שכיחות ושכיחות יחסית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

הטלנו קובייה 20 פעמים. עכשיו נספור מה יצא בכל הטלה.

שכיחות

השכיחות של תוצאה היא כמה פעמים היא הופיעה.

זה מספר שלם — בדיוק המספר שבסוף כל שורה בטבלה.

55

השכיחות של 4 — הוא יצא חמש פעמים

22

השכיחות של 3 — הוא יצא פעמיים

2020

סך כל התצפיות — סכום כל השכיחויות

מה השכיחות של המספר 2 בטבלה שלמעלה?

להציג את התשובה והפתרון

4. בשורה של 2 יש ארבעה קווים — הוא יצא ארבע פעמים.

שכיחות יחסית

שכיחות לבדה לא מספיקה. «יצא 5 פעמים» זה הרבה מתוך 20 — ומעט מאוד מתוך 1000.

לכן מחשבים את השכיחות היחסית: החלק שהתוצאה תופסת מכל התצפיות.

שכיחות יחסית = השכיחות חלקי מספר כל התצפיות

520=14=0.25=25%\begin{aligned}\frac{5}{20} &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25 \\ &= 25\%\end{aligned}

שימו לב שאותו מספר נכתב בארבע צורות — שבר, שבר מצומצם, מספר עשרוני ואחוז. כולן אותה שכיחות יחסית.

המספר 6 יצא 3 פעמים מתוך 20. מהי השכיחות היחסית שלו, באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

320=15100=15%\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\%. מרחיבים ל-100 כדי לקרוא אחוזים — 15 משבצות בלוח.

בדיקה שכדאי לעשות תמיד: סכום כל השכיחויות היחסיות הוא 1 — כלומר 100%. אם יצא לכם יותר, משהו נספר פעמיים.

להשוות בעזרת השכיחות היחסית

בכיתה 25 תלמידים, ו-10 מהם הגיעו באוטובוס. מהי השכיחות היחסית של «הגיעו באוטובוס»?

להציג את התשובה והפתרון

1025=40100=40%\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 40\%. עשרה מתוך עשרים וחמישה — כלומר ארבעים אחוז מהכיתה.

למה לא נכון להשוות בין שתי כיתות לפי השכיחות בלבד?

להציג את התשובה והפתרון

כי הכיתות שונות בגודלן. 6 מתוך 24 הם 25%, ו-6 מתוך 30 הם 20% — אותה שכיחות, שכיחות יחסית שונה. רק היחסית מאפשרת להשוות.

השכיח, והממוצע — שני דברים שונים

השכיח הוא התוצאה שהשכיחות שלה הגדולה ביותר — השורה הארוכה בטבלה.

הממוצע הוא משהו אחר לגמרי: מחלקים את הסכום במספר הנתונים.

לבלבל בין השכיח לבין הממוצע.

שכיח=ממוצע\text{שכיח} = \text{ממוצע}
שכיח≠ממוצע\text{שכיח} \ne \text{ממוצע}

בנתונים שלמעלה השכיח הוא 5, והממוצע הוא 44:7≈6.344 : 7 \approx 6.3. נתון אחד קיצוני מזיז את הממוצע ולא נוגע בשכיח.

תרגילים

להתאמן

תרגיל 1

בטבלת השכיחויות: 1 הופיע 3 פעמים, 2 — 4 פעמים, 3 — 2 פעמים, 4 — 5 פעמים, 5 — 3 פעמים, 6 — 3 פעמים. כמה תצפיות יש בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

3+4+2+5+3+3=203 + 4 + 2 + 5 + 3 + 3 = 20

סכום כל השכיחויות

סך התצפיות הוא תמיד סכום כל השכיחויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה טבלה — מהי השכיחות של המספר 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

55

כמה פעמים הופיע 4

שכיחות היא ספירה, לא שבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותה טבלה — מהי השכיחות היחסית של המספר 4, באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

520=25100\frac{5}{20} = \frac{25}{100}

השכיחות חלקי סך התצפיות, מורחב ל-100

=25%= 25\%

רבע מההטלות

רבע מההטלות נפלו על 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה טבלה — מהו השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

55

השכיחות הגדולה ביותר

44

והיא שייכת למספר 4

השכיח הוא התוצאה, לא השכיחות שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בכיתה א׳ 6 ילדים מתוך 24 לומדים ג׳ודו, ובכיתה ב׳ 6 מתוך 30. באיזו כיתה החלק גדול יותר?

  1. אי אפשר לדעת
  2. שווה, כי בשתיהן 6 ילדים
  3. בכיתה א׳ — 25% לעומת 20%
  4. בכיתה ב׳ — יש בה יותר תלמידים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בכיתה א׳ — 25% לעומת 20%

הפתרון:

624=25%\frac{6}{24} = 25\%

כיתה א׳

630=20%\frac{6}{30} = 20\%

כיתה ב׳

אותה שכיחות, ובכל זאת חלק שונה — בדיוק בשביל זה קיימת השכיחות היחסית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סכום כל השכיחויות היחסיות בטבלה הוא תמיד 100%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

320+420+220+520+320+320\frac{3}{20}+\frac{4}{20}+\frac{2}{20}+\frac{5}{20}+\frac{3}{20}+\frac{3}{20}

מחברים את כל השכיחויות היחסיות

2020=1=100%\begin{aligned}\frac{20}{20} &= 1 \\ &= 100\%\end{aligned}

כל תצפית נספרה פעם אחת, ולכן מתקבל השלם

כל תצפית נספרת פעם אחת בדיוק, ולכן כל החלקים יחד הם השלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השכיח הוא תמיד המספר הגדול ביותר בנתונים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2, 3, 3, 3, 4, 92,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 9

בנתונים האלה

שכיח=3הגדול=9\begin{aligned}\text{שכיח} &= 3 \\ \quad \text{הגדול} &= 9\end{aligned}

שני מספרים שונים לגמרי

השכיח הוא הנתון שחוזר הכי הרבה פעמים. בנתונים 2, 3, 3, 3, 4, 9 — השכיח הוא 3, והגדול הוא 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסקר השתתפו 200 תלמידים, ו-30% מהם אמרו שהם הולכים לבית הספר ברגל. כמה תלמידים זה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

30100×200=60\frac{30}{100} \times 200 = 60

מהשכיחות היחסית חזרה אל השכיחות

שישים תלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בטבלה של 50 תצפיות, השכיחות היחסית של תוצאה אחת היא 0.3. מהי השכיחות שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

0.3×50=150.3 \times 50 = 15

שכיחות יחסית כפול סך התצפיות

חמש עשרה תצפיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: מה נמדד במספר שלם של פעמים, ומה נמדד כחלק מהשלם?

  • שכיחות
  • שכיחות יחסית
  • 0.25
  • 12 הטלות
  • 35%
  • 7 תלמידים
  • חצי מהכיתה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7 תלמידים — שכיחות · 0.25 — שכיחות יחסית · 12 הטלות — שכיחות · 35% — שכיחות יחסית · חצי מהכיתה — שכיחות יחסית

הפתרון:

7, 127,\ 12

ספירות — כלומר שכיחות

0.25, 35%0.25,\ 35\%

חלקים מהשלם — כלומר שכיחות יחסית

שכיחות היא ספירה; שכיחות יחסית היא תמיד חלק — שבר, עשרוני או אחוז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

עשרה תלמידים בחרו משחק: 1 כדורגל, 2 מחבואים או 3 תופסת. הבחירות: 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 13,\ 1,\ 3,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 3,\ 1. השלימו את טבלת השכיחויות.

המשחקשכיחות
1 — כדורגל____
2 — מחבואים____
3 — תופסת____
סך הכול____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1 — כדורגל: 3 · 2 — מחבואים: 2 · 3 — תופסת: 5 · סך הכול: 10

הפתרון:

1: 32: 23: 51:\ 3 \quad 2:\ 2 \quad 3:\ 5

סופרים כל מספר ברשימה

3+2+5=103 + 2 + 5 = 10

הבדיקה: סך הכול הוא מספר התלמידים

כדאי לסמן קו לכל בחירה, כמו בטבלה של הקובייה — ולא לספור «בראש». סכום השכיחויות חייב לצאת 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

02468כדורגלכדורסלשחייהטניסהחוגמספר תלמידים

לפי הדיאגרמה — מהי השכיחות של «כדורגל»?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

כדורגל→8\text{כדורגל} \rightarrow 8

העמודה מגיעה לקו של 8

השכיחות היא הגובה של העמודה — מספר, לא אחוז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

02468כדורגלכדורסלשחייהטניסהחוגמספר תלמידים

לפי אותה דיאגרמה — מהי השכיחות היחסית של «שחייה», באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

8+6+4+2=208 + 6 + 4 + 2 = 20

קודם כל התצפיות

420=20100=20%\begin{aligned}\frac{4}{20} &= \frac{20}{100} \\ &= 20\%\end{aligned}

שחייה מתוך הכול

הטעות הנפוצה: לענות 4. זו השכיחות; החלק הוא 4 מתוך 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו כל שכיחות יחסית לאחוז שלה

  • 14\frac{1}{4}
  • 12\frac{1}{2}
  • 320\frac{3}{20}
  • 110\frac{1}{10}
  • 10%10\%
  • 15%15\%
  • 25%25\%
  • 50%50\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14\frac{1}{4} — 25%25\% · 12\frac{1}{2} — 50%50\% · 320\frac{3}{20} — 15%15\% · 110\frac{1}{10} — 10%10\%

הפתרון:

320=15100\frac{3}{20} = \frac{15}{100}

מרחיבים ל-100

110=10100\frac{1}{10} = \frac{10}{100}

וגם כאן

כל שבר שמכנהו מתחלק ב-100 — מרחיבים ל-100 וקוראים את האחוז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בכיתה 25 תלמידים, ו-5 מהם מגיעים באופניים.

השכיחות היחסית של «אופניים» היא ____ (מספר עשרוני), כלומר ____ אחוזים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיחות היחסית של «אופניים» היא 0.2 (מספר עשרוני), כלומר 20 אחוזים.

הפתרון:

525=15\frac{5}{25} = \frac{1}{5}

מצמצמים ב-5

15=0.2=20%\begin{aligned}\frac{1}{5} &= 0.2 \\ &= 20\%\end{aligned}

אותו מספר בשלוש צורות

חמישה מתוך עשרים וחמישה הם חמישית מהכיתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

6 מתוך 24 תלמידים לומדים ג׳ודו. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

624=14\frac{6}{24} = \frac{1}{4}
14=0.25\frac{1}{4} = 0.25
0.25=2.5%0.25 = 2.5\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25=2.5%0.25 = 2.5\% → 0.25=25%0.25 = 25\%

הפתרון:

0.25=25100=25%\begin{aligned}0.25 &= \frac{25}{100} \\ &= 25\%\end{aligned}

עשרים וחמש מאיות

מעשרוני לאחוזים כופלים ב-100: הנקודה זזה שני מקומות, לא אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

אם השכיחות של תוצאה היא 8, אז השכיחות היחסית שלה היא 8%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

820=40%\frac{8}{20} = 40\%

מתוך 20 תצפיות

8200=4%\frac{8}{200} = 4\%

ומתוך 200

השכיחות היחסית תלויה במספר כל התצפיות. אותה שכיחות 8 נותנת אחוזים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

סדרו את השכיחויות היחסיות מהקטנה לגדולה

  • 110\frac{1}{10}
  • 14\frac{1}{4}
  • 0.20.2
  • 15%15\%
  • 40%40\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110\frac{1}{10} · 15%15\% · 0.20.2 · 14\frac{1}{4} · 40%40\%

הפתרון:

10%<15%<20%<25%<40%10\% < 15\% < 20\% < 25\% < 40\%

הופכים הכול לאחוזים

כשהצורות שונות, מביאים את כולן לאותה צורה — הכי נוח: אחוזים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

בנתונים 4, 7, 7, 2, 9, 7, 44,\ 7,\ 7,\ 2,\ 9,\ 7,\ 4 — מהו השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

7→37 \rightarrow 3

שבע מופיע שלוש פעמים

4→24 \rightarrow 2

ארבע רק פעמיים

השכיח הוא הנתון עצמו (7), לא מספר הפעמים (3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

בכיתה א׳ 8 תלמידים מתוך 32 מנגנים, ובכיתה ב׳ 6 מתוך 20. באיזו כיתה החלק של המנגנים גדול יותר?

  1. אי אפשר לדעת בלי לשאול את התלמידים
  2. בכיתה ב׳ — 30% לעומת 25%
  3. בכיתה א׳ — יש בה יותר מנגנים
  4. שווה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בכיתה ב׳ — 30% לעומת 25%

הפתרון:

832=14=25%\begin{aligned}\frac{8}{32} &= \frac{1}{4} \\ &= 25\%\end{aligned}

כיתה א׳

620=310=30%\begin{aligned}\frac{6}{20} &= \frac{3}{10} \\ &= 30\%\end{aligned}

כיתה ב׳

בכיתה א׳ יותר מנגנים — אבל גם יותר תלמידים. משווים שכיחות יחסית, לא שכיחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת