עץ הסתברויות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס. מניסיון, האוטובוס מאחר ביום אחד מתוך ארבעה. מה יכול לקרות ביומיים ברצף? ארבעה סיפורים: איחר-איחר, איחר-בזמן, בזמן-איחר, בזמן-בזמן. עץ מסדר את ארבעתם, וכל סיפור הוא מסלול אחד מהשורש עד הקצה.

לפי העץ: מה ההסתברות שהאוטובוס יאחר בשני הימים?

להציג את התשובה והפתרון

מסלול אחד: איחר ואז איחר. 14⋅14=116\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}. שתי דרישות יחד, ולכן הסיכוי קטן מכל אחת מהן.

ארבעה כללים לבניית עץ

11

כל שלב בניסוי הוא קומה בעץ.

22

על כל ענף כותבים את ההסתברות שלו. שני ענפים שיוצאים מאותה נקודה — סכומם 1.

×\times

לאורך מסלול כופלים: זו ההסתברות שכל השלבים של המסלול יקרו.

++

כשמאורע מתקיים בכמה מסלולים — מחברים את המסלולים.

מאורעות בלתי תלויים

האוטובוס של היום לא «זוכר» מה קרה אתמול: ההסתברות לאיחור היא 14\frac{1}{4} בשני הימים. מאורעות כאלה נקראים בלתי תלויים: התוצאה של השלב הראשון לא משנה את ההסתברויות בשלב השני. עבורם הנוסחה מדף הנוסחאות היא:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

A∩BA \cap B פירושו «AA וגם BB»: שני המאורעות קרו.

שני מבחנים, שתי הסתברויות

ההסתברות שדנה תעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.8, וההסתברות שתעבור את המבחן באנגלית היא 0.9. ההצלחות בלתי תלויות. מה ההסתברות שתעבור בדיוק מבחן אחד?

0.8⋅0.1=0.080.8 \cdot 0.1 = 0.08

מסלול 1: עברה מתמטיקה ונכשלה באנגלית. 1−0.9=0.11-0.9=0.1

0.2⋅0.9=0.180.2 \cdot 0.9 = 0.18

מסלול 2: נכשלה במתמטיקה ועברה אנגלית. 1−0.8=0.21-0.8=0.2

0.08+0.18=0.260.08 + 0.18 = 0.26

«בדיוק אחד» מתקיים בשני מסלולים, ולכן מחברים

באותו עץ: מה ההסתברות שדנה תעבור את שני המבחנים, ומה ההסתברות שלא תעבור אף אחד? בדקו שסכום ארבעת הקצוות הוא 1.

להציג את התשובה והפתרון

שניהם: 0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72. אף אחד: 0.2⋅0.1=0.020.2 \cdot 0.1 = 0.02. הסכום: 0.72+0.08+0.18+0.02=10.72 + 0.08 + 0.18 + 0.02 = 1 ✓. העץ מכסה את כל האפשרויות.

בסוף כל עץ מחברים את כל הקצוות. אם הסכום אינו 1, יש ענף עם הסתברות שגויה.

שתי הטעויות של העץ.

0.8+0.9=1.70.8 + 0.9 = 1.7
0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72

«וגם» לאורך מסלול — כופלים. הסתברות גדולה מ-1 היא סימן אזהרה מיידי.

P=0.08P = 0.08
P=0.08+0.18=0.26\begin{aligned}P &= 0.08 + 0.18 \\ &= 0.26\end{aligned}

«בדיוק אחד» לא אומר איזה מהשניים. שני מסלולים, ולכן שני מכפלות ואז חיבור.

תרגילים

תרגיל 1

האוטובוס מאחר בהסתברות 14\frac{1}{4} בכל יום, ללא תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שהוא יאחר ביומיים ברצף?

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 116\frac{1}{16}
  3. 18\frac{1}{8}
  4. 14\frac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 116\frac{1}{16}

הפתרון:

14⋅14=116\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}

לאורך מסלול כופלים

הנכונה: 116\frac{1}{16}. 12\frac{1}{2} היא חיבור של שני הענפים במקום כפל. 18\frac{1}{8} מכפילה את המכנה ב-2 במקום לכפול את השברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותו אוטובוס: מה ההסתברות שהוא יגיע בזמן בשני הימים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5625

הפתרון:

1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

ההסתברות להגיע בזמן ביום אחד

34⋅34=916≈0.56\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \approx 0.56

מסלול אחד: בזמן ואז בזמן

קודם מחשבים את ההסתברות של הענף «בזמן» (34\frac{3}{4}), ורק אז כופלים. הטעות: 1−1161 - \frac{1}{16}, שהיא «לא איחר פעמיים», ולא «בזמן פעמיים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

דנה עוברת מבחן במתמטיקה בהסתברות 0.8, ומבחן באנגלית בהסתברות 0.9, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שתעבור את שניהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72

«וגם» לאורך מסלול אחד

כופלים, לא מחברים: 0.8+0.9=1.70.8 + 0.9 = 1.7 גדול מ-1 ואינו הסתברות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותם נתונים: מה ההסתברות שדנה לא תעבור אף מבחן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.02

הפתרון:

1−0.8=0.21−0.9=0.1\begin{aligned}1 - 0.8 &= 0.2 \\ \quad 1 - 0.9 &= 0.1\end{aligned}

ההסתברויות להיכשל

0.2⋅0.1=0.020.2 \cdot 0.1 = 0.02

מסלול אחד: נכשלה ואז נכשלה

הטעות הנפוצה: 1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28. זו ההסתברות שלא עברה את שניהם, כלומר נכשלה בלפחות אחד — מאורע אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותם נתונים: מה ההסתברות שדנה תעבור בדיוק מבחן אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.26

הפתרון:

0.8⋅0.1=0.080.8 \cdot 0.1 = 0.08

עברה מתמטיקה בלבד

0.2⋅0.9=0.180.2 \cdot 0.9 = 0.18

עברה אנגלית בלבד

0.08+0.18=0.260.08 + 0.18 = 0.26

שני מסלולים — מחברים

מי שענה 0.08 או 0.18 חישב רק מסלול אחד. בדיקה: 0.72+0.02+0.26=10.72 + 0.02 + 0.26 = 1 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכל עץ הסתברויות, סכום ההסתברויות של כל הקצוות שווה ל-1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0.72+0.08+0.18+0.02=10.72 + 0.08 + 0.18 + 0.02 = 1

למשל בעץ של שני המבחנים

נכון. הקצוות הם כל הסיפורים האפשריים, ושניים מהם לא קורים יחד. סכום שאינו 1 מגלה ענף שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשלב הראשון P(A)=0.6P(A)=0.6. בשלב השני P(B)=0.3P(B)=0.3, ללא תלות בשלב הראשון. השלימו את העץ.

P(Aˉ)=P(\bar{A})= ____ , P(Bˉ)=P(\bar{B})= ____ , P(A∩B)=P(A \cap B)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(Aˉ)=P(\bar{A})= 0.4 , P(Bˉ)=P(\bar{B})= 0.7 , P(A∩B)=P(A \cap B)= 0.18

הפתרון:

P(Aˉ)=1−0.6=0.4\begin{aligned}P(\bar{A}) &= 1 - 0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

שני ענפים מאותה נקודה — סכומם 1

P(Bˉ)=1−0.3=0.7\begin{aligned}P(\bar{B}) &= 1 - 0.3 \\ &= 0.7\end{aligned}

כנ״ל בשלב השני

P(A∩B)=0.6⋅0.3=0.18\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6 \cdot 0.3 \\ &= 0.18\end{aligned}

מאורעות בלתי תלויים — כופלים

Aˉ\bar{A} הוא המשלים של AA: «AA לא קרה». הענף שלו הוא מה שחסר עד 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מטילים מטבע הוגן וקובייה הוגנת. מה ההסתברות לקבל «עץ» במטבע וגם 6 בקובייה?

  1. 18\frac{1}{8}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 112\frac{1}{12}
  4. 23\frac{2}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 112\frac{1}{12}

הפתרון:

12⋅16=112\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

המטבע והקובייה בלתי תלויים

הנכונה: 112\frac{1}{12}. 23\frac{2}{3} היא 12+16\frac{1}{2}+\frac{1}{6}: חיבור במקום כפל. 18\frac{1}{8} מחברת את המכנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ברמזור הראשון בדרך ההסתברות לאור ירוק היא 0.5, וברמזור השני 0.4. הרמזורים פועלים באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות לירוק ברמזור הראשון ולאדום ברמזור השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

1−0.4=0.61 - 0.4 = 0.6

ההסתברות לאדום ברמזור השני

0.5⋅0.6=0.30.5 \cdot 0.6 = 0.3

מסלול אחד: ירוק ואז אדום

המאורע נדרש בסדר מסוים: ירוק ואז אדום. זה מסלול אחד בלבד, בלי חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שני הרמזורים מהשאלה הקודמת. כמה מסלולים בעץ מתאימים לכל מאורע?

  • מסלול אחד
  • שני מסלולים
  • בדיוק רמזור אחד ירוק
  • שני הרמזורים אדומים
  • שני הרמזורים באותו צבע
  • שני הרמזורים ירוקים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שני הרמזורים ירוקים — מסלול אחד · בדיוק רמזור אחד ירוק — שני מסלולים · שני הרמזורים אדומים — מסלול אחד · שני הרמזורים באותו צבע — שני מסלולים

הפתרון:

0.5⋅0.4=0.20.5 \cdot 0.4 = 0.2

ירוק-ירוק: מסלול יחיד

0.5⋅0.6+0.5⋅0.4=0.50.5 \cdot 0.6 + 0.5 \cdot 0.4 = 0.5

«בדיוק אחד ירוק»: ירוק-אדום ואדום-ירוק, שני מסלולים

«באותו צבע» נשמע כמו מאורע אחד, אבל הוא שני מסלולים: ירוק-ירוק או אדום-אדום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת