אחד. ה-33 נשאר — הוא לא מצטמצם מול כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 55

הביטוי 7n+1+7n7^{n+1} + 7^n מתחלק ללא שארית במספר קבוע, לכל nn טבעי. מהו המספר הגדול ביותר כזה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

7n+1=7n⋅77^{n+1} = 7^n \cdot 7

חוק החזקות: מפרידים את החזקה

7n⋅7+7n=7n(7+1)7^n \cdot 7 + 7^n = 7^n(7 + 1)

וזה גורם משותף — 7n7^n

=7n⋅8= 7^n \cdot 8

הביטוי הוא מכפלה שאחד מגורמיה 88, ולכן הוא מתחלק ב-88 תמיד. בדיקה ב-n=1n=1: 49+7=56=8⋅749+7 = 56 = 8 \cdot 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 56

xx מספר חיובי. מי גדול יותר?

  1. x2+9x^2 + 9
  2. הם שווים
  3. תלוי ב-xx
  4. (x+3)2(x+3)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (x+3)2(x+3)^2

הפתרון:

(x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

ההפרש הוא בדיוק 6x6x

6x>06x > 0

כי xx חיובי

(x+3)2(x+3)^2 תמיד גדול יותר, וההפרש הוא האיבר האמצעי שרבים שוכחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 57

נתון: x2−y2=40x^2 - y^2 = 40 ו-x−y=4x - y = 4. מהו x+yx + y?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

מפרקים את הנתון הראשון

40=4⋅(x+y)40 = 4 \cdot (x+y)

מציבים את הנתון השני

x+y=10x + y = 10

הפירוק הפך משוואה אחת לחילוק פשוט. אין צורך למצוא את xx ואת yy (77 ו-33).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 58

שטחה של גינה מלבנית הוא x2−64x^2 - 64 מ״ר, ואחת מצלעותיה x−8x - 8 מטרים. מהו היקף הגינה במטרים כאשר x=20x = 20?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

x2−64=(x−8)(x+8)x^2 - 64 = (x-8)(x+8)

מפרקים את השטח למכפלת הצלעות

הצלע השנייה=x+8\text{הצלע השנייה} = x + 8

הגורם השני

2⋅(12+28)=802 \cdot (12 + 28) = 80

היקף: פעמיים סכום הצלעות

בדיקה: 12⋅28=336=400−6412 \cdot 28 = 336 = 400 - 64.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 59

איזה ביטוי אינו מתפרק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר?

  1. 4x2+12x+94x^2 + 12x + 9
  2. 4x2+94x^2 + 9
  3. 8x2−188x^2 - 18
  4. 4x2−94x^2 - 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 4x2+94x^2 + 9

הפתרון:

4x2+9→סכום4x^2 + 9 \rightarrow \text{סכום}

שני איברים, ובאמצע פלוס

8x2−18=2(4x2−9)=2(2x−3)(2x+3)\begin{aligned}8x^2 - 18 &= 2(4x^2-9) \\ &= 2(2x-3)(2x+3)\end{aligned}

זה כן מתפרק — אחרי גורם משותף

הרביעי נראה חסין ואינו: מוציאים 22 ומגלים הפרש ריבועים. רק סכום ריבועים באמת אינו מתפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 60

הפירוק של 9−6x+x29 - 6x + x^2 הוא (x−3)2(x-3)^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

9−6x+x2=x2−6x+99 - 6x + x^2 = x^2 - 6x + 9

מסדרים לפי חזקות יורדות

2⋅x⋅3=6x ✓2 \cdot x \cdot 3 = 6x \ \checkmark

הבדיקה עוברת

=(x−3)2= (x-3)^2

נכון. הסדר שבו נכתבו האיברים אינו משנה — מסדרים, ואז מפרקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 61

חשבו בלי מחשבון:

862−14272\dfrac{86^2 - 14^2}{72}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

862−142=(86−14)(86+14)86^2 - 14^2 = (86-14)(86+14)

הפרש ריבועים

=72⋅100= 72 \cdot 100

וההפרש הוא בדיוק המכנה

72⋅10072=100\dfrac{72 \cdot 100}{72} = 100

מי שהעלה בריבוע קודם עשה שני כפלים ארוכים ואז חילוק ארוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 62

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

2x2−50=2(x−5)(x+5)2x^2 - 50 = 2(x-5)(x+5)
3x3−12x=3x(x−2)(x+2)3x^3 - 12x = 3x(x-2)(x+2)
4x2−16=(2x−4)(2x+4)4x^2 - 16 = (2x-4)(2x+4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4x2−16=(2x−4)(2x+4)4x^2 - 16 = (2x-4)(2x+4) → 4x2−16=4(x−2)(x+2)4x^2 - 16 = 4(x-2)(x+2)

הפתרון:

(2x−4)(2x+4)=4x2−16 ✓(2x-4)(2x+4) = 4x^2 - 16 \ \checkmark

הערך נכון

2x−4=2(x−2)2x+4=2(x+2)\begin{aligned}2x-4 &= 2(x-2) \quad \\ \quad 2x+4 &= 2(x+2)\end{aligned}

אבל מכל סוגריים אפשר עוד להוציא

השורה אינה שגויה בערך — היא שגויה כי הפירוק לא הושלם. מפרקים עד שאין מה להוציא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 63

התאימו כל ביטוי לפירוק המלא שלו

  • 2x2−82x^2 - 8
  • 2x2−8x+82x^2 - 8x + 8
  • 2x3−8x2x^3 - 8x
  • 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)
  • 2(x−2)22(x-2)^2
  • 2x(x−2)(x+2)2x(x-2)(x+2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2x2−82x^2 - 8 — 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2) · 2x2−8x+82x^2 - 8x + 8 — 2(x−2)22(x-2)^2 · 2x3−8x2x^3 - 8x — 2x(x−2)(x+2)2x(x-2)(x+2)

הפתרון:

2x2−8=2(x2−4)2x^2 - 8 = 2(x^2-4)

שני איברים

2x2−8x+8=2(x2−4x+4)2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2-4x+4)

שלושה איברים

2x3−8x=2x(x2−4)2x^3 - 8x = 2x(x^2-4)

הגורם המשותף נושא גם xx

אותו גורם משותף 22 בשלושתם, ושלוש דרכים שונות אחריו. הספירה היא שמכריעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת