איך מוכיחים שמרובע הוא ריבוע

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

הריבוע שייך לשתי משפחות: הוא גם מלבן וגם מעוין.

לכן יש שלוש דרכים להוכיח שמרובע הוא ריבוע. מספיקה אחת.

בדרך השלישית אין מילה על מלבן או על מעוין. איפה הם מסתתרים?

להציג את התשובה והפתרון

בזוגות התכונות. חוצים ושווים — מלבן; חוצים ומאונכים — מעוין. שלושתן יחד — גם וגם.

למה סמוכות ולא נגדיות

בדרך הראשונה צריך שתי צלעות סמוכות שוות: שתי צלעות שנפגשות בקודקוד.

במלבן הצלעות הנגדיות כבר שוות. להראות זאת שוב לא מוסיף דבר.

הטעות שמבטלת את כל ההוכחה.

מלבן+AB=CD\text{מלבן} + AB = CD
מלבן+AB=BC\text{מלבן} + AB = BC

AB=CDAB = CD הן צלעות נגדיות, וזה נכון בכל מלבן — כולל מלבן שאינו ריבוע. ההוכחה כאן אינה מוכיחה כלום.

במלבן ABCDABCD נתון ש-AD=BCAD = BC. האם הוא ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

לא בהכרח. ADAD ו-BCBC הן צלעות נגדיות, והן שוות בכל מלבן.

הוכחה לדוגמה

נתון מעוין ABCDABCD שבו ∠A=90°\angle A = 90°. הוכיחו שהוא ריבוע.

ABCDABCD מעוין

∠A=90°\angle A = 90°

ABCDABCD ריבוע

AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA

במעוין כל הצלעות שוות

∠C=∠A=90°\angle C = \angle A = 90°

זוויות נגדיות במקבילית שוות

∠B=∠D=90°\angle B = \angle D = 90°

זוויות סמוכות משלימות ל-180°

מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות הוא ריבוע (ההגדרה)

זווית ישרה אחת גררה את שלוש האחרות, כי המעוין הוא מקבילית. ההוכחה נסגרת בהגדרה של הריבוע, לא במשפט שהיא מוכיחה — ומעכשיו מותר לצטט את הדרך השנייה עצמה.

איזו דרך לבחור?

בוחרים את הדרך לפי הנתונים: אם השאלה מדברת על זוויות — נוח דרך המלבן. אם היא מדברת על אורכי צלעות — נוח דרך המעוין. אם היא מדברת רק על אלכסונים — הדרך השלישית.

איך מוכיחים שמקבילית היא ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

שני שלבים: קודם שהיא מלבן (אלכסונים שווים או זווית ישרה), ואז שהיא מעוין (צלעות סמוכות שוות או אלכסונים מאונכים). שני «אישורים» נפרדים.

תרגילים

תרגיל 1

הוכחנו שמרובע הוא מלבן. מה עוד צריך כדי להוכיח שהוא ריבוע?

  1. שיש בו זווית ישרה
  2. ששתי צלעות סמוכות שוות
  3. שהאלכסונים שווים
  4. ששתי צלעות נגדיות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ששתי צלעות סמוכות שוות

הפתרון:

מלבן+AB=BC⇒ריבוע\text{מלבן} + AB = BC \Rightarrow \text{ריבוע}

הדרך הראשונה

הזוויות והאלכסונים השווים כבר קיימים במלבן — הם לא מוסיפים מידע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הוכחנו שמרובע הוא מעוין. מה עוד צריך כדי להוכיח שהוא ריבוע?

  1. שכל ארבע הזוויות ישרות
  2. שיש לו זווית ישרה אחת
  3. שהאלכסונים מאונכים
  4. שכל הצלעות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שיש לו זווית ישרה אחת

הפתרון:

∠A=90°\angle A = 90°

זווית אחת מספיקה

⇒∠B=∠C=∠D=90°\begin{aligned}\Rightarrow \angle B &= \angle C \\ &= \angle D \\ &= 90°\end{aligned}

כי מעוין הוא מקבילית

הצלעות השוות והאלכסונים המאונכים כבר קיימים במעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה צירוף של תכונות האלכסונים מוכיח שמרובע הוא ריבוע?

  1. שווים בלבד
  2. חוצים זה את זה בלבד
  3. מאונכים, חוצים זה את זה ושווים
  4. מאונכים בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מאונכים, חוצים זה את זה ושווים

הפתרון:

⊥+חוצים+=⇒ריבוע\perp \quad +\quad \text{חוצים} \quad +\quad = \quad \Rightarrow\quad \text{ריבוע}

שלושתן ביחד

חוצים לבד = מקבילית. חוצים ושווים = מלבן. חוצים ומאונכים = מעוין. שלושתן = ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במלבן הראו ש-AB=CDAB = CD. האם הוכחנו שהוא ריבוע?

  1. לא ניתן לדעת
  2. לא — אלה צלעות נגדיות, וזה נכון בכל מלבן
  3. כן
  4. כן, אם המלבן גם מקבילית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא — אלה צלעות נגדיות, וזה נכון בכל מלבן

הפתרון:

AB=CDנכון בכל מלבןAB = CD \quad \text{נכון בכל מלבן}

לא הוספנו מידע

צריך צלעות סמוכות — שתי צלעות שנפגשות בקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה מהדרכים צריך להראות כדי להוכיח שמרובע הוא ריבוע?

  1. שתיים מתוך השלוש
  2. אחת מתוך השלוש
  3. תלוי בשאלה
  4. את כל השלוש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אחת מתוך השלוש

הפתרון:

1מתוך31 \quad \text{מתוך}\quad 3

כל דרך היא משפט שלם

בוחרים את זו שהנתונים כבר מובילים אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD
מעוין עם זווית ישרה אחת — האם זה מספיק?

במעוין ABCDABCD נתון שהזווית ∠A\angle A ישרה. הוכיחו כי ABCDABCD הוא ריבוע.

  • ABCDABCD מעוין
  • ∠A=90∘\angle A = 90^\circ

ABCDABCD ריבוע

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מעוין — נתון
  2. ∠A=90∘\angle A = 90^\circ — נתון
  3. כל צלעות ABCDABCD שוות — במעוין כל הצלעות שוות
  4. ABCDABCD מקבילית — מעוין הוא מקבילית מיוחדת
  5. ∠C=∠A=90∘\angle C = \angle A = 90^\circ — במקבילית הזוויות הנגדיות שוות
  6. ∠B=∠D=90∘\angle B = \angle D = 90^\circ — זוויות חד־צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל-180∘180^\circ
  7. ABCDABCD ריבוע — מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות הוא ריבוע

הפתרון:

∠C=∠A=90∘\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית

∠B=∠D=180∘−90∘=90∘\begin{aligned}\angle B &= \angle D \\ &= 180^\circ - 90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

והחד־צדדיות

כל הצלעות שוות+כל הזוויות ישרות\text{כל הצלעות שוות} + \text{כל הזוויות ישרות}

שתי הדרישות של הריבוע

ריבוע = מעוין + זווית ישרה, וגם ריבוע = מלבן + שתי צלעות סמוכות שוות. שני מסלולים לאותו יעד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD
מלבן שאלכסונו חוצה את הזווית הישרה ב-AA.

במלבן ABCDABCD האלכסון ACAC חוצה את הזווית ∠BAD\angle BAD. הוכיחו כי ABCDABCD הוא ריבוע.

  • ABCDABCD מלבן
  • ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD

ABCDABCD ריבוע

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מלבן — נתון
  2. ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD — נתון
  3. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  4. AB∥DCAB \parallel DC — במלבן הצלעות הנגדיות מקבילות
  5. ∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  6. ∠DAC=∠DCA\angle DAC = \angle DCA — שתי זוויות השוות לזווית שלישית שוות זו לזו
  7. DA=DCDA = DC — במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  8. ABCDABCD ריבוע — מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע

הפתרון:

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD

∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA

זוויות מתחלפות בין AB∥DCAB \parallel DC

∠DAC=∠DCA ⇒ DA=DC\begin{aligned}\angle DAC &= \angle DCA \ \Rightarrow\ DA \\ &= DC\end{aligned}

במשולש ADCADC: מול זוויות שוות צלעות שוות

ABCD ריבועABCD \ \text{ריבוע}

מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות — הדרך הראשונה

חוצה הזווית והמקבילות יחד יוצרים משולש שווה-שוקיים — אותה תבנית כמו במקבילית שבה אלכסון חוצה זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מעוין עם אלכסונים שווים — מה הוא?

  1. מלבן בלבד
  2. ריבוע
  3. דלתון
  4. נשאר מעוין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ריבוע

הפתרון:

מעוין+=→ריבוע\text{מעוין} + = \rightarrow \text{ריבוע}

מעוין נותן צלעות שוות ואלכסונים מאונכים; אלכסונים שווים מוסיפים את הזווית הישרה — יחד, ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מלבן עם אלכסונים מאונכים — מה הוא?

  1. נשאר מלבן
  2. ריבוע
  3. טרפז
  4. מעוין בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ריבוע

הפתרון:

מלבן+⊥→ריבוע\text{מלבן} + \perp \rightarrow \text{ריבוע}

מלבן נותן את הזוויות הישרות; אלכסונים מאונכים מוסיפים את שוויון הצלעות — יחד, ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

למה הוכחת ריבוע דורשת שני שלבים?

  1. כי יש 4 צלעות
  2. כי הוא גדול
  3. כי צריך גם את תכונות המלבן וגם את של המעוין
  4. לא דורשת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי צריך גם את תכונות המלבן וגם את של המעוין

הפתרון:

מלבן∩מעוין\text{מלבן} \cap \text{מעוין}

ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין. להוכיח רק אחד מהם משאיר חצי מהתכונות בלי הצדקה. גם הדרך השלישית, שנראית כשלב אחד, מכילה את שניהם: אלכסונים חוצים ושווים — מלבן; חוצים ומאונכים — מעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון מלבן ABCDABCD שאלכסוניו נחתכים בנקודה OO. איזה נתון נוסף מספיק כדי להוכיח שהוא ריבוע?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • ∠B=90°\angle B = 90°
  • AB=BCAB = BC
  • AB=CDAB = CD
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • AC=BDAC = BD
  • ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=BCAB = BC — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD — מספיק · ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD — מספיק · AB=CDAB = CD — לא מספיק · AC=BDAC = BD — לא מספיק · ∠B=90°\angle B = 90° — לא מספיק

הפתרון:

מלבן AB=BC⇒ריבוע\begin{aligned}\text{מלבן} \\ \ AB &= BC \Rightarrow \text{ריבוע}\end{aligned}

מלבן עם צלעות סמוכות שוות

AB=CD AC=BD ∠B=90°\begin{aligned}AB &= CD \\ \ AC &= BD \\ \ \angle B &= 90°\end{aligned}

נכון בכל מלבן — לא מוסיף דבר

למלבן חסרות רק צלעות סמוכות שוות. צלעות סמוכות שוות, אלכסונים מאונכים או אלכסון שחוצה זווית — כל אחד מהם מוסיף את מה שחסר. AB=CDAB = CD, AC=BDAC = BD ו-∠B=90°\angle B = 90° נכונים בכל מלבן, ולכן הם לא מוסיפים דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה מקבילית ABCDABCD שבה AC=BDAC = BD ו-AB=BCAB = BC. כך הוכיחו שהיא ריבוע. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

ABCD מקבילית AC=BD (נתון)\begin{aligned}ABCD \ \text{מקבילית} \\ \ AC &= BD \ (\text{נתון})\end{aligned}
ABCD מלבן (מקבילית שאלכסוניה שווים)ABCD \ \text{מלבן} \ (\text{מקבילית שאלכסוניה שווים})
AB=CD (נתון)AB = CD \ (\text{נתון})
ABCD ריבוע (מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{ריבוע} \ (\text{מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=CD (נתון)AB = CD \ (\text{נתון}) → AB=BC (נתון)AB = BC \ (\text{נתון})

הפתרון:

AB=BCAB = BC

הנתון: שתי צלעות סמוכות

מלבן AB=BC⇒ריבוע\begin{aligned}\text{מלבן} \\ \ AB &= BC \Rightarrow \text{ריבוע}\end{aligned}

ABAB ו-CDCD הן צלעות נגדיות, וזה גם לא הנתון. צלעות נגדיות שוות בכל מלבן, ולכן אין בהן הוכחה. הנתון הוא AB=BCAB = BC — שתי צלעות סמוכות, ורק הן משלימות את המלבן לריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתון מעוין ABCDABCD שבו AC=BDAC = BD. סדרו את שלבי ההוכחה שהוא ריבוע.

  • ABCDABCD מלבן — מקבילית שאלכסוניה שווים
  • ABCDABCD מעוין ו-AC=BDAC = BD (נתון)
  • ABCDABCD מקבילית — כל מעוין הוא מקבילית
  • ABCDABCD ריבוע — מלבן שהוא גם מעוין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ABCDABCD מעוין ו-AC=BDAC = BD (נתון) · ABCDABCD מקבילית — כל מעוין הוא מקבילית · ABCDABCD מלבן — מקבילית שאלכסוניה שווים · ABCDABCD ריבוע — מלבן שהוא גם מעוין

הפתרון:

מעוין⇒מקבילית\text{מעוין} \Rightarrow \text{מקבילית}
מקבילית AC=BD⇒מלבן\begin{aligned}\text{מקבילית} \\ \ AC &= BD \Rightarrow \text{מלבן}\end{aligned}
מלבן+מעוין⇒ריבוע\text{מלבן} + \text{מעוין} \Rightarrow \text{ריבוע}

כל שורה נשענת על השורה שלפניה: בלי לדעת שהמעוין הוא מקבילית אי אפשר להשתמש במשפט על מקבילית עם אלכסונים שווים, ובלי המלבן אין ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו כל נתון למה שמשלים אותו לריבוע

  • מלבן ו-AB=BCAB = BC
  • מלבן ו-AC⊥BDAC \perp BD
  • מעוין ו-∠A=90∘\angle A = 90^\circ
  • מעוין ו-AC=BDAC = BD
  • דרך 1: אלכסונים מאונכים
  • דרך 1: צלעות סמוכות שוות
  • דרך 2: אלכסונים שווים
  • דרך 2: זווית ישרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלבן ו-AB=BCAB = BC — דרך 1: צלעות סמוכות שוות · מלבן ו-AC⊥BDAC \perp BD — דרך 1: אלכסונים מאונכים · מעוין ו-∠A=90∘\angle A = 90^\circ — דרך 2: זווית ישרה · מעוין ו-AC=BDAC = BD — דרך 2: אלכסונים שווים

הפתרון:

מלבן+(AB=BC או AC⊥BD)\text{מלבן} + (AB = BC \ \text{או}\ AC \perp BD)

למלבן חסרות רק הצלעות

מעוין+(∠A=90∘ או AC=BD)\text{מעוין} + (\angle A = 90^\circ \ \text{או}\ AC = BD)

למעוין חסרות רק הזוויות

בכל דרך מוסיפים בדיוק את מה שחסר למשפחה. נתון שכבר יש בה לא מקדם כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCDO
מעוין ABCDABCD, והאלכסונים מאונכים.

מעוין ABCDABCD שבו AC⊥BDAC \perp BD הוא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC⊥BDAC \perp BD

נכון בכל מעוין

האלכסונים של כל מעוין מאונכים, ולכן הנתון לא מוסיף דבר. חסרה זווית ישרה, או אלכסונים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

אילו נתונים מוכיחים שהמרובע הוא ריבוע?

  • מוכיח ריבוע
  • לא מספיק
  • מלבן, AB=BCAB = BC
  • מלבן, AB=CDAB = CD
  • מלבן, AC⊥BDAC \perp BD
  • מעוין, ∠A=90∘\angle A = 90^\circ
  • מעוין, AC⊥BDAC \perp BD
  • מעוין, AC=BDAC = BD
  • מקבילית, AC=BDAC = BD
  • מרובע, AC=BDAC = BD, AC⊥BDAC \perp BD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלבן, AB=BCAB = BC — מוכיח ריבוע · מלבן, AB=CDAB = CD — לא מספיק · מעוין, ∠A=90∘\angle A = 90^\circ — מוכיח ריבוע · מעוין, AC⊥BDAC \perp BD — לא מספיק · מלבן, AC⊥BDAC \perp BD — מוכיח ריבוע · מעוין, AC=BDAC = BD — מוכיח ריבוע · מקבילית, AC=BDAC = BD — לא מספיק · מרובע, AC=BDAC = BD, AC⊥BDAC \perp BD — לא מספיק

הפתרון:

מלבן+AB=CD\text{מלבן} + AB = CD

נגדיות: נכון בכל מלבן

מעוין+AC⊥BD\text{מעוין} + AC \perp BD

מאונכים: נכון בכל מעוין

מקבילית+AC=BD\text{מקבילית} + AC = BD

זה רק מלבן

המלכודת: נתון שכבר נובע מהמשפחה לא מוסיף כלום. ו«שווים ומאונכים» בלי «חוצים» אינו מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCDO
מקבילית ABCDABCD שבה AC=BDAC = BD ו-AC⊥BDAC \perp BD

סדרו את שלבי ההוכחה: מקבילית ABCDABCD שבה AC=BDAC = BD וגם AC⊥BDAC \perp BD היא ריבוע.

  • ABCDABCD מלבן — מקבילית שאלכסוניה שווים
  • ABCDABCD מקבילית ו-AC=BDAC = BD — נתון
  • ABCDABCD ריבוע — מלבן שאלכסוניו מאונכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ABCDABCD מקבילית ו-AC=BDAC = BD — נתון · ABCDABCD מלבן — מקבילית שאלכסוניה שווים · ABCDABCD ריבוע — מלבן שאלכסוניו מאונכים

הפתרון:

AC=BD⇒מלבןAC = BD \Rightarrow \text{מלבן}

שלב א

מלבן+AC⊥BD⇒ריבוע\text{מלבן} + AC \perp BD \Rightarrow \text{ריבוע}

שלב ב, הדרך הראשונה

אי אפשר לקפוץ ישר לריבוע: קודם המשפחה, ואז מה שחסר לה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת