מהו דמיון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

שני משולשים דומים הם בעלי אותה צורה בדיוק.

הגודל יכול להיות שונה: אחד הוא תמונה מוגדלת של השני.

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הסימן ∼\sim מציין דמיון, כמו ש-≅\cong ציין חפיפה.

וכמו בחפיפה, סדר האותיות הוא הכול: הראשונה מתאימה לראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

למדתם חפיפה? אז אתם כבר יודעים לקרוא את השורה הזאת. אותה מוסכמה בדיוק, עם סימן אחר.

ב-△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, לאיזה קודקוד מתאים CC?

להציג את התשובה והפתרון

ל-FF: שתיהן האות השלישית בשורה.

שני דברים קורים בו-זמנית

כאן △DEF\triangle DEF מסובב והפוך. המקום שלו בציור לא עוזר — רק סדר האותיות.

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות המתאימות שוות — הצורה לא השתנתה

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

הצלעות המתאימות ביחס קבוע — הגודל השתנה פי אותו מספר

המספר הקבוע הזה נקרא יחס הדמיון, ומסמנים אותו באות kk.

את kk מחפשים כמעט בכל שאלה בפרק.

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם k=3k = 3, ו-AB=5AB = 5. כמה זה DEDE?

להציג את התשובה והפתרון

15: 5×35 \times 3. כל צלע נכפלת ב-kk, והזוויות לא משתנות.

ומה הקשר לחפיפה

חפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1: אותה צורה, וגם אותו גודל.

k=1⟷חופפיםk = 1 \quad \longleftrightarrow\quad \text{חופפים}

לכן כל שני משולשים חופפים הם גם דומים. ההפך לא נכון.

הטעות שנובעת ישירות מהשפה.

«דומים» = נראים דומים\text{«דומים» = נראים דומים}
«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות\text{«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות}

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה מדויקת, לא התרשמות מהציור. שני משולשים יכולים להיראות דומים מאוד ולא להיות דומים כלל.

מה ההבדל בין חפיפה לדמיון?

להציג את התשובה והפתרון

חפיפה — אותו גודל בדיוק; דמיון — אותה צורה, בגודל אחר. הזוויות שוות בשניהם, הצלעות — רק פרופורציוניות בדמיון.

תרגילים

תרגיל 1

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. לאיזו צלע מתאימה הצלע ABAB?

  1. EFEF
  2. DEDE
  3. BCBC
  4. DFDF
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב DEDE

הפתרון:

A↔D,B↔EA \leftrightarrow D \quad ,\quad B \leftrightarrow E

לפי המיקום בשורת הדמיון

בדיוק אותה מוסכמה כמו בחפיפה: האות הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בשני משולשים דומים, מה נכון לגבי הזוויות?

  1. הזוויות קטנות ביחס הדמיון
  2. הזוויות גדלות ביחס הדמיון
  3. אי אפשר לדעת
  4. הזוויות המתאימות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הזוויות המתאימות שוות

הפתרון:

∠A=∠D\angle A = \angle D

הצורה לא משתנה — רק הגודל

זוויות אינן אורכים. הגדלת צורה מותחת את הצלעות, אבל לא פותחת ולא סוגרת את הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מה הקשר בין חפיפה לדמיון?

  1. דמיון הוא חפיפה שבה היחס הוא 1
  2. חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1
  3. אין קשר ביניהם
  4. כל שני משולשים דומים הם גם חופפים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1

הפתרון:

k=1⟶חופפיםk = 1 \quad \longrightarrow\quad \text{חופפים}

אותה צורה, ובמקרה גם אותו גודל

כל זוג חופף הוא גם דומה — אבל רוב הזוגות הדומים אינם חופפים, כי היחס שלהם אינו 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שני משולשים נראים דומים מאוד בציור. האם זה מספיק כדי לקבוע שהם דומים?

  1. לא
  2. רק אם הם באותו גודל
  3. כן, אם הציור מדויק
  4. כן, תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

ציור≠נימוק\text{ציור} \neq \text{נימוק}

אותו כלל כמו בהוכחות

בדיוק כמו בפרק ההוכחות: מה שנראה בציור אינו נימוק. צריך זוויות שוות או יחס קבוע בין הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני ריבועים — האם הם בהכרח דומים?

  1. רק אם קטנים
  2. לא
  3. כן
  4. רק אם שווים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כן

הפתרון:

כל הזוויות 90, יחס אחיד\text{כל הזוויות 90, יחס אחיד}

כל הריבועים דומים: הזוויות תמיד 90°, והצלעות תמיד ביחס אחיד. זה נכון גם למעגלים ולמשולשים שווי-צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שני מלבנים — בהכרח דומים?

  1. כן
  2. לא
  3. רק גדולים
  4. תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא

הפתרון:

2:1≠5:12:1 \ne 5:1

מלבן ארוך ומלבן כמעט ריבוע

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

משולשים דומים ביחס 3. צלע במקור 7 — מה בצילום המוגדל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

7×3=217 \times 3 = 21

בדמיון כל הצלעות גדלות באותו יחס — לכן מכפילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מה נשמר בדמיון?

  1. הזוויות והיחס בין צלעות
  2. השטח
  3. ההיקף
  4. האורכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הזוויות והיחס בין צלעות

הפתרון:

∠ , k\angle \ , \ k

צורה — לא גודל

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

יחס דמיון 1:4. היקף הקטן 9 — מהו היקף הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

9×4=369 \times 4 = 36

ההיקף גדל כמו הצלעות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צילום מוקטן פי 2 של תמונה — הזוויות בו…

  1. לא השתנו
  2. גדלו פי 2
  3. תלוי בצורה
  4. קטנו פי 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא השתנו

הפתרון:

∠\angle

דמיון משמר זוויות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDEF
אותה צורה, ו-△DEF\triangle DEF גדול פי 2.

במשולש ABCABC נתון AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, AC=5AC = 5. במשולש DEFDEF נתון DE=8DE = 8, EF=12EF = 12, DF=10DF = 10. עוד נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. הוכיחו לפי הגדרת הדמיון: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

  • AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, AC=5AC = 5
  • DE=8DE = 8, EF=12EF = 12, DF=10DF = 10
  • ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ∠B=∠E\angle B = \angle E

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠A=∠D\angle A = \angle D — נתון
  2. ∠B=∠E\angle B = \angle E — נתון
  3. ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  4. ∠F=180∘−∠D−∠E\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠C=∠F\angle C = \angle F — הצבה של הזוויות השוות
  6. ABDE=BCEF=ACDF=12\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{1}{2} — חישוב מהנתונים
  7. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — הגדרת משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות ביחס שווה

הפתרון:

∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−∠D−∠E=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= 180^\circ - \angle D - \angle E \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית — מסכום הזוויות בשני המשולשים

48=612=510=12\begin{aligned}\frac{4}{8} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

שלוש זוויות שוות וצלעות ביחס שווה — זו ההגדרה

ההגדרה דורשת שני דברים: כל הזוויות המתאימות שוות, וגם כל הצלעות המתאימות ביחס שווה. לכן צריך גם את הזווית השלישית — היא לא נתונה, ומוצאים אותה מסכום הזוויות בכל אחד משני המשולשים. ביחידה הבאה נלמד משפטים שחוסכים חלק מהבדיקה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שני משולשים דומים, ויחס הדמיון אינו 1. מה נכון תמיד?

  • נכון תמיד
  • לא נכון
  • הזוויות המתאימות שוות
  • היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר
  • המשולשים חופפים
  • הצלעות המתאימות שוות
  • השטחים שווים
  • לשני המשולשים אותה צורה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הזוויות המתאימות שוות — נכון תמיד · לשני המשולשים אותה צורה — נכון תמיד · היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר — נכון תמיד · הצלעות המתאימות שוות — לא נכון · השטחים שווים — לא נכון · המשולשים חופפים — לא נכון

הפתרון:

DEAB=EFBC=DFAC=k\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}

יחס קבוע בין צלעות מתאימות

k≠1⇒DE≠ABk \ne 1 \Rightarrow DE \ne AB

הצלעות אינן שוות, ולכן אין חפיפה

בדמיון הזוויות שוות והצלעות ביחס קבוע kk — אותה צורה, גודל אחר. כש-k≠1k \ne 1 הצלעות אינן שוות, ולכן גם השטחים אינם שווים והמשולשים אינם חופפים. חפיפה היא רק המקרה k=1k = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ובמשולש ABCABC: ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. השלימו.

∠D=\angle D = ____ מעלות, ו-∠F=\angle F = ____ מעלות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠D=\angle D = 50 מעלות, ו-∠F=\angle F = 60 מעלות

הפתרון:

∠D=∠A=50∘\begin{aligned}\angle D &= \angle A \\ &= 50^\circ\end{aligned}

האות הראשונה מתאימה לראשונה

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית השלישית במשולש ABCABC

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

האות השלישית מתאימה לשלישית

סדר האותיות בשורת הדמיון קובע מי מתאים למי: DD מול AA, ו-FF מול CC. זוויות מתאימות בדמיון שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR. התאימו כל צלע וכל זווית לבת-הזוג שלה.

  • KLKL
  • LMLM
  • KMKM
  • ∠M\angle M
  • ∠R\angle R
  • PQPQ
  • PRPR
  • QRQR
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: KLKL — PQPQ · LMLM — QRQR · KMKM — PRPR · ∠M\angle M — ∠R\angle R

הפתרון:

K↔P,L↔Q,M↔RK \leftrightarrow P ,\quad L \leftrightarrow Q ,\quad M \leftrightarrow R

לפי המקום בשורת הדמיון

הצלע KMKM מחברת את הראשונה לשלישית, ולכן היא מתאימה ל-PRPR. המלכודת: לחפש את הצלע לפי המקום בציור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם יחס דמיון k=2k = 2. לכן ∠D=2⋅∠A\angle D = 2 \cdot \angle A.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠D=∠A\angle D = \angle A

בדמיון הזוויות המתאימות שוות

רק אורכים נכפלים ב-kk. זווית אינה אורך: הגדלה לא פותחת ולא סוגרת אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

כל שני משולשים שווי-צלעות דומים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

60∘, 60∘, 60∘60^\circ ,\ 60^\circ ,\ 60^\circ

בכל משולש שווה-צלעות

a2a1=a2a1=a2a1\begin{aligned}\frac{a_2}{a_1} &= \frac{a_2}{a_1} \\ &= \frac{a_2}{a_1}\end{aligned}

שלוש הצלעות באותו יחס

הזוויות תמיד שוות, והצלעות תמיד ביחס אחד. אצל משולשים שווי-שוקיים זה לא נכון: זווית הראש יכולה להשתנות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת