חיבור וחיסור שברים אלגבריים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

בדיוק כמו ב-12+13\frac{1}{2} + \frac{1}{3}: צריך מכנה משותף.

ההבדל היחיד: כדי למצוא אותו, קודם מפרקים את שני המכנים לגורמים.

ארבעה צעדים, תמיד אותם

11

מפרקים את שני המכנים לגורמים.

22

בונים את המכנה המשותף: כל גורם שמופיע, בחזקה הגבוהה ביותר שבה הוא מופיע.

33

מרחיבים כל שבר — כופלים אותו במה שחסר לו.

44

מחברים את המונים בלבד, ומצמצמים אם אפשר.

לא כופלים את המכנים זה בזה סתם. אם מכנה אחד כבר מוכל בשני, המכנה המשותף קטן יותר — והתרגיל קצר יותר.

כשאין גורם משותף

מהו המכנה המשותף של 1x\frac{1}{x} ו-1x+1\frac{1}{x+1}?

להציג את התשובה והפתרון

המכפלה x(x+1)x(x+1) — כשאין גורם משותף, כופלים את המכנים. בדיוק כמו 3 ו-4.

מהו המכנה המשותף של 1x2\frac{1}{x^2} ו-1x(x+1)\frac{1}{x(x + 1)}?

להציג את התשובה והפתרון

x2(x+1)x^2(x + 1). הגורם xx נכנס פעמיים — כמו במכנה שבו הוא מופיע הכי הרבה פעמים — ו-(x+1)(x + 1) פעם אחת.

הסימן שנשכח בחיסור.

a+1d−a−3d=a+1−a−3d\frac{a + 1}{d} - \frac{a - 3}{d} = \frac{a + 1 - a - 3}{d}
a+1−(a−3)d=4d\frac{a + 1 - (a - 3)}{d} = \frac{4}{d}

בחיסור, המינוס חל על כל המונה — צריך סוגריים. בלעדיהם הסימן של האיבר השני מתהפך ומקבלים תשובה אחרת לגמרי.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו וצמצמו:

2a−1−12a−2\frac{2}{a - 1} - \frac{1}{2a - 2}
  1. 3a−1\frac{3}{a-1}
  2. 1a−1\frac{1}{a-1}
  3. 32(a−1)\frac{3}{2(a-1)}
  4. 12(a−1)\frac{1}{2(a-1)}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 32(a−1)\frac{3}{2(a-1)}

הפתרון:

2a−2=2(a−1)2a - 2 = 2(a - 1)

מפרקים את המכנה השני

42(a−1)−12(a−1)\frac{4}{2(a-1)} - \frac{1}{2(a-1)}

מרחיבים לשבר הראשון

=32(a−1)= \frac{3}{2(a-1)}

מחברים מונים

המכנה המשותף הוא 2(a−1)2(a-1), לא (a−1)(2a−2)(a-1)(2a-2).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו וצמצמו:

1a2+a+a−1a\frac{1}{a^2 + a} + \frac{a - 1}{a}
  1. 1a+1\frac{1}{a+1}
  2. aa+1\frac{a}{a+1}
  3. a2−1a\frac{a^2 - 1}{a}
  4. a2a(a+1)\frac{a^2}{a(a+1)}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד a2a(a+1)\frac{a^2}{a(a+1)}

הפתרון:

a2+a=a(a+1)a^2 + a = a(a + 1)

מפרקים

1a(a+1)+(a−1)(a+1)a(a+1)\frac{1}{a(a+1)} + \frac{(a-1)(a+1)}{a(a+1)}

מרחיבים את השני

1+a2−1a(a+1)=a2a(a+1)\frac{1 + a^2 - 1}{a(a+1)} = \frac{a^2}{a(a+1)}

ומחברים

ניתן גם לצמצם ל-aa+1\frac{a}{a+1} — שתי הצורות נכונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו וצמצמו:

2a22a2−3a−96a−9\frac{2a^2}{2a^2 - 3a} - \frac{9}{6a - 9}
  1. 2a−32a−3\frac{2a - 3}{2a - 3}
  2. 11
  3. 4a2−9a2a−3\frac{4a^2 - 9a}{2a-3}
  4. 2a2a−3\frac{2a}{2a-3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 11

הפתרון:

2a2−3a=a(2a−3) 6a−9=3(2a−3)\begin{aligned}2a^2 - 3a &= a(2a - 3) \\ \ 6a - 9 &= 3(2a - 3)\end{aligned}

מפרקים את שני המכנים

2a2a−3−32a−3\frac{2a}{2a - 3} - \frac{3}{2a - 3}

מצמצמים כל שבר בנפרד

=2a−32a−3=1= \frac{2a - 3}{2a - 3} = 1

ומחברים

לפעמים צמצום מוקדם של כל שבר בנפרד חוסך את כל העבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בחיסור a+1d−a−3d\frac{a + 1}{d} - \frac{a - 3}{d}, מה המונה של התוצאה?

  1. 2a+42a + 4
  2. 2a−22a - 2
  3. 44
  4. −2-2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 44

הפתרון:

a+1−(a−3)a + 1 - (a - 3)

המינוס חל על כל המונה — סוגריים

=a+1−a+3=4= a + 1 - a + 3 = 4

ופותחים

בלי הסוגריים היו מקבלים −2-2 — התשובה השנייה, וזו בדיוק המלכודת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

3x+4x\frac{3}{x} + \frac{4}{x} — מהו המונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

7x\frac{7}{x}

אותו מכנה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

x2+x3\frac{x}{2} + \frac{x}{3} — מהו מונה התוצאה (מעל 6)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3x+2x6=5x6\frac{3x + 2x}{6} = \frac{5x}{6}

מרחיבים למכנה משותף 6 ואז מחברים את המונים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

1x+12x\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} — מהו מונה התוצאה (מעל 2x2x)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2+12x=32x\frac{2 + 1}{2x} = \frac{3}{2x}

המכנה המשותף הוא 2x — לא 2x²

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

5x−2x\frac{5}{x} - \frac{2}{x} — מהו המונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3x\frac{3}{x}

כשהמכנים כבר שווים, מחסרים מונים והמכנה נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

2x+3x+1\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}: מהו המקדם של xx במונה המשותף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2(x+1)+3x=5x+22(x+1) + 3x = 5x + 2

המכנה המשותף הוא מכפלת השניים; כל מונה מוכפל במה שחסר לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

x+13+x−13\frac{x+1}{3} + \frac{x-1}{3} — מהו מקדם ה-xx במונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2x3\frac{2x}{3}

האחדות התקזזו

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חברו: x3+x6\frac{x}{3} + \frac{x}{6} —

המכנה המשותף ____ , מקבלים שלושה שישיות של x — כלומר x חלקי ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המכנה המשותף 6 , מקבלים שלושה שישיות של x — כלומר x חלקי 2.

הפתרון:

2x6+x6=3x6=x2\begin{aligned}\frac{2x}{6} + \frac{x}{6} &= \frac{3x}{6} \\ &= \frac{x}{2}\end{aligned}

מרחיבים — מחברים — מצמצמים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

חשבו את x2+x3\frac{x}{2} + \frac{x}{3} עבור x=12x = 12:

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

6+4=106 + 4 = 10

או דרך הביטוי המאוחד: 5x/6

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

חיבור שברים — שורה אחת שגויה:

2x+3x\frac{2}{x} + \frac{3}{x}
=52x= \frac{5}{2x}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =52x= \frac{5}{2x} → =5x= \frac{5}{x}

הפתרון:

2+3x=5x\frac{2+3}{x} = \frac{5}{x}

המכנה המשותף לא מוכפל

כשהמכנים כבר שווים — מחברים מונים והמכנה נשאר. חיברו כאן גם את המכנים, וזו טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מהו המכנה המשותף הקטן ביותר של x4\frac{x}{4} ו-x6\frac{x}{6}?

  1. 24
  2. 12
  3. 10
  4. 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 12

הפתרון:

12=4⋅3=6⋅2\begin{aligned}12 &= 4 \cdot 3 \\ &= 6 \cdot 2\end{aligned}

הכפולה המשותפת הקטנה

24 עובד גם — אבל 12 קטן יותר, והמספרים נשארים נוחים. מכנה משותף מינימלי חוסך צמצום בסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מהו המכנה המשותף הקטן ביותר של 3x2\frac{3}{x^2} ו-2x(x+1)\frac{2}{x(x + 1)}?

  1. x3(x+1)x^3(x + 1)
  2. x2(x+1)x^2(x + 1)
  3. x(x+1)x(x + 1)
  4. x2x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x2(x+1)x^2(x + 1)

הפתרון:

x2=x⋅xx(x+1)=x⋅(x+1)\begin{aligned}x^2 &= x \cdot x \qquad x(x + 1) \\ &= x \cdot (x + 1)\end{aligned}

מפרקים את שני המכנים

x2(x+1)x^2(x + 1)

xx פעמיים, (x+1)(x + 1) פעם אחת

כל גורם נכנס בחזקה הגבוהה ביותר שבה הוא מופיע. x3(x+1)x^3(x + 1) עובד, אבל גדול מהדרוש; x(x+1)x(x + 1) לא מתחלק ב-x2x^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

חשבו 3x−2−1x+2\frac{3}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} מעל המכנה (x−2)(x+2)(x - 2)(x + 2). מהו האיבר החופשי (המספר בלי xx) במונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

3(x+2)−(x−2)(x−2)(x+2)\frac{3(x + 2) - (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}

מרחיבים כל שבר במה שחסר לו

3x+6−x+2=2x+83x + 6 - x + 2 = 2x + 8

המינוס חל על כל (x−2)(x - 2)

מי ששוכח את הסוגריים כותב 3x+6−x−2=2x+43x + 6 - x - 2 = 2x + 4, ומקבל 4. המינוס הופך גם את ה-−2-2 ל-+2+2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

התאימו לכל זוג שברים את המכנה המשותף הקטן ביותר שלו.

  • 1a−1\frac{1}{a - 1} ו-12a−2\frac{1}{2a - 2}
  • 1x\frac{1}{x} ו-1x+1\frac{1}{x + 1}
  • 1x\frac{1}{x} ו-1x2\frac{1}{x^2}
  • 1x−3\frac{1}{x - 3} ו-1x2−9\frac{1}{x^2 - 9}
  • (x−3)(x+3)(x - 3)(x + 3)
  • 2(a−1)2(a - 1)
  • x(x+1)x(x + 1)
  • x2x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1a−1\frac{1}{a - 1} ו-12a−2\frac{1}{2a - 2} — 2(a−1)2(a - 1) · 1x\frac{1}{x} ו-1x+1\frac{1}{x + 1} — x(x+1)x(x + 1) · 1x\frac{1}{x} ו-1x2\frac{1}{x^2} — x2x^2 · 1x−3\frac{1}{x - 3} ו-1x2−9\frac{1}{x^2 - 9} — (x−3)(x+3)(x - 3)(x + 3)

הפתרון:

2a−2=2(a−1)2a - 2 = 2(a - 1)

המכנה הראשון כבר מוכל בשני

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

הפרש ריבועים

כשמכנה אחד מוכל בשני — השני הוא המכנה המשותף. רק כשאין גורם משותף כופלים, כמו x(x+1)x(x + 1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת