יחס · יחס · כיתה ו׳

מה זה יחס

יחס משווה בין שני גדלים.

היחס בין בנים לבנות הוא $3 : 2$ . זה אומר: על כל 3 בנים יש 2 בנות.

יחס לא אומר כמה — הוא אומר פי כמה. אותו $3 : 2$ מתאים ל-3 ו-2, ל-30 ו-20, ול-300 ו-200.

בכיתה 6 בנים ו-4 בנות. האם היחס בין בנים לבנות הוא $3 : 2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. אפשר לסדר אותם בשתי קבוצות, ובכל קבוצה 3 בנים ו-2 בנות.

איך מוציאים את היחס

בכיתה 12 בנים ו-8 בנות. היחס הוא $12 : 8$ — אבל אפשר לכתוב אותו קצר יותר.

במקום לחלק מספרים, נסדר את הילדים בקבוצות זהות.

מספר הקבוצות הוא המספר שמחלקים בו את שני הצדדים. כאן ארבע קבוצות: $12 : 8 = 3 : 2$ .

בכיתה 15 בנים ו-10 בנות. כמה קבוצות זהות אפשר לבנות, ומה היחס המצומצם?

להציג את התשובה והפתרון

5 קבוצות, ובכל אחת 3 בנים ו-2 בנות. היחס הוא 3 : 2 — אותו יחס כמו קודם, עם יותר ילדים. נסו בכלי למעלה.

צמצום יחס

יחס מתנהג כמו שבר: מותר לחלק את שני הצדדים באותו מספר.

היחס לא משתנה — הוא רק נכתב קצר יותר.

מצמצמים עד הסוף: עד שאין מספר (חוץ מ-1) שמחלק את שני הצדדים.

צמצמו את היחס $18 : 12$ .

להציג את התשובה והפתרון

$3 : 2$ . מחלקים את שניהם ב-6 — או ב-2 ואחר כך ב-3.

חלוקת כמות לפי יחס

זו השאלה המרכזית של הפרק: לחלק כמות לפי יחס.

הרעיון: מחלקים בסיבובים. בכל סיבוב כל צד מקבל את המספר שלו ביחס.

3 + 2 = 5

בכל סיבוב — סך המנות

40 : 5 = 8

מספר הסיבובים — גודל מנה

3 \times 8 = 24

כל צד: המספר שלו כפול 8

לבדוק ולא ליפול

בדיקה: סכום החלקים חוזר לכמות. $24 + 16 = 40$ ✓. אם לא — הייתה טעות.

מחלקים 30 שקלים ביחס $2 : 3$ . כמה מקבל כל צד?

להציג את התשובה והפתרון

12 ו-18. בכל סיבוב 5 שקלים, ולכן 6 סיבובים: $2 \times 6 = 12$ ו- $3 \times 6 = 18$ . בדיקה: $12 + 18 = 30$ .

הטעות של חלוקת יחס.

40 : 3 \ \text{וגם} \ 40 : 2

40 : 5 \ \text{ואז כפל}

מחלקים בסך המנות ( $3 + 2$ ), לא בכל מספר בנפרד.

\text{יחס } 3 : 2 \Rightarrow \text{יש 3 בנים}

\text{על כל 3 בנים יש 2 בנות}

היחס מתאר מבנה, לא כמות.

תרגילים

תרגיל 1

צמצמו את היחס $12 : 8$

$4 : 2$
$3 : 2$
$6 : 4$
$2 : 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $3 : 2$

הפתרון:

12 : 4 = 3

מחלקים ב-4

8 : 4 = 2

את שני הצדדים

$6 : 4$ הוא אותו יחס, אבל לא מצומצם עד הסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מחלקים 40 סוכריות ביחס $3 : 2$ . כמה מקבל החלק הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

3 + 2 = 5

סך המנות

40 : 5 = 8

גודל מנה

3 \times 8 = 24

שלוש מנות

בדיקה: $24 + 16 = 40$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מחלקים 63 שקלים ביחס $4 : 3$ . כמה מקבל החלק הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

4 + 3 = 7

סך המנות

63 : 7 = 9

גודל מנה

3 \times 9 = 27

שלוש מנות

בדיקה: $36 + 27 = 63$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

היחס בין בנים לבנות הוא $3 : 2$ . מה זה אומר?

יש 5 ילדים
על כל 3 בנים יש 2 בנות
הבנים מבוגרים יותר
יש בדיוק 3 בנים ו-2 בנות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב על כל 3 בנים יש 2 בנות

הפתרון:

3 : 2

יחס — לא כמות

זה מתאים גם ל-30 ו-20, וגם ל-300 ו-200.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מחלקים 100 ביחס $1 : 4$ . כמה מקבל החלק הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

1 + 4 = 5

סך המנות

100 : 5 = 20

גודל מנה

4 \times 20 = 80

ארבע מנות

בדיקה: $20 + 80 = 100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכיתה 12 בנים ו-18 בנות. מהו היחס בנים לבנות, אחרי צמצום? כתבו את האיבר הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

12 : 18 = 2 : 3

מחלקים את שניהם ב-6

יחס מצמצמים בדיוק כמו שבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

היחס בין סוכר לקמח במתכון הוא 2:5. שמים 10 כפות סוכר — כמה קמח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

10 : 2 = 5

הסוכר גדל פי 5

5 \times 5 = 25

גם הקמח פי 5

המלכודת: להוסיף 8 גם לקמח ( $5 + 8 = 13$ ). מכפילים, לא מוסיפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

יחס של 3:4 בין כדורים אדומים לכחולים. מה בהכרח נכון?

האדומים רבים יותר
על כל 3 אדומים יש 4 כחולים
יש בדיוק 7 כדורים
יש בדיוק 3 אדומים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב על כל 3 אדומים יש 4 כחולים

הפתרון:

3 : 4

יחס אינו כמות

יכולים להיות 6 ו-8, או 30 ו-40 — היחס זהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

היחס 1:3 בין מיץ למים. מכינים 8 כוסות משקה — כמה כוסות מיץ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

1 + 3 = 4

חלקים בסך הכול

8 : 4 = 2

גודל חלק אחד

המלכודת: היחס 1:3 אומר רבע מיץ — לא שליש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשקית 24 סוכריות ביחס 1:2 בין לימון לתות. כמה בטעם תות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

1 + 2 = 3

סך המנות

24 : 3 = 8

חלק אחד

8 \times 2 = 16

שני חלקים תות

לתות שתי מנות: $2 \times 8 = 16$ , וללימון 8. בדיקה: $8 + 16 = 24$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

היחס בין בנים לבנות הוא $3 : 2$ . לכן יש בכיתה בדיוק 5 ילדים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}3 : 2 &= 6 : 4 \\ &= 30 : 20\end{aligned}

אותו יחס, כמויות שונות

יחס אומר על כל 3 בנים — 2 בנות. בכיתה יכולים להיות 5, 10, 25 ילדים ויותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל יחס ליחס המצומצם שלו

$12 : 8$
$10 : 15$
$4 : 16$
$20 : 5$

$1 : 4$
$2 : 3$
$3 : 2$
$4 : 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $12 : 8$ — $3 : 2$ · $10 : 15$ — $2 : 3$ · $4 : 16$ — $1 : 4$ · $20 : 5$ — $4 : 1$

הפתרון:

12 : 8 = 3 : 2 \quad (: 4)

10 : 15 = 2 : 3 \quad (: 5)

4 : 16 = 1 : 4 \quad (: 4)

20 : 5 = 4 : 1 \quad (: 5)

שימו לב לסדר: $2 : 3$ ו- $3 : 2$ הם שני יחסים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

השלימו

בכיתה 15 בנים ו-10 בנות. אפשר לבנות ____ קבוצות זהות, ובכל קבוצה ____ בנים ו-____ בנות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בכיתה 15 בנים ו-10 בנות. אפשר לבנות 5 קבוצות זהות, ובכל קבוצה 3 בנים ו-2 בנות.

הפתרון:

\begin{aligned}15 : 5 &= 3 \quad 10 : 5 \\ &= 2\end{aligned}

5 מחלק את שניהם

מספר הקבוצות הוא המספר שמחלקים בו את שני הצדדים: $15 : 10 = 3 : 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מחלקים 40 ביחס $3 : 2$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה

3 + 2 = 5

40 : 5 = 8

3 \times 8 = 24

2 \times 8 = 18

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2 \times 8 = 18$ → $2 \times 8 = 16$

הפתרון:

2 \times 8 = 16

שתי מנות של 8

הבדיקה תופסת את הטעות: $24 + 18 = 42$ , לא 40.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מיינו: מצומצם עד הסוף, או שאפשר עוד לצמצם?

מצומצם
אפשר לצמצם

$1 : 4$
$10 : 15$
$3 : 2$
$5 : 7$
$6 : 4$
$9 : 12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3 : 2$ — מצומצם · $6 : 4$ — אפשר לצמצם · $5 : 7$ — מצומצם · $9 : 12$ — אפשר לצמצם · $1 : 4$ — מצומצם · $10 : 15$ — אפשר לצמצם

הפתרון:

\begin{aligned}6 : 4 &= 3 : 2 \quad 9 : 12 \\ &= 3 : 4 \quad 10 : 15 \\ &= 2 : 3\end{aligned}

יחס מצומצם עד הסוף כשאין מספר (חוץ מ-1) שמחלק את שני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

צמצמו את היחס $18 : 12$ עד הסוף. מהו הצד הראשון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

18 : 12 = 3 : 2

מחלקים את שניהם ב-6

מי שעצר ב- $9 : 6$ (חילק רק ב-2) עוד לא סיים: 3 מחלק את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מחלקים 45 שקלים בין שני אחים ביחס $4 : 5$ . כמה מקבל החלק הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

4 + 5 = 9

סך המנות

45 : 9 = 5

גודל מנה

5 \times 5 = 25

חמש מנות

בדיקה: $20 + 25 = 45$ . המלכודת: $45 : 5 = 9$ — זה לא החלק, זה חילוק במספר אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

סדרו את שלבי החלוקה של 40 ביחס $3 : 2$

$24 + 16 = 40$ — בדיקה
$3 \times 8 = 24$ ו- $2 \times 8 = 16$
$3 + 2 = 5$ — סך המנות
$40 : 5 = 8$ — מנה אחת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3 + 2 = 5$ — סך המנות · $40 : 5 = 8$ — מנה אחת · $3 \times 8 = 24$ ו- $2 \times 8 = 16$ · $24 + 16 = 40$ — בדיקה

הפתרון:

5 \to 8 \to 24, 16 \to 40

מנות, מנה, חלקים, בדיקה

קודם סופרים את המנות. רק אחר כך מחלקים את הכמות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

השלימו את הטבלה

מה מחלקים	סך המנות	מנה אחת	החלק הראשון	החלק השני
60 ביחס $2 : 3$	____	____	____	____
28 ביחס $3 : 4$	____	____	____	____
36 ביחס $1 : 5$	____	____	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60 ביחס $2 : 3$ : 5, 12, 24, 36 · 28 ביחס $3 : 4$ : 7, 4, 12, 16 · 36 ביחס $1 : 5$ : 6, 6, 6, 30

הפתרון:

\begin{aligned}60 : 5 &= 12 \quad 28 : 7 \\ &= 4 \quad 36 : 6 \\ &= 6\end{aligned}

מנה אחת בכל שורה

בכל שורה אותו מהלך: סך המנות, מנה אחת, ואז כל צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

בשקית 36 גולות, אדומות וכחולות ביחס $1 : 2$ . כמה גולות אדומות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 12

הפתרון:

1 + 2 = 3

סך המנות

36 : 3 = 12

לאדומות מנה אחת

18 הוא המלכודת: $1 : 2$ אינו «חצי-חצי». האדומות הן שליש מכל הגולות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מה זה יחס

איך מוציאים את היחס

צמצום יחס

חלוקת כמות לפי יחס

לבדוק ולא ליפול

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev