איחוד, חיתוך ומשלים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מטילים שתי קוביות: אחת כחולה ואחת אדומה. כל צירוף הוא משבצת בלוח של 6⋅6=366 \cdot 6 = 36 משבצות, וכולן שוות סיכוי. AA: «בקובייה הכחולה יצא 6». BB: «בקובייה האדומה יצא 6». כמה משבצות שייכות ל«AA או BB»?

כמה משבצות יש ב«AA או BB», ומה ההסתברות?

להציג את התשובה והפתרון

6+6−1=116 + 6 - 1 = 11 משבצות, ולכן 1136\frac{11}{36}. מורידים 1 כי המשבצת המשותפת נספרה פעמיים.

נוסחת האיחוד

A∪BA \cup B

איחוד: AA או BB — לפחות אחד מהם קרה (אפשר גם שניהם)

A∩BA \cap B

חיתוך: AA וגם BB — שניהם קרו

Aˉ\bar{A}

משלים: AA לא קרה

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

החיתוך נספר פעם ב-P(A)P(A) ופעם ב-P(B)P(B), ולכן מורידים אותו פעם אחת.

סקר בשכבה

בסקר בשכבה נמצא: 60% מהתלמידים משחקים כדורגל, 45% מנגנים על כלי נגינה, ו-20% גם משחקים כדורגל וגם מנגנים. בוחרים תלמיד אקראי. מה ההסתברות שהוא משחק כדורגל או מנגן? ומה ההסתברות שלא עושה אף אחד מהשניים?

P(A)=0.6 P(B)=0.45 P(A∩B)=0.2\begin{aligned}P(A) &= 0.6 \\ \ P(B) &= 0.45 \\ \ P(A \cap B) &= 0.2\end{aligned}

מתרגמים אחוזים להסתברויות

P(A∪B)=0.6+0.45−0.2=0.85\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.6 + 0.45 - 0.2 \\ &= 0.85\end{aligned}

נוסחת האיחוד

1−0.85=0.151 - 0.85 = 0.15

«אף אחד» הוא המשלים של «לפחות אחד»

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. מהי P(A∩B)P(A \cap B)?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים בנוסחה: 0.7=0.5+0.4−P(A∩B)0.7 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B), ולכן P(A∩B)=0.9−0.7=0.2P(A \cap B) = 0.9 - 0.7 = 0.2. הנוסחה עובדת לכל כיוון: שלושה נתונים מוצאים את הרביעי.

«לפחות אחד» — דרך המשלים

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

«לפחות אחד» הוא כל העץ חוץ מקצה אחד: הקצה של «אף אחד». במקום לחבר שלושה מסלולים, מחשבים מסלול אחד ומחסירים מ-1.

שני רמזורים

ברמזור הראשון ההסתברות לאדום היא 0.4, ובשני 0.5, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות לעצור לפחות ברמזור אחד?

0.6⋅0.5=0.30.6 \cdot 0.5 = 0.3

«אף אחד אדום»: ירוק וגם ירוק

1−0.3=0.71 - 0.3 = 0.7

המשלים

0.4+0.5−0.4⋅0.5=0.70.4 + 0.5 - 0.4 \cdot 0.5 = 0.7

בדיקה בנוסחת האיחוד: אותה תשובה ✓

כשהשאלה אומרת «לפחות אחד», שאלו קודם: מה המשלים? כמעט תמיד הוא «אף אחד», וזה מסלול אחד בעץ.

שלוש הטעויות של האיחוד.

P(A∪B)=0.4+0.5=0.9\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 \\ &= 0.9\end{aligned}
P(A∪B)=0.4+0.5−0.2=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 - 0.2 \\ &= 0.7\end{aligned}

שכחו להוריד את החיתוך. הוא נספר פעמיים.

P(A∪B)=P(A)⋅P(B)P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

כפל נותן את החיתוך («וגם»), ורק כשהמאורעות בלתי תלויים. איחוד («או») מחשבים בנוסחת האיחוד.

1−0.4⋅0.51 - 0.4 \cdot 0.5
1−0.6⋅0.51 - 0.6 \cdot 0.5

המשלים של «לפחות אחד אדום» הוא «שניהם ירוקים», לא «לא שניהם אדומים».

תרגילים

תרגיל 1

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.3P(B)=0.3 ו-P(A∩B)=0.1P(A \cap B)=0.1. מהי P(A∪B)P(A \cup B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

P(A∪B)=0.5+0.3−0.1=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.5 + 0.3 - 0.1 \\ &= 0.7\end{aligned}

נוסחת האיחוד

מי שענה 0.8 שכח להוריד את החיתוך, שנספר פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון P(A)=0.45P(A)=0.45, P(B)=0.35P(B)=0.35 ו-P(A∪B)=0.6P(A \cup B)=0.6. מהי P(A∩B)P(A \cap B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

0.6=0.45+0.35−P(A∩B)0.6 = 0.45 + 0.35 - P(A \cap B)

מציבים בנוסחת האיחוד

P(A∩B)=0.8−0.6=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.8 - 0.6 \\ &= 0.2\end{aligned}

מבודדים

הנוסחה קושרת ארבעה מספרים: שלושה ידועים מוצאים את הרביעי. 0.45⋅0.350.45 \cdot 0.35 אינו נכון כאן — לא נאמר שהמאורעות בלתי תלויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשכבה: 55% מהתלמידים מתנדבים בקהילה, 40% חברים בתנועת נוער, ו-25% גם מתנדבים וגם חברים בתנועה. כמה אחוזים מהתלמידים אינם עושים אף אחד מהשניים? (כתבו מספר באחוזים)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

55+40−25=7055 + 40 - 25 = 70

אחוז התלמידים שעושים לפחות אחד

100−70=30100 - 70 = 30

המשלים

אפשר לעבוד ישירות באחוזים. הטעות: 100−55−40=5100 - 55 - 40 = 5, שמוריד את 25 האחוזים של «גם וגם» פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מטילים שתי קוביות הוגנות. מה ההסתברות שיצא 6 לפחות באחת מהן?

  1. 2536\frac{25}{36}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 1136\frac{11}{36}
  4. 136\frac{1}{36}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 1136\frac{11}{36}

הפתרון:

56⋅56=2536\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

אף קובייה לא הראתה 6

1−2536=11361 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

המשלים

הנכונה: 1136\frac{11}{36}. 13=1236\frac{1}{3} = \frac{12}{36} סופר את «6 וגם 6» פעמיים. 2536\frac{25}{36} היא ההסתברות לאף 6 — המשלים עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מאיה שוכחת את המפתח בבית בהסתברות 0.1, ואחיה בהסתברות 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם ישכח את המפתח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

אף אחד לא שכח

1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28

המשלים

בדיקה בנוסחת האיחוד: 0.1+0.2−0.02=0.280.1 + 0.2 - 0.02 = 0.28 ✓. התשובה 0.30.3 שוכחת להוריד את החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותם נתונים: מה ההסתברות שאף אחד מהם לא ישכח את המפתח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

1−0.1=0.91−0.2=0.8\begin{aligned}1 - 0.1 &= 0.9 \\ \quad 1 - 0.2 &= 0.8\end{aligned}

ההסתברויות לזכור

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

זכרו שניהם — בלתי תלויים

«אף אחד לא שכח» ו«לפחות אחד שכח» הם משלימים: 0.72+0.28=10.72 + 0.28 = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון P(A)=0.6P(A)=0.6 ו-P(B)=0.7P(B)=0.7. אז בהכרח P(A∩B)>0P(A \cap B) > 0, כלומר AA ו-BB יכולים לקרות יחד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(A∪B)≤1P(A \cup B) \leq 1

הסתברות אינה עולה על 1

P(A∩B)=0.6+0.7−P(A∪B)≥1.3−1=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6 + 0.7 - P(A \cup B) \geq 1.3 - 1 \\ &= 0.3\end{aligned}

מבודדים מנוסחת האיחוד

נכון. אילו החיתוך היה 0, האיחוד היה 1.31.3 — גדול מ-1. לכן החיתוך הוא לפחות 0.30.3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

AA ו-BB מאורעות בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A)=0.4 ו-P(B)=0.5P(B)=0.5. השלימו.

P(A∩B)=P(A \cap B)= ____ , P(A∪B)=P(A \cup B)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(A∩B)=P(A \cap B)= 0.2 , P(A∪B)=P(A \cup B)= 0.7

הפתרון:

P(A∩B)=0.4⋅0.5=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2\end{aligned}

בלתי תלויים — כופלים

P(A∪B)=0.4+0.5−0.2=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 - 0.2 \\ &= 0.7\end{aligned}

נוסחת האיחוד

קודם החיתוך, ואז האיחוד: נוסחת האיחוד צריכה את החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מה פירוש המאורע A∪BA \cup B?

  1. בדיוק אחד מהם קרה
  2. AA קרה, או BB קרה, או שניהם
  3. AA וגם BB קרו
  4. אף אחד מהם לא קרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב AA קרה, או BB קרה, או שניהם

הפתרון:

A∪BA \cup B

איחוד: לפחות אחד מהשניים

הנכונה: AA או BB או שניהם. «או» במתמטיקה כולל את «שניהם». «בדיוק אחד» הוא האיחוד בלי החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

AA ו-BB לא יכולים לקרות יחד. P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.25P(B)=0.25. מהי P(A∪B)P(A \cup B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.55

הפתרון:

P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0

מאורעות שלא קורים יחד: אין חיתוך

P(A∪B)=0.3+0.25−0=0.55\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3 + 0.25 - 0 \\ &= 0.55\end{aligned}

נוסחת האיחוד

כשאין חיתוך, נוסחת האיחוד היא חיבור פשוט. הטעות: לכפול 0.3⋅0.250.3 \cdot 0.25 ולהציב אותו כחיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת