חבורת ישרים מקבילים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

זה משפט תלס בגרסתו הכללית, והוא לא מזכיר משולש בכלל: חבורת ישרים מקבילים חותכת שני ישרים ביחסים שווים.

שימו לב להבדל מההרחבה הראשונה ומשעון החול (ההרחבה השנייה): שם קיבלנו שלושה יחסים שווים, וכאן — שני יחסים בלבד. אין כאן קטע שלישי שאפשר לצרף, כי אין משולש ואין צלע מקבילה שאפשר להשוות אליה. מי שכותב כאן שלושה יחסים — כותב משהו שלא נובע מהמשפט.

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

כלומר: אם שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים אחרים, הקטעים שנוצרים על הישר הראשון עומדים באותו יחס כמו הקטעים שנוצרים על השני.

מקרה פרטי שימושי: אם המקבילים חותכים על ישר אחד קטעים שווים, הם חותכים קטעים שווים גם על השני. זו הדרך לחלק קטע לשלושה חלקים שווים בלי לחשב כלום.

המשפט ההפוך

תלס עובד גם בכיוון השני, וזה שימושי במיוחד בהוכחות: אם היחסים שווים, אפשר להסיק שהישרים מקבילים.

ADDB=AEEC⇒DE∥BC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \quad \Rightarrow\quad DE \parallel BC

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC. נתון AD=3AD = 3, DB=6DB = 6, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8. הוכיחו ש-DE∥BCDE \parallel BC.

AD=3AD = 3, DB=6DB = 6

AE=4AE = 4, EC=8EC = 8

DE∥BCDE \parallel BC

ADDB=36=12\frac{AD}{DB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

חישוב מהנתונים

AEEC=48=12\frac{AE}{EC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

חישוב מהנתונים

ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

כלל המעבר — שני היחסים שווים ל-12\frac{1}{2}

משפט תלס ההפוך

שימו לב שהמסקנה כאן היא מקבילות, לא אורך. זה מה שהופך את המשפט ההפוך לכלי הוכחה ולא לכלי חישוב.

סדר האיברים ביחס.

ADDB=ECAE\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}
ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

שני היחסים חייבים להיקרא באותו כיוון — הקטע העליון במונה בשני האגפים. היפוך באגף אחד בלבד הופך את המשוואה לשגויה.

שלושה ישרים מקבילים על שני מעבירים — מה שווה?

להציג את התשובה והפתרון

היחסים בין הקטעים המתאימים: המקבילים «מעתיקים» את היחס ממעביר למעביר.

תרגילים

תרגיל 1

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=4AB = 4 ו-BC=6BC = 6, ועל השני DE=8DE = 8. מה אורך EFEF?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

46=8EF\frac{4}{6} = \frac{8}{EF}

מציבים

EF=12EF = 12

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=3AB = 3 ו-BC=5BC = 5, ועל השני DE=9DE = 9. מה אורך EFEF?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

35=9EF\frac{3}{5} = \frac{9}{EF}

מציבים

EF=15EF = 15

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=6AB = 6 ו-BC=9BC = 9, ועל השני DE=10DE = 10. מה אורך EFEF?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

69=10EF\frac{6}{9} = \frac{10}{EF}

מציבים

EF=15EF = 15

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש ABCABC נתון AD=3AD = 3, DB=6DB = 6, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן

הפתרון:

36=0.5\frac{3}{6} = 0.5

היחס על הצלע הראשונה

48=0.5\frac{4}{8} = 0.5

והיחס על השנייה

היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך הישרים מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש ABCABC נתון AD=2AD = 2, DB=6DB = 6, AE=5AE = 5, EC=15EC = 15. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן

הפתרון:

26=0.333\frac{2}{6} = 0.333

היחס על הצלע הראשונה

515=0.333\frac{5}{15} = 0.333

והיחס על השנייה

היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך הישרים מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש ABCABC נתון AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, AE=6AE = 6, EC=8EC = 8. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

46=0.667\frac{4}{6} = 0.667

היחס על הצלע הראשונה

68=0.75\frac{6}{8} = 0.75

והיחס על השנייה

היחסים שונים, ולכן הישרים אינם מקבילים. המשפט ההפוך דורש שוויון מדויק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מה מאפשר להסיק ממשפט תלס ההפוך?

  1. שהמשולש שווה שוקיים
  2. שהישרים מקבילים
  3. את אורך הצלע השלישית
  4. שהמשולשים חופפים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שהישרים מקבילים

הפתרון:

יחסים שווים⇒∥\text{יחסים שווים} \Rightarrow \parallel

הכיוון ההפוך

המשפט הישר נותן אורכים, ההפוך נותן מקבילות. שני כלים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חבורת מקבילים חותכת על ישר אחד שלושה קטעים שווים. מה נכון על הישר השני?

  1. הקטעים עליו כפולים
  2. אי אפשר לדעת
  3. גם עליו הקטעים שווים
  4. הקטעים עליו שונים תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גם עליו הקטעים שווים

הפתרון:

11=xy⇒x=y\begin{aligned}\frac{1}{1} &= \frac{x}{y} \Rightarrow x \\ &= y\end{aligned}

יחס 1 נשמר

זו הדרך הקלאסית לחלק קטע לשלושה חלקים שווים בלי סרגל מדידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שלושה מקבילים: על מעביר אחד קטעים 6 ו-9, על השני הקטע הראשון 8. מהו השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

69=8x\frac{6}{9} = \frac{8}{x}
6x=72  x=12\begin{aligned}6x &= 72 \ \\ \ x &= 12\end{aligned}

ישרים מקבילים חותכים על שני מעבירים קטעים ביחס שווה — זה משפט תלס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

קטעים 5 ו-x על מעביר אחד, 10 ו-14 על השני. מהו x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

5x=1014\frac{5}{x} = \frac{10}{14}
10x=7010x = 70

אותו יחס, כיוון אחר. חשוב לשמור על הסדר: קטע ראשון מול קטע ראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=4AB = 4 ו-BC=10BC = 10, ועל השני DE=6DE = 6. השלימו.

לפי משפט תלס ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}, ולכן EF=EF = ____, והקטע DFDF כולו הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לפי משפט תלס ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}, ולכן EF=EF = 15, והקטע DFDF כולו הוא 21

הפתרון:

410=6EF\frac{4}{10} = \frac{6}{EF}

מציבים במשפט

4⋅EF=60⇒EF=15\begin{aligned}4 \cdot EF &= 60 \quad \Rightarrow \quad EF \\ &= 15\end{aligned}

כפל בהצלבה

DF=DE+EF=6+15=21\begin{aligned}DF &= DE + EF \\ &= 6 + 15 \\ &= 21\end{aligned}

הקטע כולו הוא סכום שני החלקים

חבורת המקבילים מעתיקה את היחס 4:104 : 10 מהישר הראשון לשני. EF=15EF = 15, ו-DF=6+15=21DF = 6 + 15 = 21.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC. מיינו כל זוג נתונים: האם אפשר להסיק ש-DE∥BCDE \parallel BC?

  • DE∥BCDE \parallel BC
  • DEDE אינו מקביל ל-BCBC
  • AD=2AD = 2, DB=4DB = 4, AE=3AE = 3, EC=6EC = 6
  • AD=3AD = 3, DB=5DB = 5, AE=6AE = 6, EC=9EC = 9
  • AD=5AD = 5, DB=10DB = 10, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8
  • AD=6AD = 6, DB=4DB = 4, AE=9AE = 9, EC=7EC = 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AD=2AD = 2, DB=4DB = 4, AE=3AE = 3, EC=6EC = 6 — DE∥BCDE \parallel BC · AD=5AD = 5, DB=10DB = 10, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8 — DE∥BCDE \parallel BC · AD=3AD = 3, DB=5DB = 5, AE=6AE = 6, EC=9EC = 9 — DEDE אינו מקביל ל-BCBC · AD=6AD = 6, DB=4DB = 4, AE=9AE = 9, EC=7EC = 7 — DEDE אינו מקביל ל-BCBC

הפתרון:

24=36=12\begin{aligned}\frac{2}{4} &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שווים — מקביל

510=48=12\begin{aligned}\frac{5}{10} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שווים — מקביל

35≠69=23\frac{3}{5} \ne \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

שונים — לא מקביל

64=32≠97\frac{6}{4} = \frac{3}{2} \ne \frac{9}{7}

שונים — לא מקביל

משווים ADDB\frac{AD}{DB} ל-AEEC\frac{AE}{EC}. כשהיחסים שווים, DE∥BCDE \parallel BC לפי משפט תלס ההפוך. כשהם שונים, DEDE אינו מקביל ל-BCBC — אילו היה מקביל, משפט תלס היה נותן יחסים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת