ניתוח סיכויים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

יש דברים שקורים תמיד, ויש דברים שלא יקרו אף פעם.

רוב הדברים באמצע — הם קורים לפעמים. המילה שמודדת את האמצע הזה היא סיכוי.

איך מודדים סיכוי במספר

כשכל התוצאות שוות זו לזו — קובייה הוגנת, מטבע הוגן, שק שמערבבים בו — סופרים שני מספרים ומחלקים.

סיכוי = מספר התוצאות המתאימות חלקי מספר כל התוצאות האפשריות

מה הסיכוי לקבל בקובייה מספר גדול מ-4?

להציג את התשובה והפתרון

26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}. שתי תוצאות מתאימות בלבד — 5 ו-6.

בשק 3 כדורים אדומים ו-5 כחולים. מה הסיכוי להוציא אדום?

להציג את התשובה והפתרון

38\frac{3}{8} — שלושה כדורים מתאימים מתוך שמונה כדורים בסך הכול. הטעות הנפוצה: לכתוב 35\frac{3}{5}, כלומר אדומים מול כחולים במקום אדומים מול הכול.

«חצי חצי» — רק כששתי האפשרויות שוות

במטבע יש שתי אפשרויות, והן סימטריות — לשני הצדדים אותו סיכוי בדיוק. זה מה שמצדיק את «חצי חצי», ולא עצם העובדה שהאפשרויות שתיים.

לחשוב שכל שתי אפשרויות שוות בסיכוי.

שתי אפשרויות→50%\text{שתי אפשרויות} \rightarrow 50\%
שתי אפשרויות שוות→50%\text{שתי אפשרויות שוות} \rightarrow 50\%

«מחר ירד גשם» או «לא ירד» הן שתי אפשרויות — ובאוגוסט בישראל הן רחוקות מלהיות שוות. גם «אזכה בהגרלה» או «לא אזכה» אינן חצי חצי.

מ-0 עד 1: בלתי אפשרי, ודאי, ובאמצע

בדיקת היגיון על כל תשובה: סיכוי הוא תמיד בין 0 ל-1 (כלומר בין 0% ל-100%). 0 פירושו «אף פעם», 1 פירושו «תמיד». תשובה כמו 75\frac{7}{5} היא סימן לטעות.

להשוות שני סיכויים

כדי להגיד איזה מאורע יותר סביר, מחשבים את שני הסיכויים ומשווים ביניהם — בדיוק כמו שמשווים שני שברים.

בינואר צפויים 10 ימי גשם מתוך 31, ובפברואר 9 מתוך 28. באיזה חודש הסיכוי ליום גשום קטן יותר?

להציג את התשובה והפתרון

בפברואר, אבל רק במעט: 1031≈0.323\frac{10}{31} \approx 0.323 ו-928≈0.321\frac{9}{28} \approx 0.321. ימי הגשם בפברואר פחות, וגם הימים בחודש פחות — לכן מחשבים את שני הסיכויים.

בכיתה 3 מחשבים. במחשב א׳ הייתה תקלה ב-4 ימים מתוך 20 ימי שימוש, ובמחשב ב׳ ב-3 ימים מתוך 10. באיזה מחשב תבחרו למצגת?

להציג את התשובה והפתרון

במחשב א׳: 420=20%\frac{4}{20} = 20\% לעומת 310=30%\frac{3}{10} = 30\%. פחות ימי תקלה מתוך מספר השימושים — לא פחות ימי תקלה בסך הכול.

תרגילים

להתאמן

תרגיל 1

מטילים קובייה. כמה תוצאות אפשריות יש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

66

שש פאות

המכנה של כל שאלת קובייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מטילים קובייה. מה הסיכוי לקבל מספר זוגי? ענו באחוזים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

שלוש תוצאות זוגיות מתוך שש

=50%= 50\%

חצי

חצי מהמספרים בקובייה הם זוגיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשק 4 כדורים אדומים ו-6 כחולים. מה הסיכוי להוציא כדור אדום?

  1. 610\frac{6}{10}
  2. 46\frac{4}{6}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 410\frac{4}{10}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 410\frac{4}{10}

הפתרון:

4+6=104 + 6 = 10

קודם סופרים את כל הכדורים

410=40%\frac{4}{10} = 40\%

אדומים מתוך הכול

במכנה עומד סך כל הכדורים, לא הכדורים מהצבע השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשק 4 כדורים אדומים ו-6 כחולים. מה הסיכוי להוציא כדור כחול, באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

610=60100\frac{6}{10} = \frac{60}{100}

שישה מתוך עשרה

=60%= 60\%

והשלמה ל-100% עם האדומים

40% ועוד 60% — יחד 100%, כי אין צבע שלישי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם למאורע יש שתי אפשרויות בלבד, הסיכוי שלו הוא תמיד חצי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P=12P = \frac{1}{2}

רק כששתי האפשרויות שוות, כמו במטבע

P(גשם באוגוסט)≠12P(\text{גשם באוגוסט}) \ne \frac{1}{2}

שתי אפשרויות שאינן שוות כלל

רק כששתי האפשרויות שוות. «ירד גשם מחר באוגוסט» הוא שתי אפשרויות, ורחוק מאוד מחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בהטלת קובייה, הסיכוי לקבל את המספר 7 הוא 0

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

06=0\frac{0}{6} = 0

אפס תוצאות מתאימות מתוך שש אפשריות

אין פאה כזאת — אפס תוצאות מתאימות, ולכן «אף פעם».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באיזה מקרה הסיכוי גדול יותר: להוציא אדום משק ובו 3 אדומים ו-3 כחולים, או משק ובו 5 אדומים ו-15 כחולים?

  1. אי אפשר להשוות
  2. שווה בשניהם
  3. בשק השני — יש בו יותר כדורים אדומים
  4. בשק הראשון — 50% לעומת 25%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד בשק הראשון — 50% לעומת 25%

הפתרון:

36=50%\frac{3}{6} = 50\%

השק הראשון

520=25%\frac{5}{20} = 25\%

השק השני

יותר כדורים אדומים אינו יותר סיכוי — הכול תלוי במתוך כמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מסובבים סביבון עם 4 צדדים שווים: נ, ג, ה, פ. מה הסיכוי שייצא «ג», באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

14=25100\frac{1}{4} = \frac{25}{100}

צד אחד מתוך ארבעה שווים

רבע — ורק מפני שארבעת הצדדים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו את המאורעות: מה קורה תמיד, ומה לא יקרה אף פעם?

  • תמיד
  • אף פעם
  • בקובייה ייצא 9
  • בקובייה ייצא מספר קטן מ-7
  • משק שכולו כדורים כחולים ייצא אדום
  • משק שכולו כדורים כחולים ייצא כחול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בקובייה ייצא מספר קטן מ-7 — תמיד · בקובייה ייצא 9 — אף פעם · משק שכולו כדורים כחולים ייצא כחול — תמיד · משק שכולו כדורים כחולים ייצא אדום — אף פעם

הפתרון:

P=1P = 1

מה שקורה תמיד

P=0P = 0

ומה שלא יקרה אף פעם

«תמיד» הוא סיכוי 1, «אף פעם» הוא סיכוי 0. כל השאר נמצא בין שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בכד 20 כדורים, ו-25% מהם ירוקים. כמה כדורים ירוקים יש בכד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

25100×20=5\frac{25}{100} \times 20 = 5

רבע מעשרים

הכיוון ההפוך: מהסיכוי אל מספר הכדורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בשק 2 כדורים אדומים, 3 כחולים ו-5 ירוקים. מה הסיכוי להוציא כדור ירוק, באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

2+3+5=102 + 3 + 5 = 10

כל הכדורים

510=50%\frac{5}{10} = 50\%

ירוקים מתוך כל הכדורים

שלושה צבעים, אבל המכנה הוא כל עשרת הכדורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מטילים קובייה. מה הסיכוי לקבל מספר גדול מ-4?

  1. 36\frac{3}{6}
  2. 46\frac{4}{6}
  3. 26\frac{2}{6}
  4. 24\frac{2}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 26\frac{2}{6}

הפתרון:

5, 65,\ 6

רק שתי תוצאות גדולות מ-4

26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

מתוך שש

4 עצמו לא גדול מ-4. מי שסופר גם אותו מקבל 36\frac{3}{6}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מיינו: באיזה מקרה הסיכוי הוא בדיוק חצי?

  • בדיוק חצי
  • לא חצי
  • גלגל: 3 חלקים אדומים וחלק כחול — כחול
  • מטבע — לקבל עץ
  • קובייה — לקבל 6
  • קובייה — לקבל מספר זוגי
  • שק של 2 אדומים ו-2 כחולים — כחול
  • שק של 3 אדומים וכחול אחד — אדום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מטבע — לקבל עץ — בדיוק חצי · קובייה — לקבל מספר זוגי — בדיוק חצי · קובייה — לקבל 6 — לא חצי · שק של 3 אדומים וכחול אחד — אדום — לא חצי · שק של 2 אדומים ו-2 כחולים — כחול — בדיוק חצי · גלגל: 3 חלקים אדומים וחלק כחול — כחול — לא חצי

הפתרון:

12=36=24\begin{aligned}\frac{1}{2} &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{2}{4}\end{aligned}

שלושה מקרים של חצי

16, 34, 14\frac{1}{6},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{4}

ושלושה שאינם

גם בשק «אדום או כחול» יש שתי אפשרויות — אבל הן שוות רק כשמספר הכדורים שווה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בשק 3 כדורים אדומים ו-5 כחולים. הסיכוי להוציא אדום הוא 35\frac{3}{5}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3+5=83 + 5 = 8

כל הכדורים

P=38P = \frac{3}{8}

אדומים מתוך כל הכדורים

35\frac{3}{5} משווה אדומים לכחולים. הסיכוי משווה אדומים לכל הכדורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בשק כדור אדום אחד, 3 כחולים ו-4 ירוקים. השלימו את הסיכויים, באחוזים.

צבעמספר כדוריםהסיכוי ב-%
אדום1____
כחול3____
ירוק4____
סך הכול8____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אדום: 12.5 · כחול: 37.5 · ירוק: 50 · סך הכול: 100

הפתרון:

18=12.5%\frac{1}{8} = 12.5\%

שמינית

38=37.5%\frac{3}{8} = 37.5\%

שלוש שמיניות

48=50%\frac{4}{8} = 50\%

חצי

12.5+37.5+50=10012.5 + 37.5 + 50 = 100

הבדיקה

סכום הסיכויים של כל הצבעים הוא 100% — בדיוק כמו סכום השכיחויות היחסיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

גלגל מחולק ל-8 חלקים שווים, ו-3 מהם כחולים. מה הסיכוי שהגלגל יעצור על כחול, באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37.5

הפתרון:

38\frac{3}{8}

שלושה חלקים מתוך שמונה שווים

=0.375=37.5%= 0.375 = 37.5\%

מחלקים

החלקים שווים, ולכן אפשר לספור חלקים — כמו פאות בקובייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בשק א׳ 2 אדומים מתוך 5 כדורים. בשק ב׳ 3 אדומים מתוך 10 כדורים. מאיזה שק סביר יותר להוציא אדום?

  1. משק ב׳ — יש בו יותר אדומים
  2. משק א׳ — 40% לעומת 30%
  3. אי אפשר להשוות שקים בגדלים שונים
  4. שווה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב משק א׳ — 40% לעומת 30%

הפתרון:

25=410\frac{2}{5} = \frac{4}{10}

מרחיבים למכנה 10

410>310\frac{4}{10} > \frac{3}{10}

עכשיו משווים מונים

משווים חלקים. בשק ב׳ יותר אדומים — וגם פי שניים כדורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

בשק 12 כדורים. הסיכוי להוציא כחול הוא 13\frac{1}{3}. כמה כדורים כחולים יש בשק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

13×12=4\frac{1}{3} \times 12 = 4

שליש מהכדורים

הכיוון ההפוך: מהסיכוי אל מספר הכדורים. בדיקה: 412=13\frac{4}{12} = \frac{1}{3} ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מטילים קובייה ומחכים למספר אי-זוגי.

מספר התוצאות האפשריות: ____. מספר התוצאות המתאימות: ____. הסיכוי באחוזים: ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר התוצאות האפשריות: 6. מספר התוצאות המתאימות: 3. הסיכוי באחוזים: 50.

הפתרון:

1, 3, 51,\ 3,\ 5

שלוש תוצאות מתאימות

36=12=50%\begin{aligned}\frac{3}{6} &= \frac{1}{2} \\ &= 50\%\end{aligned}

מתוך שש

קודם סופרים את המכנה, אחר כך את המונה — ורק אז מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

בשק כדור אדום אחד, 3 כחולים ו-6 ירוקים. סדרו את המאורעות מהפחות סביר לסביר ביותר

  • להוציא כדור אדום
  • להוציא כדור ירוק
  • להוציא כדור כחול
  • להוציא כדור כלשהו
  • להוציא כדור סגול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: להוציא כדור סגול · להוציא כדור אדום · להוציא כדור כחול · להוציא כדור ירוק · להוציא כדור כלשהו

הפתרון:

0<110<310<610<10 < \frac{1}{10} < \frac{3}{10} < \frac{6}{10} < 1

מבלתי אפשרי ועד ודאי

אין בשק כדור סגול — סיכוי 0. כל כדור שיוצא הוא «כלשהו» — סיכוי 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת