חדר כושר מציע שתי אפשרויות. הצעה א: ש״ח לכל אימון, בלי מנוי. הצעה ב: מנוי של ש״ח לחודש, ועוד ש״ח לכל אימון. איזו זולה יותר? התשובה תלויה במספר האימונים. הסתכלו על הגרף.
- הצעה א: 30 ש״ח לאימון
- הצעה ב: מנוי 120 ועוד 15 לאימון
לפי הגרף: איזו הצעה זולה יותר למי שמתאמן פעמים בחודש? ולמי שמתאמן פעמים?
להציג את התשובה והפתרון
אימונים: א עולה ו-ב עולה , ולכן א זולה יותר. אימונים: א עולה ו-ב עולה , ולכן ב זולה יותר. ההצעה הזולה מתחלפת בנקודת החיתוך.
נקודת השוויון — בחישוב
כותבים ביטוי לכל הצעה, עם אותו .
משווים את שני הביטויים ופותרים. מקבלים את של נקודת השוויון.
מציבים את באחד הביטויים. מקבלים את המחיר המשותף.
כותבים משפט מסקנה במילים.
חדר הכושר
באיזה מספר אימונים המחיר של שתי ההצעות שווה, ומהו המחיר?
הביטויים
משווים
מעבירים את 15x לאגף שמאל
בדיקה בהצעה ב: 120 + 15·8 = 240 ✓
מסקנה: ב-8 אימונים שתי ההצעות עולות 240 ש״ח; ביותר מ-8 אימונים בחודש, הצעה ב משתלמת יותר
מה קורה כששני השיפועים שווים? מה זה אומר על שתי הצעות מחיר?
להציג את התשובה והפתרון
הישרים מקבילים, ואין נקודת חיתוך. בשתי ההצעות אותו מחיר ליחידה, ולכן ההצעה עם התשלום הקבוע הקטן תמיד זולה יותר, בכל כמות.
«מאיזה מספר משתלם?»
לפני נקודת השוויון משתלמת ההצעה עם התשלום הקבוע הקטן. אחרי הנקודה משתלמת ההצעה עם המחיר ליחידה הקטן, כלומר השיפוע הקטן. ובבגרות הוא בדרך כלל מספר שלם: אימונים, דקות שלמות, שעות חניה.
חניון א גובה ש״ח לשעה. חניון ב גובה ש״ח בכניסה, ועוד ש״ח לשעה. מאיזה מספר שעות שלמות חניון ב זול יותר?
להציג את התשובה והפתרון
נותן . חניון ב זול יותר כאשר , ולכן מ- שעות. בדיקה: ב- שעות א עולה ו-ב ; ב- שעות א ו-ב ✓
התשובה בבגרות היא משפט, לא רק מספר: «כאשר מתאמנים יותר מ- פעמים בחודש, הצעה ב משתלמת יותר». המשפט אומר מי, מתי, וגם למה.
שלוש הטעויות של «מתי משתלם».
עיגול כלפי מטה מחזיר אותנו לצד הלא נכון של נקודת השוויון. ב- שעות חניון ב עוד יקר יותר.
בנקודה המחיר שווה, ואף הצעה לא זולה יותר.
השאלה «באיזה מספר אימונים» מבקשת את . הוא המחיר, ערך של .
תרגילים
תרגיל 1
השכרת קורקינט חשמלי. חברה א: ש״ח לפתיחה, ועוד ש״ח לכל דקה. חברה ב: בלי פתיחה, ש״ח לכל דקה. השלימו.
המחיר שווה אחרי ____ דקות , והמחיר אז: ____ ש״ח
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: המחיר שווה אחרי 10 דקות , והמחיר אז: 15 ש״ח
הפתרון:
משווים
פותרים
המחיר
אחרי דקות שתי החברות גובות ש״ח. בנסיעה ארוכה יותר חברה א זולה יותר, כי המחיר שלה לדקה קטן יותר.
תרגיל 2
גן אירועים א גובה ש״ח על האולם, ועוד ש״ח לכל אורח. גן ב גובה ש״ח, ועוד ש״ח לכל אורח. לאירוע יוזמנו אורחים. איזה גן זול יותר?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג גן א, ב- ש״ח
הפתרון:
גן א
גן ב
ההפרש
הנכונה: גן א, ב- ש״ח. גן ב זול יותר רק עד אורחים. «ב-» משווה רק את דמי האולם.
תרגיל 3
באותם שני גני אירועים ( ו-): באיזה מספר אורחים המחיר שווה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 60
הפתרון:
משווים
פותרים
בדיקה
ב- אורחים שני הגנים עולים ש״ח. יותר מ- אורחים: גן א משתלם, כי המחיר שלו לאורח נמוך יותר.
תרגיל 4
חבילת סלולר א: ש״ח לחודש, דקות ללא הגבלה. חבילה ב: ש״ח לחודש, ועוד ש״ח לכל דקה. טענה: למי שמדבר דקות בחודש, חבילה ב משתלמת יותר.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: נכון
הפתרון:
חבילה ב
משווים לחבילה א
נקודת השוויון
הטענה נכונה: . חבילה ב משתלמת עד דקות בחודש. ביותר מ- דקות, חבילה א משתלמת.
תרגיל 5
חניון א גובה ש״ח לשעה. חניון ב גובה ש״ח בכניסה, ועוד ש״ח לשעה. מאיזה מספר שעות שלמות חניון ב זול יותר?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 7
הפתרון:
נקודת השוויון
ב-6 שעות המחיר שווה
ב-7 שעות חניון ב זול יותר
חניון ב זול יותר מ- שעות. מי שענה לא שם לב שב- שעות המחיר שווה, ו«זול יותר» פירושו .
תרגיל 6
ספרייה א: מנוי של ש״ח, ועוד ש״ח לכל ספר. ספרייה ב: מנוי של ש״ח, ועוד ש״ח לכל ספר. באיזה מספר ספרים המחיר שווה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג אף פעם: ספרייה ב זולה ב- ש״ח בכל כמות
הפתרון:
משווים
ה-x מתבטל ונשארת טענה שקרית
הנכונה: אף פעם. אותו מחיר לספר, כלומר ישרים מקבילים. ההפרש נשאר ש״ח בכל כמות.
תרגיל 7
חברת הובלות א גובה ש״ח ועוד ש״ח לק״מ. חברה ב גובה ש״ח ועוד ש״ח לק״מ. מיינו את המרחקים לפי החברה הזולה יותר.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 40 ק״מ — חברה א זולה יותר · 50 ק״מ — חברה א זולה יותר · 35 ק״מ — חברה א זולה יותר · 20 ק״מ — חברה ב זולה יותר · 10 ק״מ — חברה ב זולה יותר · 25 ק״מ — חברה ב זולה יותר
הפתרון:
נקודת השוויון
מתחת ל-30 ק״מ חברה ב זולה
מעל 30 ק״מ חברה א זולה
מוצאים פעם אחת את נקודת השוויון, ק״מ, ומשם כל מרחק מתמיין לבד. מתחת ל- משתלם התשלום הקבוע הקטן; מעל משתלם המחיר הקטן לק״מ.
תרגיל 8
חוג א עולה ש״ח לחודש, בכל מספר שיעורים. בחוג ב משלמים ש״ח דמי רישום, ועוד ש״ח לכל שיעור. באיזה מספר שיעורים בחודש המחיר שווה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 5
הפתרון:
משווים לסכום הקבוע
פותרים
ב- שיעורים בחודש המחיר שווה. חוג א הוא ישר אופקי (): המחיר לא תלוי במספר השיעורים.
תרגיל 9
לנועה יש בחיסכון ש״ח, והיא מוציאה ש״ח בכל חודש. לאיתי יש ש״ח, והוא מוסיף ש״ח בכל חודש. אחרי כמה חודשים יהיה לשניהם אותו סכום?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 6
הפתרון:
משווים
פותרים
בדיקה
אחרי חודשים לשניהם ש״ח. מי שכתב שכח שהחיסכון של נועה יורד.
תרגיל 10
אותם נועה ואיתי ( ו-). למי יהיה יותר כסף אחרי חודשים, ובכמה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד לאיתי, ב- ש״ח
הפתרון:
נועה
איתי
ההפרש
הנכונה: לאיתי, ב- ש״ח. אחרי נקודת השוויון (חודש ) הסדר מתהפך: בכל חודש ההפרש גדל ב- ש״ח.