משפטי הדמיון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

דמיון אינו חפיפה: אותה צורה, בגודל אחר.

כדי להוכיח ששני משולשים דומים, לא בודקים את כל הזוויות ואת כל הצלעות. מספיק אחד משלושה משפטים.

אותם ראשי תיבות, משמעות אחרת. בחפיפה — צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים.

ז.ז — זווית, זווית

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני — המשולשים דומים.

למה שתיים מספיקות? סכום הזוויות בכל משולש הוא 180∘180^\circ. אם שתיים שוות, השלישית חייבת להיות שווה: היא מה שנשאר.

ז.ז הוא המשפט הכי שימושי בפרק, ובדרך כלל הכי קל להוכיח.

במשולש אחד זוויות של 50∘50^\circ ו-60∘60^\circ. במשולש שני — 60∘60^\circ ו-70∘70^\circ. האם הם דומים?

להציג את התשובה והפתרון

כן. בראשון השלישית היא 70∘70^\circ, ובשני 50∘50^\circ. באותן שלוש זוויות — ז.ז.

צ.צ.צ — שלוש צלעות

אם שלוש הצלעות של משולש אחד נמצאות ביחס שווה לשלוש הצלעות של השני — המשולשים דומים.

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

כאן נמצא הבלבול הגדול של הפרק.

צ.צ.צ בדמיון=שלוש צלעות שוות\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלוש צלעות שוות}
צ.צ.צ בדמיון=שלושה יחסים שווים\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלושה יחסים שווים}

ראשי התיבות זהים לאלה של החפיפה, אבל המשמעות שונה. בחפיפה הצלעות עצמן שוות. בדמיון רק היחסים ביניהן שווים.

צ.ז.צ — צלע, זווית, צלע

שתי צלעות במשולש אחד נמצאות ביחס שווה לשתי צלעות במשולש השני.

והזווית הכלואה ביניהן שווה. אז המשולשים דומים.

המילה כלואה חוזרת כמו בחפיפה: הזווית שבין שתי הצלעות, ולא זווית אחרת.

שני הפרקים זה מול זה

חפיפה\text{חפיפה}

צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל

דמיון\text{דמיון}

צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר

k=1k = 1

המקרה שבו השניים נפגשים

בטור הנימוק כותבים את שם המשפט המלא: «צ.ז.צ» של חפיפה ו«צ.ז.צ» של דמיון מוכיחים דברים שונים.

עכשיו אתם: לפי הנתונים בלבד, איזה משפט מוכיח שהמשולשים דומים?

שני משולשים עם שתי זוויות שוות — האם הם דומים?

להציג את התשובה והפתרון

כן, לפי ז.ז. השלישית שווה ממילא (הסכום 180), ושתי זוויות קובעות את הצורה.

תרגילים

תרגיל 1

לפי משפט ז.ז — כמה זוויות שוות צריך כדי להוכיח שמשולשים דומים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∠A=∠D∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \quad \\ \quad \angle B &= \angle E\end{aligned}

שתי זוויות מספיקות

180°−∠A−∠B180° - \angle A - \angle B

והשלישית נובעת מעצמה

סכום הזוויות במשולש הוא 180°. אם שתיים שוות, לשלישית אין ברירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בדמיון משולשים, מה פירוש צ.צ.צ?

  1. שלוש הצלעות שוות זו לזו
  2. שלוש הזוויות שוות
  3. שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה
  4. צלע אחת שווה ושתיים ביחס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה

הפתרון:

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

שלושה יחסים שווים ביניהם

בחפיפה אותם ראשי תיבות מציינים צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים. זה ההבדל שהכי קל לפספס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשפט צ.ז.צ של הדמיון, איפה צריכה להיות הזווית?

  1. כלואה בין שתי הצלעות
  2. מול הצלע הקצרה
  3. מול הצלע הארוכה
  4. בכל מקום במשולש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כלואה בין שתי הצלעות

הפתרון:

צלע→זווית→צלע\text{צלע} \rightarrow \text{זווית} \rightarrow \text{צלע}

סדר האותיות בשם המשפט הוא סדר הצורה

בדיוק כמו בחפיפה: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות. עם זווית אחרת המשפט לא חל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשני משולשים, ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. האם המשולשים דומים?

  1. רק אם גם הצלעות שוות
  2. לא, צריך גם צלעות
  3. אי אפשר לדעת
  4. כן, לפי ז.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן, לפי ז.ז

הפתרון:

∠C=180°−∠A−∠B\angle C = 180° - \angle A - \angle B

הזווית השלישית נובעת

שתי זוויות מספיקות, ואין צורך לדעת שום דבר על הצלעות. זה מה שהופך את ז.ז למשפט הכי נוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תלמיד רשם בהוכחת דמיון: «הצלעות שוות, לכן צ.צ.צ». איפה טעה?

  1. לא היתה טעות
  2. הוא היה צריך לרשום ז.ז
  3. בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה
  4. צ.צ.צ אינו משפט דמיון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה

הפתרון:

חפיפה: AB=DE\text{חפיפה: } AB = DE

שם הצלעות באמת שוות

דמיון: ABDE=k\text{דמיון: } \frac{AB}{DE} = k

וכאן רק היחס קבוע

הוא ערבב בין שני הפרקים. ראשי התיבות זהים, ולכן צריך לשים לב מה מוכיחים לפני שכותבים את הנימוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזה משפט דמיון הכי נוח להשתמש בו כשנתונות זוויות בלבד?

  1. אף אחד
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.צ
  4. ז.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ז.ז

הפתרון:

ז.ז\text{ז.ז}

שתי זוויות ותו לא

שני המשפטים האחרים דורשים מידע על צלעות. כשיש רק זוויות — ז.ז הוא היחיד שאפשר, והוא גם מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDE
הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC.

במשולש ABCABC, הנקודה DD נמצאת על ABAB והנקודה EE על ACAC, ונתון DE∥BCDE \parallel BC. הוכיחו כי △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC.

  • DD על ABAB, EE על ACAC
  • DE∥BCDE \parallel BC

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

להציג את התשובה והפתרון
  1. DE∥BCDE \parallel BC — נתון
  2. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

מתאימות בין מקבילים

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז

שתי זוויות שוות מספיקות לדמיון — זה ההבדל הגדול מחפיפה, שם צריך תמיד שלושה רכיבים, ובהם לפחות צלע אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD
הגובה מהזווית הישרה מחלק את המשולש לשני משולשים — ושניהם דומים למקורי.

במשולש ABCABC הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, ו-ADAD הוא גובה ליתר BCBC. הוכיחו כי △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA.

  • ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ
  • ADAD גובה ליתר BCBC

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ — נתון
  2. ADAD גובה ליתר BCBC — נתון
  3. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  4. ∠ADB=∠BAC\angle ADB = \angle BAC — שתי הזוויות ישרות ולכן שוות
  5. ∠B=∠B\angle B = \angle B — זווית משותפת לשני המשולשים
  6. △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠ADB=∠BAC=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle BAC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות

∠B=∠B\angle B = \angle B

זווית משותפת

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

ז.ז

סדר האותיות אינו מקרי: AA מול CC, BB מול BB, DD מול AA. תמיד כותבים את הקודקודים לפי סדר הזוויות השוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולשים: זוויות 50 ו-60 באחד, 50 ו-70 בשני. דומים?

  1. כן
  2. רק אם שווי צלעות
  3. חסר נתון
  4. לא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן

הפתרון:

180−50−60=70180 - 50 - 60 = 70

ז.ז מתקיים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צלעות 4, 6, 8 מול 6, 9, ומי? כדי שיהיו דומים —

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

64=96=1.5\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}
8×1.5=128 \times 1.5 = 12

מוצאים קודם את יחס הדמיון משני זוגות ידועים, ורק אז מפעילים אותו על הצלע החסרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • חפיפה\text{חפיפה}
  • דמיון\text{דמיון}
  • k=1k = 1
  • המקרה שבו השניים נפגשים
  • צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר
  • צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חפיפה\text{חפיפה} — צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל · דמיון\text{דמיון} — צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר · k=1k = 1 — המקרה שבו השניים נפגשים

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: האם הנתונים מספיקים כדי לקבוע ששני המשולשים דומים?

  • דומים בוודאות
  • לא בהכרח דומים
  • זוויות 40∘40^\circ ו-60∘60^\circ במשולש אחד, וזוויות 40∘40^\circ ו-80∘80^\circ בשני
  • זווית אחת שווה בשני המשולשים
  • צלעות 2, 3 ו-4 במשולש אחד, וצלעות 4, 6 ו-7 בשני
  • צלעות 3, 4 ו-5 במשולש אחד, וצלעות 6, 8 ו-10 בשני
  • שתי צלעות ביחס שווה, והזווית הכלואה ביניהן שווה
  • שתי צלעות ביחס שווה, וזווית שאינה כלואה ביניהן שווה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: זוויות 40∘40^\circ ו-60∘60^\circ במשולש אחד, וזוויות 40∘40^\circ ו-80∘80^\circ בשני — דומים בוודאות · צלעות 3, 4 ו-5 במשולש אחד, וצלעות 6, 8 ו-10 בשני — דומים בוודאות · שתי צלעות ביחס שווה, והזווית הכלואה ביניהן שווה — דומים בוודאות · צלעות 2, 3 ו-4 במשולש אחד, וצלעות 4, 6 ו-7 בשני — לא בהכרח דומים · זווית אחת שווה בשני המשולשים — לא בהכרח דומים · שתי צלעות ביחס שווה, וזווית שאינה כלואה ביניהן שווה — לא בהכרח דומים

הפתרון:

180∘−40∘−60∘=80∘180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ

הזווית השלישית במשולש הראשון — ולכן ז.ז

63=84=105=2\begin{aligned}\frac{6}{3} &= \frac{8}{4} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

צ.צ.צ

42=63=2≠74\begin{aligned}\frac{4}{2} &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \ne \frac{7}{4}\end{aligned}

היחס השלישי שונה — לא צ.צ.צ

ז.ז, צ.צ.צ (שלושה יחסים שווים) וצ.ז.צ (עם הזווית הכלואה) מספיקים. זווית אחת לבדה אינה מספיקה, וגם זווית שאינה כלואה בין שתי הצלעות אינה מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בודקים אם משולש שצלעותיו 5, 7 ו-9 דומה למשולש שצלעותיו 18, 10 ו-14. סדרו את שלבי הבדיקה.

  • מחשבים את היחס בין הצלעות הקצרות: 105=2\frac{10}{5} = 2
  • מחשבים את שני היחסים האחרים: 147=2\frac{14}{7} = 2 ו-189=2\frac{18}{9} = 2
  • מסדרים את צלעות כל משולש מהקצרה לארוכה: 5, 7, 9 ו-10, 14, 18
  • שלושת היחסים שווים, ולכן המשולשים דומים לפי צ.צ.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מסדרים את צלעות כל משולש מהקצרה לארוכה: 5, 7, 9 ו-10, 14, 18 · מחשבים את היחס בין הצלעות הקצרות: 105=2\frac{10}{5} = 2 · מחשבים את שני היחסים האחרים: 147=2\frac{14}{7} = 2 ו-189=2\frac{18}{9} = 2 · שלושת היחסים שווים, ולכן המשולשים דומים לפי צ.צ.צ

הפתרון:

105=147=189=2\begin{aligned}\frac{10}{5} &= \frac{14}{7} \\ &= \frac{18}{9} \\ &= 2\end{aligned}

שלושה יחסים שווים

קודם מתאימים צלע לצלע — קצרה לקצרה, ארוכה לארוכה. רק אחרי ההתאמה מחשבים יחסים, ורק כששלושתם שווים מסיקים דמיון לפי צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

אילו נתונים מספיקים כדי להוכיח ששני משולשים דומים?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • זווית אחת שווה
  • שלוש צלעות ביחס שווה
  • שתי זוויות שוות בזוגות
  • שתי צלעות ביחס שווה, בלי שום זווית
  • שתי צלעות ביחס שווה, והזווית הכלואה ביניהן שווה
  • שתי צלעות ביחס שווה, וזווית שאינה כלואה שווה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי זוויות שוות בזוגות — מספיק · שלוש צלעות ביחס שווה — מספיק · שתי צלעות ביחס שווה, והזווית הכלואה ביניהן שווה — מספיק · שתי צלעות ביחס שווה, וזווית שאינה כלואה שווה — לא מספיק · זווית אחת שווה — לא מספיק · שתי צלעות ביחס שווה, בלי שום זווית — לא מספיק

הפתרון:

ז.ז, צ.צ.צ, צ.ז.צ\text{ז.ז} ,\ \text{צ.צ.צ} ,\ \text{צ.ז.צ}

שלושת המשפטים

רק שלושת המשפטים מספיקים. המלכודת היא הזווית שאינה כלואה: צ.ז.צ דורש את הזווית שבין שתי הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

846
משולש 4, 6, 8
1069
משולש 6, 9, 10

משולש שצלעותיו 4, 6, 8 דומה למשולש שצלעותיו 6, 9, 10.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

64=96=1.5\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

שני יחסים שווים

108=1.25≠1.5\frac{10}{8} = 1.25 \neq 1.5

השלישי שונה

צ.צ.צ דורש שלושה יחסים שווים. שניים לא מספיקים: כדי לדמות, הצלע השלישית הייתה צריכה להיות 8×1.5=128 \times 1.5 = 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCDEF
AB=6AB = 6, BC=9BC = 9, DE=4DE = 4, והזוויות המסומנות שוות: 50∘50^\circ.

ב-△ABC\triangle ABC: AB=6AB = 6, BC=9BC = 9, ∠B=50∘\angle B = 50^\circ. ב-△DEF\triangle DEF: DE=4DE = 4, ∠E=50∘\angle E = 50^\circ. מה צריך להיות EFEF כדי שהמשולשים יהיו דומים לפי צ.ז.צ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

k=DEAB=46=23\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס מהזוג הידוע

EF=9⋅23=6\begin{aligned}EF &= 9 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 6\end{aligned}

אותו יחס לצלע השנייה

∠B\angle B כלואה בין ABAB ל-BCBC, ו-∠E\angle E בין DEDE ל-EFEF. המלכודת: לחשב 9⋅329 \cdot \frac{3}{2} — כאן המשולש השני הוא הקטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת