תרגול · משפט תלס · כיתה ט׳

אחד־עשר תרגילים על כל הפרק: משפט תלס במשולש, ההרחבה הראשונה, חבורת ישרים מקבילים ומשפט תלס ההפוך. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 6$ , $DB = 9$ ו- $AE = 4$ . מה אורך $EC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תלס

\frac{6}{9} = \frac{4}{EC}

מציבים

\begin{aligned}EC &= \frac{4 \cdot 9}{6} \\ &= 6\end{aligned}

כפל בהצלבה

לא מחפשים את $DE$ , ולכן משפט תלס עצמו מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ . איזה שוויון נובע ממשפט תלס עצמו, בלי ההרחבה הראשונה?

$\frac{AD}{EC} = \frac{AE}{DB}$
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$
$\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

הפתרון:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

חלק חלקי חלק, על שתי הצלעות

משפט תלס נותן שני יחסים בלבד, ו- $DE$ אינו מופיע בהם. יחס שבו מופיע $DE$ שייך להרחבה הראשונה, ושם משווים חלק לצלע שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים $AB = 5$ ו- $BC = 10$ , ועל השני $DE = 7$ . מה אורך $EF$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

\frac{5}{10} = \frac{7}{EF}

מציבים

EF = 14

כפל בהצלבה

הקטע השני כפול מהראשון על הישר האחד — ולכן גם על השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ ו- $BC = 15$ . מה אורך $DE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 6 + 4 \\ &= 10\end{aligned}

הצלע כולה

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

הרחבה ראשונה של משפט תלס

\begin{aligned}\frac{6}{10} &= \frac{DE}{15} \Rightarrow DE \\ &= 9\end{aligned}

מציבים ופותרים

מחפשים את $DE$ — ולכן ההרחבה הראשונה, ובה משווים חלק לצלע שלמה, לא חלק לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 6$ , $AE = 6$ ו- $EC = 10$ . לפי משפט תלס ההפוך, $DE \parallel BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס על הצלע הראשונה

\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= \frac{6}{10} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

היחס על הצלע השנייה

\frac{2}{3} \neq \frac{3}{5}

היחסים שונים

המשפט ההפוך דורש יחסים שווים, ולכן הוא אינו חל כאן. המסקנה מגיעה ממשפט תלס עצמו: אילו $DE$ היה מקביל ל- $BC$ , היחסים היו שווים — והם אינם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שלושה רחובות מקבילים חוצים שני כבישים. על הכביש הראשון המרחק בין הרחוב הראשון לשני הוא 120 מטר, ובין השני לשלישי 180 מטר. על הכביש השני המרחק בין הרחוב הראשון לשני הוא 150 מטר. מה המרחק, במטרים, בין הרחוב השני לשלישי על הכביש השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 225

הפתרון:

\frac{120}{180} = \frac{150}{x}

חבורת מקבילים חותכת את שני הכבישים ביחסים שווים

\begin{aligned}x &= \frac{150 \cdot 180}{120} \\ &= 225\end{aligned}

כפל בהצלבה

הכבישים אינם יוצרים משולש עם צלע מקבילה — זו חבורת ישרים מקבילים, ויש בה שני יחסים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ נתון $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). מסיקים ש- $DE \parallel BC$ . מהו הנימוק המדויק?

הרחבה ראשונה של משפט תלס
קטע אמצעים במשולש
משפט תלס ההפוך
משפט תלס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג משפט תלס ההפוך

הפתרון:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow DE \parallel BC

מהיחסים אל ההקבלה

משפט תלס מתחיל בהקבלה ומגיע ליחסים. כאן הכיוון הפוך: מתחילים ביחסים ומגיעים להקבלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = x$ , $DB = x + 2$ , $AE = 6$ ו- $EC = 10$ . מה אורך הצלע $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\frac{x}{x+2} = \frac{6}{10}

משפט תלס

\begin{aligned}10x &= 6x + 12 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}AB &= x + (x+2) \\ &= 3 + 5 \\ &= 8\end{aligned}

מחברים את שני החלקים

שואלים על $AB$ , לא על $x$ — צריך לחבר את שני הקטעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

האלכסון

AC

מחלק את הטרפז לשני משולשים — ובכל אחד מהם יש ישר מקביל לצלע.

$ABCD$ הוא טרפז ( $AB \parallel DC$ ). הישר $EF$ מקביל ל- $AB$ , כאשר $E$ על השוק $AD$ ו- $F$ על השוק $BC$ . האלכסון $AC$ חותך את $EF$ בנקודה $G$ . הוכיחו כי $\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$ .

$AB \parallel DC$
$E$ על $AD$ , $F$ על $BC$
$EF \parallel AB$
$G$ נקודת החיתוך של $AC$ ו- $EF$

$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$

להציג את התשובה והפתרון

$AB \parallel DC$ — נתון
$EF \parallel AB$ — נתון
$EF \parallel DC$ — שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה
$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AG}{GC}$ — משפט תלס
$\dfrac{AG}{GC} = \dfrac{BF}{FC}$ — משפט תלס
$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$ — כלל המעבר

הפתרון:

AB \parallel DC ,\ EF \parallel AB \Rightarrow EF \parallel DC

שני ישרים המקבילים לישר שלישי

\triangle ADC:\ EG \parallel DC \Rightarrow \frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC}

משפט תלס במשולש $ADC$

\triangle ABC:\ GF \parallel AB \Rightarrow \frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC}

משפט תלס במשולש $CAB$ — הקטעים נמדדים מהקודקוד $C$

\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}

כלל המעבר

הטרפז אינו משולש, ולכן אי אפשר להפעיל עליו את משפט תלס ישירות. האלכסון $AC$ יוצר שני משולשים, והיחס $\frac{AG}{GC}$ שעל האלכסון הוא הגשר ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 4$ , $DB = 8$ , $AE = 3$ ו- $DE = 5$ . מה היקף המרובע $DBCE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{4}{8} \\ &= \frac{3}{EC} \Rightarrow EC \\ &= 6\end{aligned}

משפט תלס

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{DE}{BC} \Rightarrow \frac{4}{12} \\ &= \frac{5}{BC} \Rightarrow BC \\ &= 15\end{aligned}

הרחבה ראשונה של משפט תלס

8 + 15 + 6 + 5 = 34

$DB + BC + CE + ED$

שני משפטים שונים באותה שאלה: $EC$ ממשפט תלס, ו- $BC$ מההרחבה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בגן ציבורי בחיפה שלושה שבילים מקבילים חוצים שתי גדרות ישרות. על הגדר הראשונה המרחק בין השביל הראשון לשני הוא 6 מטר, ובין השני לשלישי 9 מטר. על הגדר השנייה המרחק בין השביל הראשון לשלישי הוא 20 מטר. מה המרחק, במטרים, בין השביל הראשון לשני על הגדר השנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\frac{6}{9} = \frac{x}{20 - x}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

\begin{aligned}6(20 - x) &= 9x \Rightarrow 120 \\ &= 15x\end{aligned}

כפל בהצלבה

x = 8

והקטע השני הוא $12$

בדיקה: $\frac{8}{12} = \frac{6}{9}$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev