השוואת שתי הצעות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

חדר כושר מציע שתי אפשרויות. הצעה א: 3030 ש״ח לכל אימון, בלי מנוי. הצעה ב: מנוי של 120120 ש״ח לחודש, ועוד 1515 ש״ח לכל אימון. איזו זולה יותר? התשובה תלויה במספר האימונים. הסתכלו על הגרף.

שתי הצעות לחדר כושר
(8, 240)0123456789101112060120180240300360אימונים בחודשמחיר (ש״ח)
  • הצעה א: 30 ש״ח לאימון
  • הצעה ב: מנוי 120 ועוד 15 לאימון
משמאל לנקודה (8, 240)(8,\,240) הקו של הצעה א נמוך יותר: היא זולה יותר. מימין לנקודה הקו של הצעה ב נמוך יותר. בנקודה עצמה המחיר שווה.

לפי הגרף: איזו הצעה זולה יותר למי שמתאמן 55 פעמים בחודש? ולמי שמתאמן 1010 פעמים?

להציג את התשובה והפתרון

55 אימונים: א עולה 150150 ו-ב עולה 195195, ולכן א זולה יותר. 1010 אימונים: א עולה 300300 ו-ב עולה 270270, ולכן ב זולה יותר. ההצעה הזולה מתחלפת בנקודת החיתוך.

נקודת השוויון — בחישוב

11

כותבים ביטוי לכל הצעה, עם אותו xx.

22

משווים את שני הביטויים ופותרים. מקבלים את xx של נקודת השוויון.

33

מציבים את xx באחד הביטויים. מקבלים את המחיר המשותף.

44

כותבים משפט מסקנה במילים.

חדר הכושר

באיזה מספר אימונים המחיר של שתי ההצעות שווה, ומהו המחיר?

y=30xy=120+15x\begin{aligned}y &= 30x \qquad y \\ &= 120 + 15x\end{aligned}

הביטויים

30x=120+15x30x = 120 + 15x

משווים

15x=120 ⇒ x=8\begin{aligned}15x &= 120 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

מעבירים את 15x לאגף שמאל

y=30⋅8=240\begin{aligned}y &= 30 \cdot 8 \\ &= 240\end{aligned}

בדיקה בהצעה ב: 120 + 15·8 = 240 ✓

x>8x > 8

מסקנה: ב-8 אימונים שתי ההצעות עולות 240 ש״ח; ביותר מ-8 אימונים בחודש, הצעה ב משתלמת יותר

מה קורה כששני השיפועים שווים? מה זה אומר על שתי הצעות מחיר?

להציג את התשובה והפתרון

הישרים מקבילים, ואין נקודת חיתוך. בשתי ההצעות אותו מחיר ליחידה, ולכן ההצעה עם התשלום הקבוע הקטן תמיד זולה יותר, בכל כמות.

«מאיזה מספר משתלם?»

לפני נקודת השוויון משתלמת ההצעה עם התשלום הקבוע הקטן. אחרי הנקודה משתלמת ההצעה עם המחיר ליחידה הקטן, כלומר השיפוע הקטן. ובבגרות xx הוא בדרך כלל מספר שלם: אימונים, דקות שלמות, שעות חניה.

חניון א גובה 88 ש״ח לשעה. חניון ב גובה 2020 ש״ח בכניסה, ועוד 55 ש״ח לשעה. מאיזה מספר שעות שלמות חניון ב זול יותר?

להציג את התשובה והפתרון

8x=20+5x8x=20+5x נותן x=203≈6.67x=\frac{20}{3} \approx 6.67. חניון ב זול יותר כאשר x>6.67x>6.67, ולכן מ-77 שעות. בדיקה: ב-66 שעות א עולה 4848 ו-ב 5050; ב-77 שעות א 5656 ו-ב 5555 ✓

התשובה בבגרות היא משפט, לא רק מספר: «כאשר מתאמנים יותר מ-88 פעמים בחודש, הצעה ב משתלמת יותר». המשפט אומר מי, מתי, וגם למה.

שלוש הטעויות של «מתי משתלם».

x≈6.67 ⇒ x=6x \approx 6.67 \ \Rightarrow \ x = 6
x=7x = 7

עיגול כלפי מטה מחזיר אותנו לצד הלא נכון של נקודת השוויון. ב-66 שעות חניון ב עוד יקר יותר.

x≥8x \geq 8
x>8x > 8

בנקודה x=8x=8 המחיר שווה, ואף הצעה לא זולה יותר.

x=240x = 240
x=8y=240\begin{aligned}x &= 8 \\ \quad y &= 240\end{aligned}

השאלה «באיזה מספר אימונים» מבקשת את xx. 240240 הוא המחיר, ערך של yy.

תרגילים

תרגיל 1

השכרת קורקינט חשמלי. חברה א: 55 ש״ח לפתיחה, ועוד 11 ש״ח לכל דקה. חברה ב: בלי פתיחה, 1.51.5 ש״ח לכל דקה. השלימו.

המחיר שווה אחרי ____ דקות , והמחיר אז: ____ ש״ח

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המחיר שווה אחרי 10 דקות , והמחיר אז: 15 ש״ח

הפתרון:

5+x=1.5x5 + x = 1.5x

משווים

5=0.5x ⇒ x=10\begin{aligned}5 &= 0.5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

5+10=155 + 10 = 15

המחיר

אחרי 1010 דקות שתי החברות גובות 1515 ש״ח. בנסיעה ארוכה יותר חברה א זולה יותר, כי המחיר שלה לדקה קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גן אירועים א גובה 50005000 ש״ח על האולם, ועוד 150150 ש״ח לכל אורח. גן ב גובה 20002000 ש״ח, ועוד 200200 ש״ח לכל אורח. לאירוע יוזמנו 8080 אורחים. איזה גן זול יותר?

  1. המחיר שווה
  2. גן א, ב-30003000 ש״ח
  3. גן א, ב-10001000 ש״ח
  4. גן ב, ב-10001000 ש״ח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גן א, ב-10001000 ש״ח

הפתרון:

5000+150⋅80=170005000 + 150 \cdot 80 = 17000

גן א

2000+200⋅80=180002000 + 200 \cdot 80 = 18000

גן ב

18000−17000=100018000 - 17000 = 1000

ההפרש

הנכונה: גן א, ב-10001000 ש״ח. גן ב זול יותר רק עד 6060 אורחים. «ב-30003000» משווה רק את דמי האולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם שני גני אירועים (5000+150x5000+150x ו-2000+200x2000+200x): באיזה מספר אורחים המחיר שווה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

5000+150x=2000+200x5000 + 150x = 2000 + 200x

משווים

3000=50x ⇒ x=60\begin{aligned}3000 &= 50x \ \Rightarrow \ x \\ &= 60\end{aligned}

פותרים

5000+9000=14000=2000+12000\begin{aligned}5000 + 9000 &= 14000 \\ &= 2000 + 12000\end{aligned}

בדיקה

ב-6060 אורחים שני הגנים עולים 1400014000 ש״ח. יותר מ-6060 אורחים: גן א משתלם, כי המחיר שלו לאורח נמוך יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חבילת סלולר א: 5050 ש״ח לחודש, דקות ללא הגבלה. חבילה ב: 2020 ש״ח לחודש, ועוד 0.20.2 ש״ח לכל דקה. טענה: למי שמדבר 120120 דקות בחודש, חבילה ב משתלמת יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

20+0.2⋅120=4420 + 0.2 \cdot 120 = 44

חבילה ב

44<5044 < 50

משווים לחבילה א

20+0.2x=50 ⇒ x=150\begin{aligned}20 + 0.2x &= 50 \ \Rightarrow \ x \\ &= 150\end{aligned}

נקודת השוויון

הטענה נכונה: 44<5044<50. חבילה ב משתלמת עד 150150 דקות בחודש. ביותר מ-150150 דקות, חבילה א משתלמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חניון א גובה 1212 ש״ח לשעה. חניון ב גובה 3030 ש״ח בכניסה, ועוד 77 ש״ח לשעה. מאיזה מספר שעות שלמות חניון ב זול יותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

12x=30+7x ⇒ x=6\begin{aligned}12x &= 30 + 7x \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

נקודת השוויון

x=6: 72=72\begin{aligned}x &= 6: \ 72 \\ &= 72\end{aligned}

ב-6 שעות המחיר שווה

x=7: 84>79x = 7: \ 84 > 79

ב-7 שעות חניון ב זול יותר

חניון ב זול יותר מ-77 שעות. מי שענה 66 לא שם לב שב-66 שעות המחיר שווה, ו«זול יותר» פירושו x>6x>6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ספרייה א: מנוי של 4040 ש״ח, ועוד 33 ש״ח לכל ספר. ספרייה ב: מנוי של 2525 ש״ח, ועוד 33 ש״ח לכל ספר. באיזה מספר ספרים המחיר שווה?

  1. ב-55 ספרים
  2. בכל מספר ספרים
  3. אף פעם: ספרייה ב זולה ב-1515 ש״ח בכל כמות
  4. ב-1515 ספרים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אף פעם: ספרייה ב זולה ב-1515 ש״ח בכל כמות

הפתרון:

40+3x=25+3x40 + 3x = 25 + 3x

משווים

40=2540 = 25

ה-x מתבטל ונשארת טענה שקרית

הנכונה: אף פעם. אותו מחיר לספר, כלומר ישרים מקבילים. ההפרש נשאר 1515 ש״ח בכל כמות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חברת הובלות א גובה 200200 ש״ח ועוד 88 ש״ח לק״מ. חברה ב גובה 8080 ש״ח ועוד 1212 ש״ח לק״מ. מיינו את המרחקים לפי החברה הזולה יותר.

  • חברה א זולה יותר
  • חברה ב זולה יותר
  • 10 ק״מ
  • 20 ק״מ
  • 25 ק״מ
  • 35 ק״מ
  • 40 ק״מ
  • 50 ק״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40 ק״מ — חברה א זולה יותר · 50 ק״מ — חברה א זולה יותר · 35 ק״מ — חברה א זולה יותר · 20 ק״מ — חברה ב זולה יותר · 10 ק״מ — חברה ב זולה יותר · 25 ק״מ — חברה ב זולה יותר

הפתרון:

200+8x=80+12x ⇒ x=30\begin{aligned}200 + 8x &= 80 + 12x \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

נקודת השוויון

x=20: 360>320x = 20: \ 360 > 320

מתחת ל-30 ק״מ חברה ב זולה

x=40: 520<560x = 40: \ 520 < 560

מעל 30 ק״מ חברה א זולה

מוצאים פעם אחת את נקודת השוויון, 3030 ק״מ, ומשם כל מרחק מתמיין לבד. מתחת ל-3030 משתלם התשלום הקבוע הקטן; מעל 3030 משתלם המחיר הקטן לק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חוג א עולה 350350 ש״ח לחודש, בכל מספר שיעורים. בחוג ב משלמים 100100 ש״ח דמי רישום, ועוד 5050 ש״ח לכל שיעור. באיזה מספר שיעורים בחודש המחיר שווה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

100+50x=350100 + 50x = 350

משווים לסכום הקבוע

50x=250 ⇒ x=5\begin{aligned}50x &= 250 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

פותרים

ב-55 שיעורים בחודש המחיר שווה. חוג א הוא ישר אופקי (m=0m=0): המחיר לא תלוי במספר השיעורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לנועה יש בחיסכון 18001800 ש״ח, והיא מוציאה 150150 ש״ח בכל חודש. לאיתי יש 300300 ש״ח, והוא מוסיף 100100 ש״ח בכל חודש. אחרי כמה חודשים יהיה לשניהם אותו סכום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

1800−150x=300+100x1800 - 150x = 300 + 100x

משווים

1500=250x ⇒ x=6\begin{aligned}1500 &= 250x \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

פותרים

1800−900=900=300+600\begin{aligned}1800 - 900 &= 900 \\ &= 300 + 600\end{aligned}

בדיקה

אחרי 66 חודשים לשניהם 900900 ש״ח. מי שכתב 1800+150x1800+150x שכח שהחיסכון של נועה יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אותם נועה ואיתי (1800−150x1800-150x ו-300+100x300+100x). למי יהיה יותר כסף אחרי 88 חודשים, ובכמה?

  1. לנועה, ב-500500 ש״ח
  2. לאיתי, ב-250250 ש״ח
  3. לשניהם אותו סכום
  4. לאיתי, ב-500500 ש״ח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לאיתי, ב-500500 ש״ח

הפתרון:

1800−150⋅8=6001800 - 150 \cdot 8 = 600

נועה

300+100⋅8=1100300 + 100 \cdot 8 = 1100

איתי

1100−600=5001100 - 600 = 500

ההפרש

הנכונה: לאיתי, ב-500500 ש״ח. אחרי נקודת השוויון (חודש 66) הסדר מתהפך: בכל חודש ההפרש גדל ב-250250 ש״ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת