שיטת הטרינום

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

שיטת הטרינום מפרקת ביטוי ריבועי לשני סוגריים:

x2+bx+c=(x+m)(x+n)\begin{gathered} x^2 + \textcolor{#1f5fae}{b}x + \textcolor{#9a5b12}{c} \\ = (x + m)(x + n) \end{gathered}

היא עובדת רק כשהמקדם של x2x^2 הוא 1. את התנאי הזה בודקים לפני הכול.

כל העבודה: למצוא את שני המספרים mm ו-nn. יש להם בדיוק שני תנאים:

m⋅n=cm \cdot n = \textcolor{#9a5b12}{c}

המכפלה שלהם היא האיבר החופשי.

m+n=bm + n = \textcolor{#1f5fae}{b}

הסכום שלהם הוא המקדם של xx.

רואים את זה במלבן

בלי ציור: עוברים על הזוגות שמכפלתם c\textcolor{#9a5b12}{c}, עד שהסכום מתאים.

פרקו: x2+7x+12x^2 + \textcolor{#1f5fae}{7}x + \textcolor{#9a5b12}{12}

להציג את התשובה והפתרון

(x+3)(x+4)(x+3)(x+4) — מחפשים זוג שמכפלתו 12 וסכומו 7. שלוש וארבע.

סדר החיפוש

מתחילים תמיד מהמכפלה, לא מהסכום.

למכפלה יש מעט זוגות, ואפשר לעבור על כולם. לסכום יש אינסוף זוגות.

למה מתחילים מהמכפלה 12\textcolor{#9a5b12}{12}, ולא מהסכום 7\textcolor{#1f5fae}{7}?

להציג את התשובה והפתרון

למכפלה 12 יש רק שלושה זוגות חיוביים: 1⋅121 \cdot 12, 2⋅62 \cdot 6, 3⋅43 \cdot 4. לסכום 7 יש אינסוף: 3+43 + 4, 10+(−3)10 + (-3), 100+(−93)100 + (-93)…

הסימנים חוסכים חצי מהחיפוש. קוראים אותם לפני שמחפשים.

ומה עם x2−x−12x^2 \mathbin{\textcolor{#1f5fae}{-}} x - \textcolor{#9a5b12}{12}?

להציג את התשובה והפתרון

(x−4)(x+3)(x-4)(x+3) — מכפלה −12-12, סכום −1-1. סימנים שונים כשמכפלת הזוג שלילית.

התנאי שנשכח לפני שמתחילים.

2x2+6x+4=(x+?)(x+?)2x^2 + 6x + 4 = (x+?)(x+?)
2(x2+3x+2)=2(x+2)(x+1)2(x^2 + 3x + 2) = 2(x+2)(x+1)

כשהמקדם של x2x^2 אינו 1, השיטה לא עובדת כמו שהיא. קודם מוציאים גורם משותף, ורק אז מפעילים טרינום על מה שנשאר.

וכשהמקדם של x2x^2 אינו 1?

מנסים לחלק את כל האיברים במקדם של x2x^2.

כולם מתחלקים? מוציאים אותו מחוץ לסוגריים, ועושים טרינום על מה שנשאר בפנים.

אפילו איבר אחד לא מתחלק? הטרינום לא זמין. עוברים לנוסחת השורשים, שעובדת תמיד.

נוסחת השורשים

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

זו נוסחת השורשים, כמו במשוואות ריבועיות.

את aa, bb ו-cc לוקחים מהצורה ax2+bx+cax^2 + bx + c, עם הסימנים שלהם.

שתי הטעויות בנוסחת השורשים.

x1,2=−b±b2−4ac2x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1 — וזה בדיוק המקרה שבו משתמשים בנוסחה — שכחת ה-aa הורסת את התשובה.

x1,2=−b2a±b2−4acx_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2 - 4ac}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הקו של השבר עובר מתחת לכל המונה: גם −b-b וגם השורש נמצאים מעליו. זו טעות שנראית קטנה ומשנה את שתי התשובות.

זה סדר העבודה, תמיד:

11

המקדם של x2x^2 הוא 1? טרינום.

22

לא, אבל גורם משותף הופך אותו ל-1? מוציאים, ואז טרינום.

33

אחרת: נוסחת השורשים.

תרגילים

תרגיל 1

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=5m+n=6\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{5} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{6}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

5×1=55 \times 1 = 5

זוג שמכפלתו מתאימה

5+1=65 + 1 = 6

והסכום מתאים גם הוא

x2+6x+5=(x+5)(x+1)x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=6m+n=5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{6} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

3×2=63 \times 2 = 6

זוג שמכפלתו מתאימה

3+2=53 + 2 = 5

והסכום מתאים גם הוא

x2+5x+6=(x+3)(x+2)x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=12m+n=7\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{7}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

4×3=124 \times 3 = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

4+3=74 + 3 = 7

והסכום מתאים גם הוא

x2+7x+12=(x+4)(x+3)x^2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=12m+n=8\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{8}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

6×2=126 \times 2 = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

6+2=86 + 2 = 8

והסכום מתאים גם הוא

x2+8x+12=(x+6)(x+2)x^2 + 8x + 12 = (x + 6)(x + 2)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=12m+n=−7\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-7}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

(−3)×(−4)=12(-3) \times (-4) = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

(−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7

והסכום מתאים גם הוא

x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום שלילי, ולכן שני המספרים שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=5m+n=−6\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{5} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-6}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

(−1)×(−5)=5(-1) \times (-5) = 5

זוג שמכפלתו מתאימה

(−1)+(−5)=−6(-1) + (-5) = -6

והסכום מתאים גם הוא

x2−6x+5=(x−1)(x−5)x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום שלילי, ולכן שני המספרים שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=−14m+n=5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-14} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

7×(−2)=−147 \times (-2) = -14

זוג שמכפלתו מתאימה

7+(−2)=57 + (-2) = 5

והסכום מתאים גם הוא

x2+5x−14=(x+7)(x−2)x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=−15m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-15} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{2}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

5×(−3)=−155 \times (-3) = -15

זוג שמכפלתו מתאימה

5+(−3)=25 + (-3) = 2

והסכום מתאים גם הוא

x2+2x−15=(x+5)(x−3)x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=−6m+n=−5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-6} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

1×(−6)=−61 \times (-6) = -6

זוג שמכפלתו מתאימה

1+(−6)=−51 + (-6) = -5

והסכום מתאים גם הוא

x2−5x−6=(x+1)(x−6)x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x - 6)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פרקו לגורמים:

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

m⋅n=−32m+n=4\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-32} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{4}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

8×(−4)=−328 \times (-4) = -32

זוג שמכפלתו מתאימה

8+(−4)=48 + (-4) = 4

והסכום מתאים גם הוא

x2+4x−32=(x+8)(x−4)x^2 + 4x - 32 = (x + 8)(x - 4)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מתי מותר להשתמש בשיטת הטרינום?

  1. רק כשאין איבר חופשי
  2. כשהמקדם של x2x^2 הוא 1
  3. תמיד
  4. רק כשכל המקדמים חיוביים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כשהמקדם של x2x^2 הוא 1

הפתרון:

x2+bx+cx^2 + bx + c

המקדם הראשון הוא 1

אחרת מוציאים קודם גורם משותף, ורק אז מפעילים את השיטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בפירוק x2+6x+5x^2 + 6x + 5, אילו שני מספרים מחפשים?

  1. שהפרשם 5 וסכומם 6
  2. שמכפלתם 5 וסכומם 6
  3. שמכפלתם 6 וסכומם 5
  4. שמכפלתם 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שמכפלתם 5 וסכומם 6

הפתרון:

m⋅n=c=5\begin{aligned}m \cdot n &= c \\ &= 5\end{aligned}

המכפלה היא האיבר החופשי

m+n=b=6\begin{aligned}m + n &= b \\ &= 6\end{aligned}

והסכום הוא המקדם של x

החלפה בין b ל-c היא הטעות הראשונה בפרק. c הוא זה שנמצא בסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

האיבר החופשי cc שלילי. מה זה אומר על שני המספרים?

  1. שניהם שליליים
  2. אי אפשר לדעת
  3. שניהם חיוביים
  4. אחד חיובי ואחד שלילי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אחד חיובי ואחד שלילי

הפתרון:

m⋅n<0m \cdot n < 0

מכפלה שלילית = סימנים שונים

קריאת הסימנים לפני החיפוש חוסכת חצי מהזוגות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו לכל ביטוי את הפירוק שלו.

  • x2+7x+10x^2 + 7x + 10
  • x2+11x+10x^2 + 11x + 10
  • x2−7x+10x^2 - 7x + 10
  • x2+3x−10x^2 + 3x - 10
  • (x−2)(x−5)(x - 2)(x - 5)
  • (x+10)(x+1)(x + 10)(x + 1)
  • (x+5)(x−2)(x + 5)(x - 2)
  • (x+5)(x+2)(x + 5)(x + 2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+7x+10x^2 + 7x + 10 — (x+5)(x+2)(x + 5)(x + 2) · x2+11x+10x^2 + 11x + 10 — (x+10)(x+1)(x + 10)(x + 1) · x2−7x+10x^2 - 7x + 10 — (x−2)(x−5)(x - 2)(x - 5) · x2+3x−10x^2 + 3x - 10 — (x+5)(x−2)(x + 5)(x - 2)

הפתרון:

5⋅2=105+2=7\begin{aligned}5 \cdot 2 &= 10 \quad \\ \quad 5 + 2 &= 7\end{aligned}

מכפלה 10 וסכום 7

10⋅1=1010+1=11\begin{aligned}10 \cdot 1 &= 10 \quad \\ \quad 10 + 1 &= 11\end{aligned}

מכפלה 10 וסכום 11

(−5)⋅(−2)=10−5+(−2)=−7\begin{aligned}(-5) \cdot (-2) &= 10 \quad \\ \quad -5 + (-2) &= -7\end{aligned}

מכפלה חיובית וסכום שלילי: שניהם שליליים

5⋅(−2)=−105+(−2)=3\begin{aligned}5 \cdot (-2) &= -10 \quad \\ \quad 5 + (-2) &= 3\end{aligned}

מכפלה שלילית: סימנים שונים

לשלושה ביטויים אותה מכפלה, 10, והסכום הוא שמבדיל ביניהם. מי שבודק רק את המכפלה מתבלבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בפירוק של x2−9x+20x^2 - 9x + 20 שני המספרים שליליים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

20>0\textcolor{#9a5b12}{20} > 0

המכפלה חיובית: שני המספרים באותו סימן

−9<0\textcolor{#1f5fae}{-9} < 0

הסכום שלילי: שניהם שליליים

x2−9x+20=(x−4)(x−5)x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)

ואכן: −4-4 ו-−5-5

מכפלה חיובית לא אומרת שהמספרים חיוביים. היא אומרת רק שהסימנים שווים, והסכום קובע איזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מיינו לפי הסימנים של שני המספרים בפירוק.

  • אותו סימן
  • סימנים שונים
  • x2−5x+6x^2 - 5x + 6
  • x2−8x+15x^2 - 8x + 15
  • x2−x−6x^2 - x - 6
  • x2+2x−15x^2 + 2x - 15
  • x2+5x+6x^2 + 5x + 6
  • x2+x−6x^2 + x - 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2+5x+6x^2 + 5x + 6 — אותו סימן · x2−5x+6x^2 - 5x + 6 — אותו סימן · x2+x−6x^2 + x - 6 — סימנים שונים · x2−x−6x^2 - x - 6 — סימנים שונים · x2−8x+15x^2 - 8x + 15 — אותו סימן · x2+2x−15x^2 + 2x - 15 — סימנים שונים

הפתרון:

m⋅n>0m \cdot n > 0

מכפלה חיובית: אותו סימן

m⋅n<0m \cdot n < 0

מכפלה שלילית: סימנים שונים

מסתכלים רק על הסימן של האיבר החופשי cc. הסימן של bb לא משנה את המיון: הוא קובע רק איזה סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

פירוק עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+2x−24x^2 + 2x - 24
m⋅n=−24m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= -24 \quad \\ \quad m + n &= 2\end{aligned}
6⋅(−4)=−246+(−4)=2\begin{aligned}6 \cdot (-4) &= -24 \quad \\ \quad 6 + (-4) &= 2\end{aligned}
(x−6)(x+4)(x - 6)(x + 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (x−6)(x+4)(x - 6)(x + 4) → (x+6)(x−4)(x + 6)(x - 4)

הפתרון:

m=6  n=−4\begin{aligned}m &= 6 \ \\ \ n &= -4\end{aligned}

הזוג נכון

(x+6)(x−4)=x2+2x−24(x + 6)(x - 4) = x^2 + 2x - 24

ונכנס לסוגריים בסימנים שלו

הזוג נמצא נכון, אבל הסימנים התהפכו בדרך לסוגריים. בדיקה בפתיחה: (x−6)(x+4)=x2−2x−24(x - 6)(x + 4) = x^2 - 2x - 24, ולא +2x+2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

את 2x2+7x+62x^2 + 7x + 6 אפשר לחלק ב-2, ואז לפרק בשיטת הטרינום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2x2:2=x26:2=3\begin{aligned}2x^2 : 2 &= x^2 \quad \\ \quad 6 : 2 &= 3\end{aligned}

שני איברים מתחלקים

7x:2=3.5x7x : 2 = 3.5x

אבל 7 לא מתחלק ב-2

מספיק איבר אחד שלא מתחלק כדי שהטרינום לא יהיה זמין. כאן עוברים לנוסחת השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

a=2  b=−5  c=2\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -5 \ \\ \ c &= 2\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

−b-b הוא +5+5

x1,2=5±94=5±34\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \\ &= \dfrac{5 \pm 3}{4}\end{aligned}

מתחת לשורש: 25−16=925 - 16 = 9

x1=84=2x2=24=0.5\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{8}{4} \\ &= 2 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

שני הפתרונות

הטעות האורבת: לכתוב −5-5 במקום −b-b. כש-bb שלילי, −b-b חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת