מהו קנה מידה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

על כל מפה כתוב קנה מידה, למשל 1:10,0001 : 10{,}000.

השאלה שכולם שואלים: «אחד לעשרת אלפים של מה?» והתשובה מפתיעה: של שום דבר.

לחצתם על «מ״מ» במקום «ס״מ». האם המפה השתנתה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. רק המילים שמתחת למפה השתנו: מילימטר אחד על המפה הוא 10,000 מילימטר במציאות.

שלוש קריאות, כולן נכונות

1 ס״מ→10,000 ס״מ1\ \text{ס״מ} \rightarrow 10{,}000\ \text{ס״מ}

סנטימטר אחד על המפה הוא 10,000 סנטימטר במציאות — כלומר 100 מטר.

1 מ״מ→10,000 מ״מ1\ \text{מ״מ} \rightarrow 10{,}000\ \text{מ״מ}

מילימטר אחד על המפה הוא 10,000 מילימטר — כלומר 10 מטר.

1 ק״מ→10,000 ק״מ1\ \text{ק״מ} \rightarrow 10{,}000\ \text{ק״מ}

ואפילו קילומטר אחד «על המפה» הוא 10,000 קילומטר. מפה כזו לא קיימת — אבל היחס נכון.

ולמה ליחס אין יחידה?

כתבנו 1:10,0001 : 10{,}000 בלי יחידה. זו לא שכחה.

בכל אחת משלוש הקריאות, היחידה בשני הצדדים היא אותה יחידה: ס״מ מול ס״מ, מ״מ מול מ״מ.

ולכן היחס יוצא אותו מספר, בכל יחידה שנבחר.

קנה מידה = היחס שרטוט : מציאות, תמיד בסדר הזה — ולכן הוא מספר בלי יחידה

זה בדיוק כמו לומר «אבא גבוה פי שניים מהילד». לא אומרים «פי שניים סנטימטרים» — כי «פי שניים» הוא יחס, לא מידה. אותו דבר בקנה מידה.

בקנה מידה 1:5001 : 500 — אם נמדוד את השרטוט במילימטרים, מה יהיה קנה המידה?

להציג את התשובה והפתרון

עדיין 1:5001 : 500. מילימטר אחד על השרטוט יהיה 500 מילימטר במציאות. היחס לא משתנה — רק היחידה שבחרנו למדוד בה, והיא מתבטלת בשני הצדדים.

הכלל היחיד שצריך לזכור הוא על מיקום:

דף:מציאות\text{דף} \quad : \quad \text{מציאות}

המספר הראשון הוא תמיד מה שמופיע על המפה או על התצלום. המספר שאחרי הנקודתיים הוא תמיד המציאות. אין קנה מידה שבו זה הפוך.

מהמפה למציאות — צעד אחר צעד

השאלה הראשונה בכל תרגיל: המספר הזה — על המפה או במציאות?

ברגע שיודעים, כל השאר הוא כפל אחד.

שימו לב שההמרה ליחידות (ס״מ ← מטר ← ק״מ) היא שלב נפרד לגמרי, ובאה רק אחרי שסיימנו עם קנה המידה. ערבוב שני השלבים הוא מקור הטעויות הגדול בפרק.

הטעות שנולדת מהחיפוש אחרי יחידה.

1:10,000=1 ס״מ:10,000 ק״מ1 : 10{,}000 = 1\ \text{ס״מ} : 10{,}000\ \text{ק״מ}
1 ס״מ:10,000 ס״מ1\ \text{ס״מ} : 10{,}000\ \text{ס״מ}

אותה יחידה בשני הצדדים, תמיד. ברגע שמערבבים סנטימטר עם קילומטר, היחס כבר לא 1:10,000 אלא משהו אחר לגמרי.

ולכן, אחרי שמחשבים, ממירים לפי הצורך: 10,00010{,}000 ס״מ הם 100100 מטר, כי במטר יש 100100 ס״מ. ההמרה נעשית בסוף, לא בתוך היחס.

על מפה 1:10,0001 : 10{,}000 מדדנו 3 ס״מ. כמה מטרים במציאות?

להציג את התשובה והפתרון

300 מטר. 3×10,000=30,0003 \times 10{,}000 = 30{,}000 ס״מ, ובמטר יש 100 ס״מ.

כמה מציאות נכנסת בדף?

על דף באותו גודל אפשר לצייר חצר, שכונה או עיר שלמה.

מה שמחליט הוא המספר שאחרי הנקודתיים.

1:1001 : 100

מספר קטן: מעט שטח, הרבה פרטים. תוכנית של חדר.

1:100,0001 : 100{,}000

מספר גדול: הרבה שטח, מעט פרטים. מפת דרכים.

באיזו מפה תיכנס כל ישראל לדף אחד: 1:1,0001 : 1{,}000 או 1:2,000,0001 : 2{,}000{,}000?

להציג את התשובה והפתרון

1:2,000,0001 : 2{,}000{,}000. ישראל ארוכה כ-470 ק״מ, והם 23.5 ס״מ על הדף. ב-1:1,0001 : 1{,}000 הדף היה צריך להיות ארוך 470 מטר!

תרגילים

תרגיל 1

בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000, מה מייצג המספר הראשון?

  1. את מה שיש על המפה
  2. את גודל המפה בס״מ
  3. את מספר הקילומטרים
  4. את המציאות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א את מה שיש על המפה

הפתרון:

מפה:מציאות\text{מפה} : \text{מציאות}

זה הסדר, תמיד

המספר שאחרי הנקודתיים הוא תמיד המציאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזו יחידה שייכת לקנה המידה 1:10,0001 : 10{,}000?

  1. קילומטרים בלבד
  2. מטרים בלבד
  3. אף יחידה
  4. סנטימטרים בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אף יחידה

הפתרון:

1 ס״מ:10,000 ס״מ1\ \text{ס״מ} : 10{,}000\ \text{ס״מ}

קריאה אחת

1 מ״מ:10,000 מ״מ1\ \text{מ״מ} : 10{,}000\ \text{מ״מ}

וקריאה אחרת, נכונה בדיוק כמוה

זה בדיוק מה שהאנימציה מראה: משנים יחידה והמפה לא זזה. היחס נכון בכל יחידה, כל עוד היא זהה בשני הצדדים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

קנה מידה 10:110 : 1 מתאים לשרטוט של:

  1. עיר
  2. מדינה
  3. חרק או רכיב זעיר — השרטוט גדול מהמציאות
  4. זה לא קנה מידה חוקי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג חרק או רכיב זעיר — השרטוט גדול מהמציאות

הפתרון:

10:110 : 1

עשרה על השרטוט מול אחד במציאות

המספר הראשון הוא השרטוט — גם כשהוא הגדול מבין השניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בקנה מידה 1:10,000 — כמה מטרים במציאות מייצג סנטימטר אחד על המפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

1 ס״מ→10,000 ס״מ1\ \text{ס״מ} \rightarrow 10{,}000\ \text{ס״מ}

אותה יחידה בשני הצדדים

10,000:100=100 מטר10{,}000 : 100 = 100\ \text{מטר}

וממירים למטרים

ההמרה באה אחרי היחס, לא בתוכו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

קנה מידה 1:1,0001 : 1{,}000. המרחק בין שני מבנים על השרטוט הוא 5 ס״מ. מה המרחק במציאות, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

5×1,000=5,0005 \times 1{,}000 = 5{,}000

מהשרטוט למציאות — כופלים. מקבלים סנטימטרים

5,000:100=505{,}000 : 100 = 50

וממירים למטרים

שני שלבים נפרדים: קודם קנה המידה, ורק אחר כך ההמרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

קנה מידה 1:5001 : 500. על השרטוט 8 ס״מ. מה המרחק במציאות, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

8×500=4,0008 \times 500 = 4{,}000

סנטימטרים במציאות

4,000:100=404{,}000 : 100 = 40

למטרים

שימו לב שה-8 היה על השרטוט, ולכן הוא נכנס באותו טור עם ה-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

קנה מידה 1:2001 : 200. על השרטוט 12 ס״מ. מה המרחק במציאות, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

12×200=2,40012 \times 200 = 2{,}400

ס״מ

2,400:100=242{,}400 : 100 = 24

מטרים

קנה מידה קטן יותר — מרחק אמיתי קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

קנה מידה 1:25,0001 : 25{,}000. על המפה 4 ס״מ. מה המרחק במציאות, בקילומטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

4×25,000=100,0004 \times 25{,}000 = 100{,}000

ס״מ

100,000:100=1,000100{,}000 : 100 = 1{,}000

מטרים

1,000:1,000=11{,}000 : 1{,}000 = 1

קילומטר אחד

כאן שתי המרות: ס״מ ← מטר ← ק״מ. כל אחת בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

קנה מידה 1:1001 : 100. על השרטוט 7 ס״מ. כמה מטרים במציאות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

7×100=7007 \times 100 = 700

ס״מ

700:100=7700 : 100 = 7

מטרים

בקנה מידה 1:100 המספר בסנטימטרים על השרטוט שווה בדיוק למטרים במציאות — קיצור נוח לזכור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

קנה מידה 1:501 : 50 (שרטוט של רהיט). על השרטוט 3 ס״מ. כמה סנטימטרים במציאות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

3×50=1503 \times 50 = 150

כופלים בקנה המידה

כאן לא צריך להמיר בכלל — השאלה ביקשה סנטימטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

קנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000. על המפה 15 ס״מ. כמה ק״מ במציאות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

15×10,000=150,00015 \times 10{,}000 = 150{,}000

ס״מ

:100,000=1.5: 100{,}000 = 1.5

ישירות לק״מ — כי בקילומטר יש 100,000 ס״מ

אפשר גם בשני שלבים: 1,500 מטר, ואז 1.5 ק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ובכיוון ההפוך: קנה מידה 1:2,0001 : 2{,}000, והמרחק במציאות הוא 600 מטר. מה אורכו על השרטוט, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

600 מטר=60,000 ס״מ600 \ \text{מטר} = 60{,}000 \ \text{ס״מ}

קודם מביאים לאותה יחידה

60,000:2,000=3060{,}000 : 2{,}000 = 30

ומהמציאות לשרטוט — מחלקים

מהמציאות אל השרטוט מחלקים, ולא כופלים. וההמרה באה לפני החילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

קנה מידה 1:50,0001 : 50{,}000, והמרחק במציאות 3 ק״מ. מה אורכו על המפה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3 ק״מ=300,000 ס״מ3 \ \text{ק״מ} = 300{,}000 \ \text{ס״מ}

ממירים קודם

300,000:50,000=6300{,}000 : 50{,}000 = 6

ומחלקים בקנה המידה

שוב: המרה ראשונה, קנה מידה אחריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

על שרטוט חדר, קיר באורך 4 ס״מ מייצג קיר אמיתי באורך 20 מטר. מהו המספר בקנה המידה 1:□1 : \square?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 500

הפתרון:

20 מטר=2,000 ס״מ20 \ \text{מטר} = 2{,}000 \ \text{ס״מ}

אותה יחידה בשני הצדדים

2,000:4=5002{,}000 : 4 = 500

פי כמה המציאות גדולה מהשרטוט

קנה המידה הוא פי כמה — ולכן מחלקים את המציאות בשרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בתרגיל נתון «5 ס״מ». איך יודעים אם זה על המפה או במציאות?

  1. תמיד על המפה
  2. לפי הניסוח
  3. לא משנה, החישוב זהה
  4. תמיד במציאות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לפי הניסוח

הפתרון:

מפה→מציאות:×\text{מפה} \rightarrow \text{מציאות} : \times

מהמפה למציאות — כופלים

מציאות→מפה::\text{מציאות} \rightarrow \text{מפה} : :

ומהמציאות למפה — מחלקים

זה משנה מאוד: כפל או חילוק. לכן מסמנים תמיד את שני הטורים לפני שמחשבים. «על המפה» או «במציאות». זו השאלה הראשונה שצריך לענות עליה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

קנה מידה 1:5,0001 : 5{,}000. תלמיד חישב 5,000:250=0.055{,}000 : 250 = 0.05 ס״מ עבור 250 מטר במציאות. איפה הטעות?

  1. אין טעות
  2. הוא היה צריך לכפול ולא לחלק
  3. קנה המידה שגוי
  4. הוא לא המיר את המטרים לסנטימטרים לפני החישוב
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הוא לא המיר את המטרים לסנטימטרים לפני החישוב

הפתרון:

250 מטר=25,000 ס״מ250 \ \text{מטר} = 25{,}000 \ \text{ס״מ}

קודם המרה

25,000:5,000=525{,}000 : 5{,}000 = 5

ואז חילוק — 5 ס״מ

שני הצדדים של היחס חייבים להיות באותה יחידה לפני החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000, מילימטר אחד על המפה הוא 10,000 מילימטר במציאות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1 מ״מ→10,000 מ״מ1 \text{ מ״מ} \rightarrow 10{,}000 \text{ מ״מ}

אותה יחידה בשני הצדדים

נכון. היחס נכון בכל יחידה, כל עוד היא אותה יחידה בשני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מקטין או מגדיל?

  • מקטין
  • מגדיל
  • 1:100,0001 : 100{,}000
  • 1:501 : 50
  • 1:5001 : 500
  • 20:120 : 1
  • 3:13 : 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1:5001 : 500 — מקטין · 20:120 : 1 — מגדיל · 1:501 : 50 — מקטין · 3:13 : 1 — מגדיל · 1:100,0001 : 100{,}000 — מקטין

הפתרון:

20:120 : 1

המספר הראשון, הדף, הוא הגדול

המספר הראשון הוא תמיד הדף. כשהוא הגדול — הדף מגדיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

דגם של אוטובוס באורך 10 ס״מ. האוטובוס האמיתי באורך 12 מטר. מהו המספר בקנה המידה 1:□1 : \square?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

12 מטר=1,200 ס״מ12 \text{ מטר} = 1{,}200 \text{ ס״מ}

קודם אותה יחידה

1,200:10=1201{,}200 : 10 = 120

פי כמה האוטובוס גדול מהדגם

מי שלא ממיר מקבל 12:1012 : 10 — מספר שאין בו שום היגיון. קודם אותה יחידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

בקנה מידה 1:1,0001 : 1{,}000 — התאימו כל מידה על המפה למידה במציאות

  • 1 ס״מ
  • 1 מ״מ
  • 10 ס״מ
  • 1 מטר
  • 1 מטר
  • 1 ק״מ
  • 10 מטר
  • 100 מטר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1 ס״מ — 10 מטר · 1 מ״מ — 1 מטר · 10 ס״מ — 100 מטר · 1 מטר — 1 ק״מ

הפתרון:

1 ס״מ→1,000 ס״מ=10 מטר1 \text{ ס״מ} \rightarrow 1{,}000 \text{ ס״מ} = 10 \text{ מטר}

כל מידה כפול 1,000, באותה יחידה

כופלים ב-1,000 באותה יחידה, ורק אחר כך ממירים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שורה אחת שגויה — מצאו אותה (קנה מידה 1:5001 : 500, על המפה 6 ס״מ)

6×500=3,000 ס״מ6 \times 500 = 3{,}000 \text{ ס״מ}
3,000 ס״מ=3 מטר3{,}000 \text{ ס״מ} = 3 \text{ מטר}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3,000 ס״מ=3 מטר3{,}000 \text{ ס״מ} = 3 \text{ מטר} → 3,000 ס״מ=30 מטר3{,}000 \text{ ס״מ} = 30 \text{ מטר}

הפתרון:

3,000:100=303{,}000 : 100 = 30

במטר יש 100 ס״מ, לא 1,000

ההמרה ס״מ ← מטר מחלקת ב-100. חילוק ב-1,000 מתאים למטר ← ק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

סדרו את שלבי הפתרון של תרגיל קנה מידה

  • כופלים או מחלקים בקנה המידה
  • מחליטים: המספר הוא על המפה או במציאות?
  • ממירים ליחידה שהשאלה מבקשת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחליטים: המספר הוא על המפה או במציאות? · כופלים או מחלקים בקנה המידה · ממירים ליחידה שהשאלה מבקשת

הפתרון:

× או :\times \ \text{או} \ :

הכפל או החילוק — אחרי שיודעים את הכיוון

ההמרה באה בסוף, אחרי קנה המידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

דף ברוחב 6 ס״מ, וקנה המידה 1:10,0001 : 10{,}000. כמה מטרים במציאות מכסה רוחב הדף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 600

הפתרון:

6×10,000=60,000 ס״מ6 \times 10{,}000 = 60{,}000 \text{ ס״מ}

מהדף למציאות — כופלים

60,000:100=60060{,}000 : 100 = 600

ולמטרים

600 מטר — שכונה שלמה. ב-1:1,0001 : 1{,}000 אותו דף היה מכסה רק 60 מטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

על דפים באותו גודל, במפה 1:1,0001 : 1{,}000 רואים יותר פרטים מאשר במפה 1:100,0001 : 100{,}000.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1 ס״מ→10 מטר1 \text{ ס״מ} \rightarrow 10 \text{ מטר}

ב-1:1,0001 : 1{,}000

1 ס״מ→1 ק״מ1 \text{ ס״מ} \rightarrow 1 \text{ ק״מ}

ב-1:100,0001 : 100{,}000

נכון. מספר קטן — מעט שטח, אבל כל ס״מ מראה רק 10 מטר, ולכן רואים בית ומכונית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

קנה מידה 1:2,0001 : 2{,}000, ועל המפה 7 ס״מ. השלימו:

במציאות ____ ס״מ, שהם ____ מטר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במציאות 14000 ס״מ, שהם 140 מטר

הפתרון:

7×2,000=14,0007 \times 2{,}000 = 14{,}000

קודם קנה המידה

14,000:100=14014{,}000 : 100 = 140

ואז ההמרה

שני שלבים, כל אחד בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

קנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000. השלימו את הטבלה.

על המפה (ס״מ)במציאות (מטר)
1____
2____
5____
15____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1: 100 · 2: 200 · 5: 500 · 15: 1500

הפתרון:

1 ס״מ→10,000 ס״מ=100 מטר1 \text{ ס״מ} \rightarrow 10{,}000 \text{ ס״מ} = 100 \text{ מטר}

כל ס״מ על המפה הוא 100 מטר

אחרי השורה הראשונה, כל השאר הוא כפל ב-100.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת