מאורעות תלויים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשקית 5 גולות: 3 אדומות ו-2 כחולות. מוציאים גולה, מסתכלים, מחזירים אותה ומערבבים, ומוציאים שוב. השקית זהה בשני השלבים, ולכן גם העץ:

ועכשיו בלי החזרה: הגולה הראשונה שיצאה הייתה אדומה ונשארה בחוץ. כמה גולות נשארו בשקית, וכמה מהן אדומות?

להציג את התשובה והפתרון

נשארו 4 גולות, ו-2 מהן אדומות. ההסתברות לאדום בשלב השני היא עכשיו 24\frac{2}{4}, ולא 35\frac{3}{5}.

בלי החזרה — הקומה השנייה משתנה

כשלא מחזירים, התוצאה של השלב הראשון משנה את מה שנשאר בשקית. לכן ההסתברויות בקומה השנייה תלויות בענף שממנו יצאנו. מאורעות כאלה נקראים תלויים. כלל הכפל לאורך מסלול נשאר, רק המספרים על הענפים משתנים.

24 , 24\frac{2}{4} \ ,\ \frac{2}{4}

אחרי אדום: נשארו 2 אדומות ו-2 כחולות מתוך 4

34 , 14\frac{3}{4} \ ,\ \frac{1}{4}

אחרי כחול: נשארו 3 אדומות וכחולה אחת מתוך 4

35⋅24=620=310\begin{aligned}\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} &= \frac{6}{20} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

שתי אדומות, בלי החזרה. עם החזרה היינו מקבלים 925\frac{9}{25}.

בעץ בלי החזרה: חשבו את ארבעת הקצוות ובדקו שסכומם 1.

להציג את התשובה והפתרון

אדום-אדום 35⋅24=620\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}, אדום-כחול 35⋅24=620\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}, כחול-אדום 25⋅34=620\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}, כחול-כחול 25⋅14=220\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}. הסכום: 2020=1\frac{20}{20} = 1 ✓.

הגרלה לוועד הכיתה

בכיתה 30 תלמידים: 12 בנים ו-18 בנות. מגרילים שני נציגים שונים לוועד, אחד אחרי השני. מה ההסתברות ששני הנציגים בנות? ומה ההסתברות לבן אחד ולבת אחת?

1830⋅1729=306870≈0.35\frac{18}{30} \cdot \frac{17}{29} = \frac{306}{870} \approx 0.35

שתי בנות: אחרי בת נשארו 17 בנות מתוך 29

1230⋅1829=216870\frac{12}{30} \cdot \frac{18}{29} = \frac{216}{870}

מסלול בן ואז בת

1830⋅1229=216870\frac{18}{30} \cdot \frac{12}{29} = \frac{216}{870}

מסלול בת ואז בן

216870+216870=432870≈0.50\frac{216}{870} + \frac{216}{870} = \frac{432}{870} \approx 0.50

שני מסלולים — מחברים

מילים שמסמנות מאורעות תלויים: «בלי החזרה», «בזה אחר זה», «שני תלמידים שונים», «מבין הנותרים». בכל אחת מהן המכנה בקומה השנייה קטן ב-1.

שתי הטעויות של «בלי החזרה».

35⋅35\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}
35⋅24\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}

זה חישוב עם החזרה. בלי החזרה גם המונה וגם המכנה קטנים ב-1 בענף «אדום ואז אדום».

35⋅25\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}
35⋅24\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}

המונה עודכן אבל המכנה לא. אחרי שגולה יצאה, בשקית 4 גולות, לא 5.

תרגילים

תרגיל 1

בשקית 4 גולות אדומות ו-6 ירוקות. מוציאים שתי גולות בזו אחר זו בלי החזרה. מה ההסתברות ששתיהן אדומות?

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 215\frac{2}{15}
  3. 325\frac{3}{25}
  4. 425\frac{4}{25}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 215\frac{2}{15}

הפתרון:

410⋅39=1290=215\begin{aligned}\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} &= \frac{12}{90} \\ &= \frac{2}{15}\end{aligned}

אחרי אדומה נשארו 3 אדומות מתוך 9

הנכונה: 215\frac{2}{15}. 425\frac{4}{25} הוא חישוב עם החזרה. 325\frac{3}{25} עדכן את המונה ושכח את המכנה. 710\frac{7}{10} חיבר במקום לכפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה שקית, בלי החזרה: מה ההסתברות ששתי הגולות ירוקות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.333333

הפתרון:

610⋅59=3090=13≈0.33\begin{aligned}\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} &= \frac{30}{90} \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.33\end{aligned}

אחרי ירוקה נשארו 5 ירוקות מתוך 9

עם החזרה היינו מקבלים 0.360.36. ההבדל קטן, אבל בבחינה הוא ההבדל בין תשובה נכונה לשגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותה שקית, בלי החזרה: מה ההסתברות לגולה אחת מכל צבע? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.533333

הפתרון:

410⋅69=2490\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90}

אדומה ואז ירוקה

610⋅49=2490\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90}

ירוקה ואז אדומה

4890≈0.53\frac{48}{90} \approx 0.53

שני מסלולים — מחברים

«אחת מכל צבע» לא קובעת סדר, ולכן שני מסלולים. בדיקה: 1290+3090+4890=1\frac{12}{90} + \frac{30}{90} + \frac{48}{90} = 1 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשקית 3 גולות אדומות ו-2 כחולות. מוציאים שתי גולות בלי החזרה. המאורע «הגולה הראשונה אדומה» והמאורע «הגולה השנייה אדומה» הם מאורעות תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

24≠34\frac{2}{4} \neq \frac{3}{4}

אחרי אדומה: 24\frac{2}{4}. אחרי כחולה: 34\frac{3}{4}

נכון. בלי החזרה, השלב הראשון משנה את תכולת השקית, ולכן גם את ההסתברויות בשלב השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקופסה 8 סוללות, ו-2 מהן ריקות. לוקחים סוללה אחת, ואחריה עוד אחת, בלי החזרה. השלימו.

אחרי הסוללה הראשונה נשארו בקופסה ____ סוללות. אם הסוללה הראשונה הייתה ריקה, נשארו בקופסה ____ סוללות ריקות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחרי הסוללה הראשונה נשארו בקופסה 7 סוללות. אם הסוללה הראשונה הייתה ריקה, נשארו בקופסה 1 סוללות ריקות.

הפתרון:

8−1=78 - 1 = 7

הסוללה הראשונה לא חוזרת

2−1=12 - 1 = 1

הריקה שיצאה לא חוזרת

לכן אחרי ריקה, ההסתברות לריקה נוספת היא 17\frac{1}{7}, ולא 28\frac{2}{8}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותה קופסה (8 סוללות, 2 ריקות), בלי החזרה: מה ההסתברות ששתי הסוללות שנלקחו תקינות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.535714

הפתרון:

8−2=68 - 2 = 6

סוללות תקינות

68⋅57=3056≈0.54\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{30}{56} \approx 0.54

אחרי תקינה נשארו 5 תקינות מתוך 7

הטעות: 68⋅68≈0.56\frac{6}{8} \cdot \frac{6}{8} \approx 0.56 — חישוב עם החזרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באיזה מצב שני המאורעות תלויים?

  1. מוציאים שני קלפים מחפיסה, בלי להחזיר את הראשון
  2. מטילים מטבע ואחר כך קובייה
  3. מטילים קובייה פעמיים
  4. מוציאים גולה, מחזירים אותה ומוציאים שוב
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מוציאים שני קלפים מחפיסה, בלי להחזיר את הראשון

הפתרון:

52→5152 \to 51

בלי החזרה, מספר הקלפים בחפיסה ובכל סוג משתנה

הנכונה: שני קלפים בלי החזרה. בשלושת המצבים האחרים השלב השני מתחיל בדיוק כמו הראשון: קובייה ומטבע לא «זוכרים», והחזרה מחזירה את השקית למצבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בכיתה 25 תלמידים: 10 בנים ו-15 בנות. מגרילים שני תלמידים שונים לוועדת הטיול. מה ההסתברות ששניהם בנים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.15

הפתרון:

1025⋅924=90600=0.15\begin{aligned}\frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} &= \frac{90}{600} \\ &= 0.15\end{aligned}

אחרי בן נשארו 9 בנים מתוך 24

«שני תלמידים שונים» פירושו בלי החזרה. עם החזרה היינו מקבלים 0.160.16.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בשקית 3 גולות אדומות ו-2 כחולות. מוציאים שתי גולות בלי החזרה ומחשבים את ההסתברות לשתי אדומות. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

P1=35P_1 = \frac{3}{5}
P2=24P_2 = \frac{2}{4}
P=35⋅24=59\begin{aligned}P &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P=35⋅24=59P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{9} → P=35⋅24=620=310P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

הפתרון:

35⋅24=3⋅25⋅4\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4}

בכפל שברים כופלים מונה במונה ומכנה במכנה

בשורה האחרונה חיברו מונים ומכנים (3+25+4\frac{3+2}{5+4}). שתי השורות הראשונות נכונות: אחרי אדומה נשארו 2 אדומות מתוך 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לדני 5 מפתחות, ורק אחד מהם פותח את הדלת. הוא מנסה מפתחות באקראי, ומפתח שלא הצליח הוא מניח בצד. מה ההסתברות שהדלת תיפתח בדיוק בניסיון השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

45\frac{4}{5}

הניסיון הראשון נכשל: 4 מפתחות לא מתאימים מתוך 5

14\frac{1}{4}

נשארו 4 מפתחות, ואחד מהם מתאים

45⋅14=15=0.2\begin{aligned}\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{1}{5} \\ &= 0.2\end{aligned}

מסלול אחד: נכשל ואז הצליח

«בדיוק בניסיון השני» דורש גם כישלון בראשון. מי שענה 14\frac{1}{4} שכח את הענף הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת