חישובים עם קנה מידה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ברגע שיודעים מי המפה ומי המציאות, יש רק שתי פעולות. אף פעם לא צריך לנחש איזו.

\times

ממפה למציאות — בקנה מידה $1 : n$ כופלים ב- $n$ .

:

ממציאות למפה — בקנה מידה $1 : n$ מחלקים ב- $n$ .

בדיקת היגיון שתופסת כמעט כל טעות: במפה בקנה מידה $1 : n$ המציאות גדולה פי $n$ מהמפה. אם יצא לכם שהמרחק האמיתי קטן מהמרחק על המפה — הפעולה הפוכה.

ההמרה שנשכחת באמצע.

250 : 5{,}000 = 0.05\ \text{ס״מ}

25{,}000 : 5{,}000 = 5\ \text{ס״מ}

חילקו מטרים בקנה מידה בלי להמיר קודם לסנטימטרים. שני הצדדים של היחס חייבים להיות באותה יחידה לפני החישוב.

בקנה מידה 1:100, כמה מטרים מייצג ס״מ אחד בשרטוט?

להציג את התשובה והפתרון

מטר אחד. ס״מ בשרטוט = 100 ס״מ במציאות = מטר.

על מפה 1:50,000 המרחק 3 ס״מ. מה המרחק האמיתי?

להציג את התשובה והפתרון

1.5 ק״מ. $3 \times 50{,}000 = 150{,}000$ ס״מ, שהם 1,500 מטר.

מודדים בסרגל

על מפה אמיתית אף אחד לא כותב את המרחק. מודדים אותו בסרגל.

על המפה הזאת, מה המרחק האמיתי של 4 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

1 ק״מ. $4 \times 25{,}000 = 100{,}000$ ס״מ, כלומר קילומטר אחד.

קנה מידה מגדיל

לא כל קנה מידה מקטין.

בשרטוט של רכיב זעיר, כמו שבב או חרק, כותבים $10 : 1$ : עשרה על השרטוט מול אחד במציאות.

בקנה מידה מגדיל, מהשרטוט למציאות מחלקים במספר הראשון. למשל, בציור $10 : 1$ קטע של 6 ס״מ הוא $6 : 10 = 0.6$ ס״מ במציאות.

בציור $5 : 1$ נמלה ארוכה 4 ס״מ. כמה היא ארוכה באמת?

להציג את התשובה והפתרון

0.8 ס״מ. הציור גדול פי 5, ולכן $4 : 5 = 0.8$ .

תרגילים

להכיר

תרגיל 1

על מפה בקנה מידה $1:10{,}000$ המרחק בין שתי נקודות הוא 3 ס״מ. מהו המרחק במציאות, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

3 \times 10{,}000 = 30{,}000 \ \text{ס"מ}

קודם במציאות בס״מ

30{,}000 : 100 = 300 \ \text{מ}

ואז ממירים למטרים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מה אומר קנה מידה של $1:1{,}000$ ?

כל ס״מ במפה הוא 1,000 ס״מ במציאות
המרחק במציאות הוא ק״מ אחד
המפה גדולה פי 1,000 מהמציאות
במפה יש 1,000 ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כל ס״מ במפה הוא 1,000 ס״מ במציאות

הפתרון:

היחס תמיד קורא: יחידה אחת במפה = כך-וכך יחידות במציאות. באותן יחידות!

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המרחק האמיתי בין שני כפרים הוא 4.5 ק״מ. כמה ס״מ הוא על מפה בקנה מידה $1 : 50{,}000$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

4.5 \text{ ק״מ} = 450{,}000 \text{ ס״מ}

קודם לאותה יחידה

450{,}000 : 50{,}000 = 9

מהמציאות למפה — מחלקים

9 ס״מ. ההמרה באה לפני החילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כדי לעבור מהמציאות אל המפה, כופלים בקנה המידה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\text{מציאות} \rightarrow \text{מפה} \quad : n

המפה קטנה מהמציאות

לא נכון. מהמציאות למפה מחלקים; כופלים רק בדרך ההפוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 5

במציאות המרחק 600 מטר. בקנה מידה $1:20{,}000$ — כמה ס״מ במפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

600 \ \text{מ} = 60{,}000 \ \text{ס"מ}

קודם לס״מ

60{,}000 : 20{,}000 = 3

ואז מחלקים ביחס

הכיוון ההפוך: מהמציאות אל המפה מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סדרו את שלבי החישוב ממפה למציאות

כופלים בקנה המידה
מודדים את המרחק במפה בס״מ
ממירים למטרים או לק״מ
מקבלים ס״מ במציאות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מודדים את המרחק במפה בס״מ · כופלים בקנה המידה · מקבלים ס״מ במציאות · ממירים למטרים או לק״מ

הפתרון:

ההמרה בסוף — אחרי הכפל, לא לפניו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו כל קנה מידה למשמעותו

$1:100$
$1:100{,}000$
$1:1$
$1:10$

גודל אמיתי
ס״מ במפה = 10 ס״מ במציאות
ס״מ במפה = מטר במציאות
ס״מ במפה = ק״מ במציאות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1:100$ — ס״מ במפה = מטר במציאות · $1:100{,}000$ — ס״מ במפה = ק״מ במציאות · $1:1$ — גודל אמיתי · $1:10$ — ס״מ במפה = 10 ס״מ במציאות

הפתרון:

$1:100{,}000$ — קנה המידה של מפות הארץ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במפה בקנה מידה $1:100{,}000$ רואים שטח גדול יותר מאשר במפה בקנה מידה $1:1{,}000$ (על אותו דף)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

ככל שהמספר גדול, כל ס״מ «בולע» יותר מציאות — רואים יותר, בפחות פירוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

על מפה בקנה מידה $1 : 25{,}000$ מדדו 6 ס״מ בין בית הספר לספרייה. כמה ק״מ במציאות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

6 \times 25{,}000 = 150{,}000 \text{ ס״מ}

מהמפה למציאות — כופלים

150{,}000 : 100{,}000 = 1.5

בקילומטר יש 100,000 ס״מ

1.5 ק״מ. מי שמחלק ב-1,000 בלבד מקבל 150 — ושוכח את שלב המטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בציור מגדיל בקנה מידה $10 : 1$ חיפושית ארוכה 7 ס״מ. מה אורכה האמיתי, במ״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

7 \text{ ס״מ} = 70 \text{ מ״מ}

קודם למילימטרים

70 : 10 = 7

הציור גדול פי 10 — מחלקים

7 מ״מ. בציור מגדיל, מהשרטוט למציאות מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

קנה המידה של ציור הוא $20 : 1$ . מה נכון?

זה לא קנה מידה
המציאות גדולה פי 20 מהציור
הציור גדול פי 20 מהמציאות
כל ס״מ בציור הוא 20 ס״מ במציאות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הציור גדול פי 20 מהמציאות

הפתרון:

20 : 1

המספר הראשון הוא הציור, והוא הגדול

20 על הציור מול 1 במציאות: הציור מגדיל פי 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לשחק ולבדוק

תרגיל 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה (קנה מידה $1:10{,}000$ )

2 \ \text{ס"מ} \to 200 \ \text{מ}

5 \ \text{ס"מ} \to 50 \ \text{מ}

10 \ \text{ס"מ} \to 1 \ \text{ק"מ}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $5 \ \text{ס"מ} \to 50 \ \text{מ}$ → $5 \ \text{ס"מ} \to 500 \ \text{מ}$

הפתרון:

$5 \times 10{,}000 = 50{,}000$ ס״מ — חצי קילומטר, לא 50 מטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

איזה קנה מידה מתאים לכל צורך?

מפת ארץ שלמה
תוכנית של דירה

$1:100$
$1:250{,}000$
$1:50$
$1:500{,}000$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1:500{,}000$ — מפת ארץ שלמה · $1:50$ — תוכנית של דירה · $1:250{,}000$ — מפת ארץ שלמה · $1:100$ — תוכנית של דירה

הפתרון:

דירה דורשת פירוט — מספר קטן. ארץ דורשת מרחב — מספר ענק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

קנה מידה $1:25{,}000$ , מרחק במפה 4 ס״מ

במציאות: ____ ס״מ, שהם ____ מטר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במציאות: 100000 ס״מ, שהם 1000 מטר

הפתרון:

קילומטר שלם — מארבעה סנטימטרים על הנייר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

על מפה בקנה מידה $1:100{,}000$ המרחק בין שתי ערים הוא 8 ס״מ. מה המרחק האמיתי בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

8 \times 100{,}000 = 800{,}000 \ \text{ס״מ}

מהמפה למציאות — כופלים

800{,}000 : 100{,}000 = 8 \ \text{ק״מ}

ומהסנטימטרים לקילומטרים

שתי פעולות: קודם קנה המידה, ואחר כך המרת יחידות. אסור לערבב אותן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

קנה מידה $1 : 20{,}000$ . השלימו את הטבלה.

על המפה (ס״מ)	במציאות (מטר)
2	____
____	1,000
7.5	____
____	2,000

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2: 400 · 7.5: 1500

הפתרון:

1 \text{ ס״מ} \rightarrow 20{,}000 \text{ ס״מ} = 200 \text{ מטר}

כל ס״מ הוא 200 מטר

1{,}000 : 200 = 5

ובכיוון ההפוך מחלקים ב-200

ס״מ אחד = 200 מטר. משם — כפל אל המציאות, חילוק אל המפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

על מפה, 5 ס״מ מייצגים 2 ק״מ במציאות. מהו המספר בקנה המידה $1 : \square$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40000

הפתרון:

2 \text{ ק״מ} = 200{,}000 \text{ ס״מ}

אותה יחידה בשני הצדדים

200{,}000 : 5 = 40{,}000

פי כמה המציאות גדולה

$1 : 40{,}000$ . בלי ההמרה יוצא $2 : 5$ — שבר, לא קנה מידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

כופלים או מחלקים בקנה המידה?

כופלים
מחלקים

במציאות 2 ק״מ. כמה על המפה?
דגם של מגדל בגובה 20 ס״מ. מה גובה המגדל?
חדר ארוך 4 מטר. כמה ס״מ בתוכנית?
על המפה 3 ס״מ. כמה במציאות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: על המפה 3 ס״מ. כמה במציאות? — כופלים · במציאות 2 ק״מ. כמה על המפה? — מחלקים · דגם של מגדל בגובה 20 ס״מ. מה גובה המגדל? — כופלים · חדר ארוך 4 מטר. כמה ס״מ בתוכנית? — מחלקים

הפתרון:

\text{מפה} \rightarrow \text{מציאות} \quad \times

אל המציאות — כופלים

\text{מציאות} \rightarrow \text{מפה} \quad :

אל המפה — מחלקים

שואלים: הנתון על המפה או במציאות? משם הפעולה ברורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת