צמצום שברים אלגבריים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

שבר אלגברי הוא שבר שיש בו נעלם, כמו x2+3xx\frac{x^2 + 3x}{x}.

מצמצמים אותו בדיוק כמו את 69\frac{6}{9}. רק שקודם מפרקים לגורמים את המונה ואת המכנה.

את כלי הפירוק כבר יש: טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר. אין כלי חדש — יש סדר חדש.

איך מצמצמים את 69\frac{6}{9}?

להציג את התשובה והפתרון

69=2⋅33⋅3=23\frac{6}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{2}{3}. מפרקים, ומוחקים את הגורם 3 שלמעלה ושלמטה.

הכלל שקובע הכול

a⋅ba⋅c=bc\frac{a \cdot b}{a \cdot c} = \frac{b}{c}

מותר: aa מוכפל — הוא גורם.

a+ba+c≠bc\frac{a + b}{a + c} \neq \frac{b}{c}

אסור: aa מחובר — הוא איבר בסכום.

מצמצמים רק גורמים — דברים שמוכפלים.

אסור לצמצם איבר מתוך סכום. זו הטעות שחוזרת הכי הרבה בפרק.

כמה זה 5xx\frac{5x}{x}? ואפשר לצמצם את x+5x\frac{x + 5}{x}?

להציג את התשובה והפתרון

5xx=5\frac{5x}{x} = 5 — כאן xx גורם. את x+5x\frac{x + 5}{x} אי אפשר לצמצם: שם xx איבר בסכום.

תחום ההגדרה

מכנה אסור שיהיה אפס. לכן רושמים אילו ערכים אסורים לנעלם: זה תחום ההגדרה.

רושמים אותו לפני הצמצום. אחרי הצמצום הגורם שנמחק כבר לא על הדף.

הטעות ששווה את כל הנקודות.

a2−aa−1=a21=a2\begin{aligned}\frac{a^2 - a}{a - 1} &= \frac{a^2}{1} \\ &= a^2\end{aligned}
a(a−1)a−1=a\frac{a(a - 1)}{a - 1} = a

מחקו את ה-aa ואת ה-11 מתוך סכומים. צמצום מותר רק אחרי פירוק, וכשמדובר בסוגריים שלמות מול סוגריים שלמות.

מתי אסור לצמצם ב-xx?

להציג את התשובה והפתרון

כש-xx עלול להיות אפס — או כשהוא מחובר ולא מוכפל: את x+3x\frac{x+3}{x} אסור «לצמצם» ל-3.

תרגילים

תרגיל 1

צמצמו את השבר:

a2−aa−1\frac{a^2 - a}{a - 1}
  1. 1a\frac{1}{a}
  2. a2a^2
  3. aa
  4. a−1a - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג aa

הפתרון:

a(a−1)a−1\frac{a(a - 1)}{a - 1}

גורם משותף במונה

=a= a

מצמצמים את הגורם (a−1)(a-1)

תחום הגדרה: a≠1a \neq 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

צמצמו את השבר:

m2+mm2−1\frac{m^2 + m}{m^2 - 1}
  1. m+1m−1\frac{m + 1}{m - 1}
  2. mm
  3. mm+1\frac{m}{m + 1}
  4. mm−1\frac{m}{m - 1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד mm−1\frac{m}{m - 1}

הפתרון:

m(m+1)(m−1)(m+1)\frac{m(m + 1)}{(m - 1)(m + 1)}

גורם משותף למעלה, הפרש ריבועים למטה

=mm−1= \frac{m}{m - 1}

מצמצמים (m+1)(m+1)

תחום הגדרה: m≠1m \neq 1 וגם m≠−1m \neq -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

צמצמו את השבר:

k2+4k+43k+6\frac{k^2 + 4k + 4}{3k + 6}
  1. 23\frac{2}{3}
  2. k23\frac{k^2}{3}
  3. k+23k\frac{k + 2}{3k}
  4. k+23\frac{k + 2}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד k+23\frac{k + 2}{3}

הפתרון:

(k+2)23(k+2)\frac{(k + 2)^2}{3(k + 2)}

ריבוע מושלם למעלה, גורם משותף למטה

=k+23= \frac{k + 2}{3}

מצמצמים (k+2)(k+2) אחד

תחום הגדרה: k≠−2k \neq -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

צמצמו את השבר:

2b2−72b2−7b+6\frac{2b^2 - 72}{b^2 - 7b + 6}
  1. b+6b−1\frac{b + 6}{b - 1}
  2. 2(b−6)b−1\frac{2(b - 6)}{b - 1}
  3. 2(b+6)b−1\frac{2(b + 6)}{b - 1}
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2(b+6)b−1\frac{2(b + 6)}{b - 1}

הפתרון:

2(b−6)(b+6)(b−6)(b−1)\frac{2(b - 6)(b + 6)}{(b - 6)(b - 1)}

הפרש ריבועים למעלה, טרינום למטה

=2(b+6)b−1= \frac{2(b + 6)}{b - 1}

מצמצמים (b−6)(b-6)

הטרינום: מכפלה 6, סכום 7− — כלומר 6− ו-1−.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

צמצמו את השבר:

a3−aa2−2a+1\frac{a^3 - a}{a^2 - 2a + 1}
  1. a(a+1)a(a+1)
  2. a+1a−1\frac{a + 1}{a - 1}
  3. aa−1\frac{a}{a - 1}
  4. a(a+1)a−1\frac{a(a + 1)}{a - 1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד a(a+1)a−1\frac{a(a + 1)}{a - 1}

הפתרון:

a(a−1)(a+1)(a−1)2\frac{a(a - 1)(a + 1)}{(a - 1)^2}

גורם משותף ואז הפרש ריבועים

=a(a+1)a−1= \frac{a(a + 1)}{a - 1}

מצמצמים (a−1)(a-1) אחד

תחום הגדרה: a≠1a \neq 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

צמצמו את השבר:

k3−6k2−16kk3−4k\frac{k^3 - 6k^2 - 16k}{k^3 - 4k}
  1. k−8k−2\frac{k - 8}{k - 2}
  2. k−8k+2\frac{k - 8}{k + 2}
  3. k+8k+2\frac{k + 8}{k + 2}
  4. k−8k - 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א k−8k−2\frac{k - 8}{k - 2}

הפתרון:

k(k2−6k−16)k(k2−4)\frac{k(k^2 - 6k - 16)}{k(k^2 - 4)}

גורם משותף kk בשניהם

k(k−8)(k+2)k(k−2)(k+2)\frac{k(k - 8)(k + 2)}{k(k - 2)(k + 2)}

טרינום למעלה, הפרש ריבועים למטה

=k−8k−2= \frac{k - 8}{k - 2}

מצמצמים kk ו-(k+2)(k+2)

הטרינום: מכפלה 16−, סכום 6− — כלומר 8− ו-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מה מותר לצמצם בשבר אלגברי?

  1. כל איבר שמופיע למעלה ולמטה
  2. רק מספרים
  3. רק גורמים
  4. רק נעלמים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג רק גורמים

הפתרון:

a+ba+c≠bc\frac{a+b}{a+c} \neq \frac{b}{c}

איבר של סכום אינו גורם

זו הסיבה שמפרקים לגורמים לפני הצמצום: הפירוק הופך סכומים למכפלות. דברים שמוכפלים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מתי רושמים את תחום ההגדרה?

  1. אף פעם
  2. לפני הצמצום, על סמך המכנה המקורי
  3. רק אם השאלה מבקשת
  4. אחרי הצמצום, על סמך התוצאה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לפני הצמצום, על סמך המכנה המקורי

הפתרון:

a(a−1)a−1, a≠1\frac{a(a-1)}{a-1},\ a \neq 1

הגורם שנמחק נעלם מהדף

אחרי הצמצום כבר אי אפשר לדעת שהיה שם (a−1)(a-1) — ולכן התנאי חייב להירשם לפני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

צמצמו: 6x23x\frac{6x^2}{3x} — מהו המקדם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

6x23x=2x\frac{6x^2}{3x} = 2x

מצמצמים גם את המקדמים וגם את החזקות: 6:36:3 נותן 2, ו-x2:xx^2:x נותן xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צמצמו: 5(x+2)10(x+2)\frac{5(x+2)}{10(x+2)} — מהו המכנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

510=12\frac{5}{10} = \frac{1}{2}

הגורם הזהה מצטמצם

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

צמצמו: x2+3xx\frac{x^2 + 3x}{x} =

x ועוד ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x ועוד 3.

הפתרון:

x(x+3)x=x+3\frac{x(x+3)}{x} = x + 3

מוציאים גורם משותף — ואז מצמצמים

קודם מפרקים את המונה: x(x+3)x(x+3). עכשיו ה-x גורם כופל, ומותר לצמצם אותו עם המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: באילו שברים מותר לצמצם את ה-x — ובאילו אסור?

  • מותר לצמצם ב-x
  • אסור
  • 3x2x\frac{3x^2}{x}
  • 5xx\frac{5x}{x}
  • x2+1x\frac{x^2+1}{x}
  • x2+2xx\frac{x^2+2x}{x}
  • x+2x\frac{x+2}{x}
  • x+77x\frac{x+7}{7x}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+2xx\frac{x^2+2x}{x} — מותר לצמצם ב-x · x+2x\frac{x+2}{x} — אסור · 5xx\frac{5x}{x} — מותר לצמצם ב-x · x2+1x\frac{x^2+1}{x} — אסור · 3x2x\frac{3x^2}{x} — מותר לצמצם ב-x · x+77x\frac{x+7}{7x} — אסור

הפתרון:

x+2x≠1+2\frac{x+2}{x} \ne 1 + 2

מצמצמים גורמים, לא מחוברים

צמצום מותר רק כשה-x כופל את כל המונה. ב-x+2x\frac{x+2}{x} ה-2 לא מוכפל ב-x — נגיעה בו משנה את הערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

צמצום עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+5xx\frac{x^2 + 5x}{x}
=x2+5= x^2 + 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =x2+5= x^2 + 5 → =x+5= x + 5

הפתרון:

x(x+5)x=x+5\frac{x(x+5)}{x} = x + 5

ה-x מתחלק מכל גורם

חילקו רק את האיבר השני. הדרך הבטוחה: להוציא גורם משותף קודם, ואז לצמצם גורם שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

חשבו את 2x2+4x2x\frac{2x^2 + 4x}{2x} עבור x=3x = 3:

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2x(x+2)2x=x+2=5\begin{aligned}\frac{2x(x+2)}{2x} &= x + 2 \\ &= 5\end{aligned}

הצמצום לפני ההצבה

מי שמציב ישר מחשב 306\frac{30}{6} — נכון אבל איטי. הצמצום נותן x+2x+2, וההצבה נהיית טריוויאלית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

x(x−2)x−2=x\frac{x(x - 2)}{x - 2} = x לכל ערך של xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x−2≠0  ⇒  x≠2x - 2 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 2

תחום ההגדרה של השבר המקורי

x(x−2)x−2=x(x≠2)\frac{x(x - 2)}{x - 2} = x \quad (x \neq 2)

הצמצום נכון — רק בתוך התחום

ב-x=2x = 2 השבר המקורי לא מוגדר, ו-xx דווקא כן. הצמצום לא מוחק את התנאי x≠2x \neq 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מהו הערך היחיד שאסור להציב ב-aa בשבר a2+3aa2+6a+9\frac{a^2 + 3a}{a^2 + 6a + 9}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

a(a+3)(a+3)2\frac{a(a + 3)}{(a + 3)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע מושלם למטה

a+3≠0  ⇒  a≠−3a + 3 \neq 0 \;\Rightarrow\; a \neq -3

מה שמאפס את המכנה

aa+3\frac{a}{a + 3}

ואחרי הצמצום

גם אחרי הצמצום a=−3a = -3 נשאר אסור. את a=0a = 0 מותר להציב: הוא מאפס את המונה, לא את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת