שעון חול · משפט תלס · כיתה ט׳

בהרחבה הראשונה הישר המקביל חתך את המשולש. מה קורה אם ממשיכים להזיז אותו למעלה — דרך הקודקוד $A$ , ומעבר לו?

מעבר לקודקוד, הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים ב- $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . הצורה נראית כמו שעון חול, וזו ההרחבה השנייה של משפט תלס. היא נותנת את אותם שלושה יחסים כמו ההרחבה הראשונה.

הישרים

BD

ו-

CE

נחתכים ב-

A

, ו-

DE

מקביל ל-

BC

\begin{aligned}DE \parallel BC \quad \Rightarrow\quad \frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

איך לא להתבלבל: כל היחסים יוצאים מנקודת החיתוך $A$ . משווים כל קטע לקטע שעל אותו ישר, מהצד השני של $A$ : $AD$ מול $AB$ , ו- $AE$ מול $AC$ . ואת שני הקטעים המקבילים זה לזה: $DE$ מול $BC$ . במונה — הצלעות של המשולש $ADE$ , ובמכנה — של המשולש $ABC$ .

למה זה עובד: המשולשים $ADE$ ו- $ABC$ דומים. הזוויות ב- $A$ הן זוויות קודקודיות, והזוויות $\angle ADE$ ו- $\angle ABC$ הן זוויות מתחלפות בין המקבילים $DE$ ו- $BC$ .

שלושה שמות, שתי צורות

\text{1}

משפט תלס — משולש, וישר מקביל בתוכו. חלק חלקי חלק: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ .

\text{2}

הרחבה ראשונה — אותו משולש. חלק חלקי שלם, ו- $DE$ נכנס: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ .

\text{3}

הרחבה שנייה — שעון חול: הישר המקביל מעבר לקודקוד. אותם שלושה יחסים, וכל קטע מול הקטע שמעבר ל- $A$ .

הטעות של שעון החול: לקחת את הישר כולו.

\frac{AD}{BD} = \frac{DE}{BC}

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

$BD$ הוא הקטע כולו, מ- $B$ דרך $A$ עד $D$ . ביחס משווים רק את שני החלקים שמשני צידי $A$ : $AD$ מול $AB$ .

דוגמה

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD = 4$ , $AB = 6$ , $AE = 6$ ו- $BC = 12$ . מצאו את $AC$ ואת $DE$ .

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

הרחבה שנייה של משפט תלס

\frac{4}{6} = \frac{6}{AC}

מציבים בשני היחסים הראשונים

AC = 9

כפל בהצלבה וחילוק

\frac{4}{6} = \frac{DE}{12}

ועכשיו היחס של הקטעים המקבילים

DE = 8

כפל בהצלבה וחילוק

גם לשעון החול יש משפט הפוך: אם $D$ ו- $E$ נמצאות מעבר ל- $A$ , ו- $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ , אז $DE \parallel BC$ .

בבחינה האותיות יכולות להיות אחרות — למשל $AB \parallel CD$ , והקטעים $AC$ ו- $BD$ נחתכים ב- $E$ . אז היחס הוא $\frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$ . מתחילים תמיד מנקודת החיתוך: ממנה יוצאים כל הקטעים שביחס.

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD = 2$ , $AB = 5$ ו- $BC = 10$ . מהו $DE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{DE}{10} = \frac{2}{5}$ , ולכן $DE = 4$ .

תרגילים

תרגיל 1

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD = 3$ , $AB = 6$ ו- $AE = 4$ . מהו $AC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}

הרחבה שנייה של משפט תלס

\frac{3}{6} = \frac{4}{AC}

מציבים

AC = 8

כפל בהצלבה וחילוק

$AD$ מול $AB$ , ו- $AE$ מול $AC$ : כל קטע מול הקטע שעל אותו ישר, מעבר ל- $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD = 2$ , $AB = 5$ ו- $BC = 15$ . מהו $DE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

הרחבה שנייה של משפט תלס

\frac{2}{5} = \frac{DE}{15}

מציבים

DE = 6

כפל בהצלבה וחילוק

הקטעים המקבילים $DE$ ו- $BC$ נכנסים ליחס, בדיוק כמו בהרחבה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AE = 3$ , $AC = 9$ ו- $DE = 4$ . מהו $BC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}

הרחבה שנייה של משפט תלס

\frac{3}{9} = \frac{4}{BC}

מציבים

BC = 12

כפל בהצלבה וחילוק

המשולש $ADE$ קטן פי שלושה מהמשולש $ABC$ , ולכן $BC$ ארוך פי שלושה מ- $DE$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $BD = 14$ , $AD = 4$ ו- $BC = 20$ . מהו $DE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= BD - AD \\ &= 14 - 4 \\ &= 10\end{aligned}

קודם מוצאים את החלק שמהצד השני של $A$

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

הרחבה שנייה של משפט תלס

\frac{4}{10} = \frac{DE}{20}

מציבים

DE = 8

כפל בהצלבה וחילוק

$BD$ הוא הישר כולו. מי שהציב $\frac{4}{14}$ קיבל תשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . איזו משוואה נכונה?

$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$
$\frac{AD}{BD} = \frac{DE}{BC}$
$\frac{AB}{AD} = \frac{DE}{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$

הפתרון:

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

במונה — המשולש הקטן, במכנה — הגדול

$BD$ הוא הישר כולו, $AD$ ו- $AC$ אינם על אותו ישר, ובתשובה האחרונה יחס אחד הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . מאיזה משפט נובע ש- $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ ?

הרחבה שנייה של משפט תלס
משפט תלס ההפוך
משפט תלס
משפט פיתגורס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הרחבה שנייה של משפט תלס

הפתרון:

DE \parallel BC

המקבילים משני צידי הקודקוד — שעון חול

משפט תלס עצמו לא מדבר על $DE$ , וההפוך מוכיח מקבילות ולא אורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ . נתון $AD = 3$ , $AB = 6$ , $AE = 4$ ו- $AC = 8$ . האם $DE \parallel BC$ ?

לא
כן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

היחס על הישר הראשון

\begin{aligned}\frac{AE}{AC} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

והיחס על השני

היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך $DE \parallel BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ . נתון $AD = 3$ , $AB = 6$ , $AE = 4$ ו- $AC = 10$ . האם $DE \parallel BC$ ?

לא
כן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

היחס על הישר הראשון

\begin{aligned}\frac{AE}{AC} &= \frac{4}{10} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

והיחס על השני

היחסים שונים, ולכן הישרים אינם מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שעון חול: המקבילים משני צידי

A

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . הוכיחו כי $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$ .

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים ב- $A$
$DE \parallel BC$

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

$DE \parallel BC$ — נתון
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
$\angle DAE = \angle BAC$ — זוויות קודקודיות שוות
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — משפט דמיון ז.ז
$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$ — במשולשים דומים היחס בין הצלעות המתאימות שווה

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז — זוויות מתחלפות וזוויות קודקודיות

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

יחס הדמיון

זו ההוכחה של ההרחבה השנייה: גם היא נובעת מדמיון משולשים, כמו ההרחבה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD = 4$ , $AB = 6$ ו- $BC = 9$ . סדרו את שלבי החישוב של $DE$ .

$DE \parallel BC$ , ולכן לפי ההרחבה השנייה: $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$
כפל בהצלבה: $6 \cdot DE = 36$
מחלקים ב-6: $DE = 6$
מציבים: $\frac{4}{6} = \frac{DE}{9}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $DE \parallel BC$ , ולכן לפי ההרחבה השנייה: $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ · מציבים: $\frac{4}{6} = \frac{DE}{9}$ · כפל בהצלבה: $6 \cdot DE = 36$ · מחלקים ב-6: $DE = 6$

הפתרון:

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

קודם המשפט והנימוק

\frac{4}{6} = \frac{DE}{9}

אחר כך מציבים

\begin{aligned}6 \cdot DE &= 36 \quad \Rightarrow \quad DE \\ &= 6\end{aligned}

ובסוף פותרים

תמיד באותו סדר: רושמים את המשפט (ההרחבה השנייה — שעון חול), מציבים את המספרים, ורק אז פותרים את המשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הישרים $BD$ ו- $CE$ נחתכים בנקודה $A$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $BD = 8$ , $AD = 2$ ו- $BC = 12$ . תלמיד חישב את $DE$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה

\begin{aligned}AB &= BD - AD \\ &= 8 - 2 \\ &= 6\end{aligned}

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

\frac{2}{8} = \frac{DE}{12}

DE = 4

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{2}{8} = \frac{DE}{12}$ → $\frac{2}{6} = \frac{DE}{12}$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 8 - 2 \\ &= 6\end{aligned}

$BD$ הוא הקטע כולו, מ- $B$ דרך $A$ עד $D$

\frac{2}{6} = \frac{DE}{12}

מציבים את $AB$ , לא את $BD$

DE = 4

כפל בהצלבה וחילוק

בשורה השלישית התלמיד הציב $BD = 8$ במקום $AB = 6$ . ביחס של שעון החול משווים רק את שני החלקים שמשני צידי $A$ : $AD$ מול $AB$ . עם ההצבה הנכונה יוצא $DE = 4$ , כמו בשורה האחרונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלושה שמות, שתי צורות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev