תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

אחד-עשר תרגילים על כל הפרק: תכונות הריבוע, שיורש גם מהמלבן וגם מהמעוין, האלכסון והזוויות שהוא יוצר, ושלוש הדרכים להוכיח שמרובע הוא ריבוע. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

היקף של ריבוע הוא 36 ס״מ. מה אורך הצלע שלו, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

36:4=936 : 4 = 9

ארבע צלעות שוות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בריבוע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. נתון AC=12AC = 12 ס״מ. מה אורך OBOB, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

BD=AC=12\begin{aligned}BD &= AC \\ &= 12\end{aligned}

האלכסונים בריבוע שווים — ירושה מהמלבן

OB=122=6\begin{aligned}OB &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

והם חוצים זה את זה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כל מעוין הוא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AB=BC=CD=DA\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

למעוין יש צלעות שוות

∠A=90° ?\angle A = 90° \ \text{?}

אבל הזוויות שלו לא חייבות להיות ישרות

הכיוון ההפוך נכון: כל ריבוע הוא מעוין. מעוין הוא ריבוע רק אם יש לו גם זווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

ריבוע ואלכסוניו

צלע של ריבוע היא 9 ס״מ. מה אורך האלכסון, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.73

הפתרון:

d2=92+92=162\begin{aligned}d^2 &= 9^2 + 9^2 \\ &= 162\end{aligned}

משפט פיתגורס — הזוויות בריבוע ישרות

d=162=92≈12.73\begin{aligned}d &= \sqrt{162} \\ &= 9\sqrt{2} \approx 12.73\end{aligned}

מוציאים שורש

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון מעוין ABCDABCD שאלכסוניו נחתכים בנקודה OO. איזה נתון נוסף מוכיח שהוא ריבוע?

  1. AC=BDAC = BD
  2. AO=OCAO = OC
  3. AC⊥BDAC \perp BD
  4. AB=BCAB = BC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א AC=BDAC = BD

הפתרון:

AC⊥BDAO=OCAC=BD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad AO &= OC \\ \quad AC &= BD\end{aligned}

מאונכים, חוצים וגם שווים — רק בריבוע

אלכסונים מאונכים וחוצים וצלעות סמוכות שוות נכונים כבר בכל מעוין — הם לא מוסיפים דבר. חסר רק מה שבא מהמלבן: אלכסונים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ריבוע ואלכסוניו

האלכסון של ריבוע הוא 10 ס״מ. מה שטח הריבוע, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

הריבוע הוא מעוין, ולכן נוסחת המעוין עובדת

S=10⋅102=50\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 10}{2} \\ &= 50\end{aligned}

שני האלכסונים שווים — ירושה מהמלבן

בדיקה: a2+a2=100a^2 + a^2 = 100, ולכן a2=50a^2 = 50 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לוח משחק שחמט הוא ריבוע, והיקפו 160 ס״מ. מה שטח הלוח, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1600

הפתרון:

160:4=40160 : 4 = 40

הצלע

40⋅40=160040 \cdot 40 = 1600

השטח

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

ABCDEFG
BE=CFBE = CF: שני קטעים שווים על שתי צלעות סמוכות.

בריבוע ABCDABCD הנקודה EE על הצלע BCBC והנקודה FF על הצלע CDCD, ונתון BE=CFBE = CF. הקטעים AEAE ו-BFBF נחתכים בנקודה GG. הוכיחו: AE=BFAE = BF וגם AE⊥BFAE \perp BF.

  • ABCDABCD ריבוע
  • EE על BCBC ו-FF על CDCD
  • BE=CFBE = CF
  • AEAE ו-BFBF נחתכים ב-GG

AE=BFAE = BF וגם AE⊥BFAE \perp BF

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD ריבוע — נתון
  2. EE על BCBC ו-FF על CDCD — נתון
  3. BE=CFBE = CF — נתון
  4. AEAE ו-BFBF נחתכים ב-GG — נתון
  5. AB=BCAB = BC — בריבוע כל הצלעות שוות
  6. ∠ABE=∠BCF=90∘\angle ABE = \angle BCF = 90^\circ — בריבוע כל הזוויות ישרות
  7. △ABE≅△BCF\triangle ABE \cong \triangle BCF — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. AE=BFAE = BF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  9. ∠BAE=∠CBF\angle BAE = \angle CBF — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  10. ∠BAE+∠AEB=90∘\angle BAE + \angle AEB = 90^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  11. ∠GBE+∠GEB=90∘\angle GBE + \angle GEB = 90^\circ — הצבה: ∠CBF=∠BAE\angle CBF = \angle BAE, שכן GG על BFBF ועל AEAE
  12. ∠BGE=90∘\angle BGE = 90^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  13. AE⊥BFAE \perp BF — ישרים הנחתכים בזווית ישרה מאונכים זה לזה

הפתרון:

AB=BC∠ABE=∠BCF=90∘BE=CF\begin{aligned}AB &= BC \\ \quad \angle ABE &= \angle BCF \\ &= 90^\circ \\ \quad BE &= CF\end{aligned}

צלע, זווית, צלע

△ABE≅△BCF ⇒ AE=BF ∠BAE=∠CBF\begin{aligned}\triangle ABE \cong \triangle BCF \ \Rightarrow\ AE &= BF \\ \ \angle BAE &= \angle CBF\end{aligned}

צלעות וזוויות מתאימות

∠BAE+∠AEB=90∘\angle BAE + \angle AEB = 90^\circ

במשולש הישר ABEABE

∠GBE+∠GEB=∠CBF+∠AEB=90∘\begin{aligned}\angle GBE + \angle GEB &= \angle CBF + \angle AEB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

מציבים ∠CBF=∠BAE\angle CBF = \angle BAE

∠BGE=180∘−90∘=90∘\begin{aligned}\angle BGE &= 180^\circ - 90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש BGEBGE

החפיפה נותנת את שני החלקים: את השוויון מיד, ואת האנכיות דרך הזוויות המתאימות. המשולש BCFBCF הוא בעצם המשולש ABEABE מסובב ב-90∘90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בריבוע ABCDABCD הנקודה EE נמצאת על הצלע BCBC, ונתון ∠BAE=20°\angle BAE = 20°. האלכסון BDBD חותך את AEAE בנקודה PP. מה גודל ∠APB\angle APB, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 115

הפתרון:

∠ABD=90°2=45°\begin{aligned}\angle ABD &= \frac{90°}{2} \\ &= 45°\end{aligned}

האלכסון בריבוע חוצה את הזווית

∠APB=180°−20°−45°=115°\begin{aligned}\angle APB &= 180° - 20° - 45° \\ &= 115°\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABPABP

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בריבוע ABCDABCD בנו על הצלע ABAB, מחוץ לריבוע, משולש שווה צלעות ABEABE. מה גודל ∠AED\angle AED, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

AE=AB=AD\begin{aligned}AE &= AB \\ &= AD\end{aligned}

צלע המשולש שווה לצלע הריבוע

∠DAE=90°+60°=150°\begin{aligned}\angle DAE &= 90° + 60° \\ &= 150°\end{aligned}

זווית הריבוע ועוד זווית המשולש

∠AED=180°−150°2=15°\begin{aligned}\angle AED &= \frac{180° - 150°}{2} \\ &= 15°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה השוקיים ADEADE

המפתח: לזהות שהמשולש ADEADE שווה שוקיים, כי AEAE ו-ADAD שתיהן שוות לצלע הריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ריבוע ואלכסוניו

חצר בית ספר בכרמיאל היא ריבוע. המרחק בין שתי פינות נגדיות, לאורך האלכסון, הוא 30 מטר. מה שטח החצר, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 450

הפתרון:

S=30⋅302=450\begin{aligned}S &= \frac{30 \cdot 30}{2} \\ &= 450\end{aligned}

שני אלכסונים שווים ומאונכים — נוסחת המעוין

בדיקה: a2+a2=900a^2 + a^2 = 900, ולכן a2=450a^2 = 450 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת