תכונות הריבוע

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות.

לכן הוא גם מלבן וגם מעוין. הוא יורש את התכונות של שניהם.

מה צריך לשנות במלבן כדי שיהיה ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

את הרוחב, עד שיהיה שווה לאורך. אז כל הצלעות שוות, והזוויות כבר ישרות.

התכונות

כל תכונה של הריבוע מגיעה מאחד ההורים, או משניהם.

הריבוע יורש משני הורים — מי הם?

להציג את התשובה והפתרון

המלבן (זוויות ישרות, אלכסונים שווים) והמעוין (צלעות שוות, אלכסונים מאונכים וחוצי זווית). הוא כל התכונות ביחד.

שלוש תכונות של האלכסונים

לאלכסוני הריבוע יש שלוש תכונות: הם חוצים זה את זה, שווים ומאונכים.

הריבוע הוא המרובע היחיד שאלכסוניו שווים, חוצים ומאונכים בבת אחת. כל אחת משלוש התכונות לבדה שייכת גם למרובע אחר — רק ביחד הן מזהות ריבוע.

מקבילית שאלכסוניה שווים — מה היא? ואם הם גם מאונכים?

להציג את התשובה והפתרון

מלבן. ואם הם גם מאונכים — ריבוע: הם חוצים (כמו בכל מקבילית), שווים ומאונכים.

האלכסון חוצה את הזווית

האלכסון בריבוע חוצה את הזוויות: כל זווית של 90° נחתכת לשתי זוויות של 45°. זו ירושה מהמעוין.

d2=a2+a2=2a2⇒d=a2\begin{aligned}d^2 &= a^2 + a^2 \\ &= 2a^2 \quad\Rightarrow\quad d \\ &= a\sqrt{2}\end{aligned}

האלכסון dd בריבוע שצלעו aa

למה האלכסון ארוך מהצלע?

להציג את התשובה והפתרון

כי הוא היתר במשולש ישר הזווית ABCABC, והיתר הוא הצלע הארוכה ביותר. 2≈1.41\sqrt{2} \approx 1.41: האלכסון ארוך מהצלע בערך פי 1.4.

תרגילים

תרגיל 1

מה היקף ריבוע שצלעו 4 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

P=4a=4⋅4=16\begin{aligned}P &= 4a \\ &= 4 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

כל הצלעות שוות

זו הצורה היחידה שבה מספר אחד קובע הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מה היקף ריבוע שצלעו 7 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

P=4a=4⋅7=28\begin{aligned}P &= 4a \\ &= 4 \cdot 7 \\ &= 28\end{aligned}

כל הצלעות שוות

זו הצורה היחידה שבה מספר אחד קובע הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מה היקף ריבוע שצלעו 10 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

P=4a=4⋅10=40\begin{aligned}P &= 4a \\ &= 4 \cdot 10 \\ &= 40\end{aligned}

כל הצלעות שוות

זו הצורה היחידה שבה מספר אחד קובע הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מה היקף ריבוע שצלעו 2.5 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

P=4a=4⋅2.5=10\begin{aligned}P &= 4a \\ &= 4 \cdot 2.5 \\ &= 10\end{aligned}

כל הצלעות שוות

זו הצורה היחידה שבה מספר אחד קובע הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מה אורך האלכסון בריבוע שצלעו 5 ס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.07

הפתרון:

d2=52+52=50\begin{aligned}d^2 &= 5^2 + 5^2 \\ &= 50\end{aligned}

פיתגורס, הזווית ישרה

d=7.07d = 7.07

ומוציאים שורש

האלכסון בריבוע הוא תמיד הצלע כפול 2\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מה אורך האלכסון בריבוע שצלעו 8 ס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.31

הפתרון:

d2=82+82=128\begin{aligned}d^2 &= 8^2 + 8^2 \\ &= 128\end{aligned}

פיתגורס, הזווית ישרה

d=11.31d = 11.31

ומוציאים שורש

האלכסון בריבוע הוא תמיד הצלע כפול 2\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מה אורך האלכסון בריבוע שצלעו 3 ס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.24

הפתרון:

d2=32+32=18\begin{aligned}d^2 &= 3^2 + 3^2 \\ &= 18\end{aligned}

פיתגורס, הזווית ישרה

d=4.24d = 4.24

ומוציאים שורש

האלכסון בריבוע הוא תמיד הצלע כפול 2\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איזה מרובע הוא היחיד שאלכסוניו שווים, חוצים וגם מאונכים?

  1. מקבילית
  2. מלבן
  3. ריבוע
  4. מעוין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ריבוע

הפתרון:

AC=BDAO=OCAC⊥BD\begin{aligned}AC &= BD \\ \quad AO &= OC \\ \quad AC \perp BD\end{aligned}

שלוש התכונות יחד

במלבן חסרה האנכיות, במעוין חסר השוויון. רק הריבוע מקיים את שלושתן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

האלכסון בריבוע חוצה זווית של 90°. מה גודל כל אחת מהזוויות שנוצרות, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

902=45\frac{90}{2} = 45

האלכסון חוצה את הזווית

ולכן משולש שנוצר מאלכסון בריבוע הוא תמיד 45-45-90.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בריבוע צלע 6 — מהו אורך האלכסון בריבוע (כלומר d2d^2)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

62+62=726^2 + 6^2 = 72

פיתגורס

האלכסון עצמו 626\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCD
האלכסון חותך את הריבוע לשני משולשים.

נתון ריבוע ABCDABCD ואלכסונו ACAC. הוכיחו: ∠BAC=45∘\angle BAC = 45^\circ.

  • ABCDABCD ריבוע

∠BAC=45∘\angle BAC = 45^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD ריבוע — נתון
  2. AB=BCAB = BC — בריבוע כל הצלעות שוות
  3. △ABC\triangle ABC שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
  4. ∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA — במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות
  5. ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ — בריבוע כל הזוויות ישרות
  6. ∠BAC+∠BCA=90∘\angle BAC + \angle BCA = 90^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  7. ∠BAC=45∘\angle BAC = 45^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 90∘90^\circ — כל אחת 45∘45^\circ

הפתרון:

AB=BCAB = BC

צלעות הריבוע — המשולש ABCABC שווה-שוקיים

∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA

זוויות הבסיס

∠BAC+∠BCA=180∘−90∘=90∘\begin{aligned}\angle BAC + \angle BCA &= 180^\circ - 90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש, ו-∠B=90∘\angle B = 90^\circ

∠BAC=45∘\angle BAC = 45^\circ

שתי זוויות שוות שסכומן 90∘90^\circ

ולכן האלכסון חוצה את הזווית הישרה ∠BAD\angle BAD: 45∘+45∘45^\circ + 45^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
  • AC=BDAC = BD
  • AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • האלכסונים חוצים זה את זה — מהמקבילית.
  • האלכסונים מאונכים — מהמעוין.
  • האלכסונים שווים — מהמלבן.
  • כל הצלעות שוות.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA — כל הצלעות שוות. · AC=BDAC = BD — האלכסונים שווים — מהמלבן. · AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD — האלכסונים חוצים זה את זה — מהמקבילית. · AC⊥BDAC \perp BD — האלכסונים מאונכים — מהמעוין.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בריבוע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. אילו מהתכונות האלה נכונות גם בכל מלבן?

  • נכון בכל מלבן
  • לא בכל מלבן
  • ∠A=90°\angle A = 90°
  • ∠BAC=45°\angle BAC = 45°
  • AB=BCAB = BC
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • AC=BDAC = BD
  • AO=OCAO = OC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AC=BDAC = BD — נכון בכל מלבן · ∠A=90°\angle A = 90° — נכון בכל מלבן · AO=OCAO = OC — נכון בכל מלבן · AC⊥BDAC \perp BD — לא בכל מלבן · AB=BCAB = BC — לא בכל מלבן · ∠BAC=45°\angle BAC = 45° — לא בכל מלבן

הפתרון:

AC=BDAO=OC∠A=90°\begin{aligned}AC &= BD \\ \quad AO &= OC \\ \quad \angle A &= 90°\end{aligned}

תכונות המלבן — בכל מלבן

AC⊥BDAB=BC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad AB &= BC\end{aligned}

תכונות המעוין — לא בכל מלבן

אלכסונים שווים, זוויות ישרות ואלכסונים שחוצים זה את זה — את אלה הריבוע יורש מהמלבן. אלכסונים מאונכים, צלעות סמוכות שוות ואלכסון שחוצה את הזווית לשתי זוויות של 45° — את אלה הוא יורש מהמעוין, ובמלבן רגיל הם לא מתקיימים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו

בריבוע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO, ונתון AC=10AC = 10 ס״מ. אורך OBOB הוא ____ ס״מ, הזווית ∠AOB\angle AOB היא בת ____ מעלות, ושטח המשולש AOBAOB הוא ____ סמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בריבוע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO, ונתון AC=10AC = 10 ס״מ. אורך OBOB הוא 5 ס״מ, הזווית ∠AOB\angle AOB היא בת 90 מעלות, ושטח המשולש AOBAOB הוא 12.5 סמ״ר.

הפתרון:

BD=AC=10\begin{aligned}BD &= AC \\ &= 10\end{aligned}

האלכסונים בריבוע שווים

OB=BD2=5\begin{aligned}OB &= \frac{BD}{2} \\ &= 5\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

∠AOB=90°\angle AOB = 90°

האלכסונים מאונכים

SAOB=5⋅52=12.5\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

משולש ישר-זווית: מכפלת הניצבים חלקי 2

שלוש תכונות של האלכסונים בבת אחת: הם שווים, חוצים זה את זה ומאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בריבוע ABCDABCD שצלעו 4 ס״מ האלכסונים נחתכים בנקודה OO. כך חישבו את AOAO. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

AC2=42+42=32\begin{aligned}AC^2 &= 4^2 + 4^2 \\ &= 32\end{aligned}
AC=32≈5.66AC = \sqrt{32} \approx 5.66
AO=2⋅AC≈11.31AO = 2 \cdot AC \approx 11.31
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AO=2⋅AC≈11.31AO = 2 \cdot AC \approx 11.31 → AO=AC2≈2.83AO = \frac{AC}{2} \approx 2.83

הפתרון:

AC=32≈5.66AC = \sqrt{32} \approx 5.66

פיתגורס במשולש ABCABC

AO=5.662≈2.83AO = \frac{5.66}{2} \approx 2.83

האלכסונים חוצים זה את זה

OO היא אמצע האלכסון, ולכן AOAO הוא חצי מ-ACAC ולא פי שניים. קטע שהוא חלק מהאלכסון לא יכול להיות ארוך מהאלכסון כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

סדרו את הקטעים מהקצר לארוך

  • אלכסון של ריבוע שצלעו 5 ס״מ
  • אלכסון של ריבוע ששטחו 50 סמ״ר
  • צלע של ריבוע שהיקפו 26 ס״מ
  • צלע של ריבוע ששטחו 49 סמ״ר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: צלע של ריבוע שהיקפו 26 ס״מ · צלע של ריבוע ששטחו 49 סמ״ר · אלכסון של ריבוע שצלעו 5 ס״מ · אלכסון של ריבוע ששטחו 50 סמ״ר

הפתרון:

26:4=6.526 : 4 = 6.5

היקף חלקי 4

49=7\sqrt{49} = 7

השטח הוא הצלע בריבוע

52+52=50≈7.07\sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.07

פיתגורס

d2=2⋅50=100 d=10\begin{aligned}d^2 &= 2 \cdot 50 \\ &= 100 \\ \ d &= 10\end{aligned}

שטח הריבוע הוא d22\frac{d^2}{2}

מחשבים כל אורך, ואז משווים. שימו לב ש-7 ו-7.07 קרובים מאוד — האלכסון של ריבוע שצלעו 5 ארוך רק מעט מ-7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מאיזה הורה הריבוע יורש כל תכונה?

  • מהמלבן
  • מהמעוין
  • האלכסון חוצה את הזווית
  • האלכסונים מאונכים
  • האלכסונים שווים
  • כל הזוויות ישרות
  • כל הצלעות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כל הזוויות ישרות — מהמלבן · האלכסונים שווים — מהמלבן · כל הצלעות שוות — מהמעוין · האלכסונים מאונכים — מהמעוין · האלכסון חוצה את הזווית — מהמעוין

הפתרון:

מלבן:∠A=90∘ AC=BD\begin{aligned}\text{מלבן}: \angle A &= 90^\circ \\ \ AC &= BD\end{aligned}

מה שיש בכל מלבן

מעוין:AB=BC AC⊥BD\begin{aligned}\text{מעוין}: AB &= BC \\ \ AC \perp BD\end{aligned}

מה שיש בכל מעוין

המלכודת: לחשוב שהאלכסונים השווים באים מהמעוין. במעוין הם מאונכים, לא שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCD
ריבוע ABCDABCD: ארבע צלעות שוות וארבע זוויות ישרות.

כל ריבוע הוא גם מלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠A=∠B=∠C=∠D=90∘\begin{aligned}\angle A &= \angle B \\ &= \angle C \\ &= \angle D \\ &= 90^\circ\end{aligned}

בריבוע כל הזוויות ישרות

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות, והריבוע מקיים את זה. ההפך לא נכון: לא כל מלבן הוא ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCDO
AC=BDAC = BD ו-AC⊥BDAC \perp BD. השרטוט לבדו לא מוכיח כלום.

מרובע ABCDABCD שבו AC=BDAC = BD וגם AC⊥BDAC \perp BD הוא בהכרח ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC=BDAC⊥BD\begin{aligned}AC &= BD \\ \quad AC \perp BD\end{aligned}

שווים ומאונכים

AO≠OCAO \ne OC

אבל ייתכן שהם לא חוצים זה את זה

בלי «חוצים» המרובע אפילו לא מקבילית. צריך את שלוש התכונות יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCD
צלע הריבוע 9 ס״מ, ו-ACAC הוא האלכסון שמחפשים

בריבוע שצלעו 9 ס״מ חישבו את אורך האלכסון.

d2=92+92d^2 = 9^2 + 9^2
d2=162d^2 = 162
d=81d = 81
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: d=81d = 81 → d=162=92≈12.73d = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \approx 12.73

הפתרון:

d=162≈12.73d = \sqrt{162} \approx 12.73

מוציאים שורש, לא מחלקים ב-2

81 הוא חצי מ-162, לא השורש שלו. האלכסון ארוך מהצלע (9), אבל קצר מפעמיים הצלע (18).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת