המודל הקווי · מודלים קוויים ומעריכיים · כיתה י״א

חברת מוניות גובה $12$ ש״ח ברגע שנכנסים, ועוד $4$ ש״ח לכל קילומטר. הסתכלו על הגרף לפני כל נוסחה: איפה הוא מתחיל, ובכמה הוא עולה בכל צעד?

מחיר נסיעה במונית

הגרף לא מתחיל באפס: ברגע שנכנסים למונית המחיר כבר

12

ש״ח. מכאן כל קילומטר מוסיף אותם

4

ש״ח, ולכן הגרף הוא קו ישר.

לפי הגרף: כמה עולה נסיעה של $5$ ק״מ? ולמה הגרף לא יוצא מהנקודה $(0,\,0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$32$ ש״ח: $12+4 \cdot 5=32$ . הגרף מתחיל בגובה $12$ כי את דמי הפתיחה משלמים גם כשלא נוסעים אף קילומטר. זה הערך ההתחלתי.

שני המספרים של המודל הקווי

y = m \cdot x + b

m

קצב השינוי: בכמה $y$ משתנה כאשר $x$ גדל ב- $1$ . מחיר לקילומטר, לדקה, לשיעור.

b

הערך ההתחלתי: הערך של $y$ כאשר $x=0$ . דמי פתיחה, דמי מנוי, הסכום שבקופה בהתחלה.

m<0

הכמות יורדת בכל צעד: דלק שנגמר, יתרה בכרטיס נסיעות, כסף שיוצא מהקופה.

במונית: $m=4$ ו- $b=12$ , ולכן $y=4x+12$ . בבגרות כותבים לעתים באותה משמעות $y=12+4x$ : הסדר לא משנה, המספרים כן.

מטבלה למשוואה

השכרת אופניים חשמליים

מספר שעות	1	2	3	4
מחיר (ש״ח)	25	35	45	55

בכל שעה נוספת המחיר עולה ב-

10

ש״ח בדיוק.

ההפרש בין שתי עמודות סמוכות קבוע: $10$ . זה $m$ . כדי למצוא את $b$ חוזרים צעד אחד אחורה, אל $x=0$ : $25-10=15$ . לכן $y=10x+15$ .

כמה עולה השכרה של $7$ שעות?

להציג את התשובה והפתרון

$85$ ש״ח: $10 \cdot 7+15=85$ . מי שכתב $25+10 \cdot 7=95$ לקח את המחיר של שעה אחת בתור הערך ההתחלתי.

משתי נקודות למשוואה

כשנתונים שני מצבים, קצב השינוי הוא השינוי ב- $y$ חלקי השינוי ב- $x$ . אחר כך מציבים נקודה אחת ומוצאים את $b$ .

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

קופת הכיתה

בקופת הכיתה נאסף כל חודש אותו סכום. אחרי $2$ חודשים היו בקופה $1100$ ש״ח, ואחרי $5$ חודשים $1550$ ש״ח. כמה כסף היה בקופה בהתחלה?

\begin{aligned}m &= \frac{1550 - 1100}{5 - 2} \\ &= \frac{450}{3} \\ &= 150\end{aligned}

בכל חודש נכנסים 150 ש״ח

1100 = 150 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה (2, 1100)

\begin{aligned}b &= 1100 - 300 \\ &= 800\end{aligned}

הערך ההתחלתי

y = 150x + 800

מסקנה: בהתחלה היו בקופה 800 ש״ח, ובכל חודש נוספו 150 ש״ח

לפני שכותבים משוואה, כתבו במילים מה $x$ ומה $y$ , עם יחידות: « $x$ — מספר החודשים, $y$ — הסכום בקופה בש״ח». חצי מהטעויות בשאלה הזאת הן בלבול בין השניים.

שלוש הטעויות של המודל הקווי.

y = 25 + 10x

y = 15 + 10x

$25$ הוא המחיר של שעה אחת, לא של אפס שעות. הערך ההתחלתי הוא $y$ ב- $x=0$ .

\begin{aligned}m &= \frac{1550}{5} \\ &= 310\end{aligned}

\begin{aligned}m &= \frac{1550 - 1100}{5 - 2} \\ &= 150\end{aligned}

חילוק של הסכום הכולל ב- $x$ מתעלם מהערך ההתחלתי. קצב שינוי הוא שינוי חלקי שינוי.

y = 60 + 6x

y = 60 - 6x

טרקטור שצורך $6$ ליטר בשעה: הכמות יורדת, ולכן השיפוע שלילי.

תרגילים

תרגיל 1

בחוג שחייה משלמים דמי רישום של $120$ ש״ח, ועוד $80$ ש״ח לכל חודש. איזה ביטוי מתאר את המחיר $y$ (בש״ח) של $x$ חודשים?

$y = 200x$
$y = 80 + 120x$
$y = 120 + 80x$
$y = 120x - 80$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y = 120 + 80x$

הפתרון:

b = 120

דמי הרישום: משלמים אותם פעם אחת, גם ב-x=0

m = 80

בכל חודש המחיר עולה ב-80

הנכונה: $y=120+80x$ . $y=80+120x$ מחליפה בין התשלום הקבוע לקצב. $y=200x$ משלמת את דמי הרישום מחדש בכל חודש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשמלאי גובה $150$ ש״ח על ההגעה, ועוד $90$ ש״ח לכל שעת עבודה. כמה ישלם לקוח על עבודה של $3$ שעות (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 420

הפתרון:

y = 150 + 90x

הביטוי

\begin{aligned}y &= 150 + 90 \cdot 3 \\ &= 420\end{aligned}

מציבים x=3

הלקוח ישלם $420$ ש״ח. מי שענה $270$ שכח את דמי ההגעה, שמשלמים גם על שעה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

השכרת רכב

מספר ימים	1	2	3	4
מחיר (ש״ח)	260	380	500	620

בטבלה מחירי השכרה של רכב. המחיר הוא מודל קווי של מספר הימים. השלימו.

קצב השינוי: ____ ש״ח ליום , הערך ההתחלתי: ____ ש״ח

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קצב השינוי: 120 ש״ח ליום , הערך ההתחלתי: 140 ש״ח

הפתרון:

380 - 260 = 120

ההפרש בין ימים סמוכים

260 - 120 = 140

צעד אחד אחורה, אל x=0

y = 140 + 120x

המשוואה

הערך ההתחלתי הוא $140$ , לא $260$ : $260$ הוא המחיר של יום אחד. $140$ הוא החלק הקבוע של המחיר, למשל ביטוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

דלק במיכל של טרקטור

בגרף: כמות הדלק במיכל של טרקטור לפי שעות העבודה. כמה ליטרים צורך הטרקטור בכל שעה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{36 - 60}{4 - 0} \\ &= -6\end{aligned}

קצב השינוי

y = 60 - 6x

המשוואה

הטרקטור צורך $6$ ליטר בשעה. השיפוע $-6$ שלילי כי הכמות יורדת; הצריכה עצמה היא $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיינו: באילו מצבים הכמות היא מודל קווי?

מודל קווי
לא מודל קווי

אוכלוסייה שגדלה ב-5% בכל שנה
חיידקים שמספרם מוכפל בכל שעה
חיסכון שגדל ב-200 ש״ח בכל חודש
מחיר מונית: 12 ש״ח ועוד 4 ש״ח לק״מ
מיכל שמתרוקן 3 ליטר בכל דקה
ערך רכב שיורד ב-10% בכל שנה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חיסכון שגדל ב-200 ש״ח בכל חודש — מודל קווי · מחיר מונית: 12 ש״ח ועוד 4 ש״ח לק״מ — מודל קווי · מיכל שמתרוקן 3 ליטר בכל דקה — מודל קווי · אוכלוסייה שגדלה ב-5% בכל שנה — לא מודל קווי · ערך רכב שיורד ב-10% בכל שנה — לא מודל קווי · חיידקים שמספרם מוכפל בכל שעה — לא מודל קווי

הפתרון:

+200, +200, +200

קווי: מוסיפים אותו סכום

\cdot 1.05, \cdot 1.05

לא קווי: מכפילים באותו מספר

מודל קווי מוסיף סכום קבוע. אחוז קבוע הוא כפל קבוע: התוספת גדלה משנה לשנה, ולכן הגרף אינו ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בקופת ועד הבית נכנס בכל חודש אותו סכום. אחרי $3$ חודשים היו בקופה $2100$ ש״ח, ואחרי $7$ חודשים $3300$ ש״ח. כמה ש״ח היו בקופה בהתחלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1200

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{3300 - 2100}{7 - 3} \\ &= 300\end{aligned}

קצב השינוי

\begin{aligned}2100 &= 300 \cdot 3 + b \ \Rightarrow \ b \\ &= 1200\end{aligned}

מציבים נקודה

בהתחלה היו בקופה $1200$ ש״ח. מי שענה $700$ כתב $2100=300+b$ : הציב $x=1$ במקום $x=3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מלצר מקבל $60$ ש״ח לכל משמרת, ועוד $45$ ש״ח לכל שעת עבודה. טענה: במשמרת של $8$ שעות הוא מרוויח יותר מ- $400$ ש״ח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

60 + 45 \cdot 8 = 420

השכר במשמרת של 8 שעות

420 > 400

משווים

הטענה נכונה: $420$ ש״ח. מי שחישב רק $45 \cdot 8=360$ שכח את התשלום הקבוע למשמרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בחבילת סלולר משלמים $30$ ש״ח לחודש, ועוד $0.25$ ש״ח לכל דקת שיחה. החשבון של מאיה החודש היה $55$ ש״ח. כמה דקות היא דיברה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

30 + 0.25x = 55

המחיר ידוע, x לא ידוע

0.25x = 25

מחסרים את התשלום הקבוע

x = 100

מחלקים ב-0.25

מאיה דיברה $100$ דקות. כאן $y$ נתון ומחפשים את $x$ . מי שענה $220$ חילק את כל $55$ ב- $0.25$ , בלי להוריד קודם את $30$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חברת הובלות גובה סכום קבוע ועוד מחיר לכל ק״מ. הובלה של $3$ ק״מ עולה $400$ ש״ח, והובלה של $6$ ק״מ עולה $580$ ש״ח. תלמיד חיפש את הסכום הקבוע. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}m &= \frac{580 - 400}{6 - 3} \\ &= 60\end{aligned}

400 = b + 60 \cdot 3

\begin{aligned}b &= 400 + 180 \\ &= 580\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $b = 400 + 180 = 580$ → $b = 400 - 180 = 220$

הפתרון:

400 = b + 180

מהשורה השנייה

\begin{aligned}b &= 400 - 180 \\ &= 220\end{aligned}

מעבירים 180 לאגף השני, עם סימן הפוך

הסכום הקבוע הוא $220$ ש״ח. בדיקה: $220+60 \cdot 6=580$ ✓. תשובה של $580$ לא הגיונית: הסכום הקבוע גדול ממחיר ההובלה של $3$ ק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בכרטיס נסיעות נטענו $150$ ש״ח, וכל נסיעה עולה $6$ ש״ח. איזה ביטוי מתאר את היתרה $y$ (בש״ח) אחרי $x$ נסיעות?

$y = 6x - 150$
$y = 150 - 6x$
$y = 150 + 6x$
$y = 144x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = 150 - 6x$

הפתרון:

b = 150

היתרה לפני הנסיעה הראשונה

m = -6

כל נסיעה מורידה 6

הנכונה: $y=150-6x$ . היתרה יורדת, ולכן השיפוע שלילי. $y=150+6x$ היא יתרה שגדלה בכל נסיעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שני המספרים של המודל הקווי

מטבלה למשוואה

משתי נקודות למשוואה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev