מטבלה לעץ

שאלו את 200 תלמידי השכבה איך הם מגיעים לבית הספר: 120 באוטובוס ו-80 ברגל. הדיאגרמה מראה את החלוקה באחוזים. אחר כך שאלו מי איחר השבוע: 30 מבין הנוסעים באוטובוס ו-8 מבין ההולכים ברגל.

איך מגיעים לבית הספר (200 תלמידים, באחוזים)

אוטובוס60%
ברגל40%

60% באוטובוס ו-40% ברגל. אלה בדיוק שני הענפים הראשונים של העץ:

0.6

ו-

0.4

$B$ : «מגיע באוטובוס». $A$ : «איחר». $\Sigma$ מסמן סך הכול. אותם נתונים בטבלה דו-ממדית:

\begin{array}{c|c|c|c} & A & \bar{A} & \Sigma \\ \hline B & 30 & 90 & 120 \\ \bar{B} & 8 & 72 & 80 \\ \hline \Sigma & 38 & 162 & 200 \end{array}

מה ההסתברות שתלמיד אקראי מגיע באוטובוס וגם איחר? ומה ההסתברות שנוסע אוטובוס איחר?

להציג את התשובה והפתרון

«באוטובוס וגם איחר» היא משבצת מתוך כל השכבה: $\frac{30}{200} = 0.15$ . «נוסע אוטובוס איחר» מסתכלת רק על שורת האוטובוס: $\frac{30}{120} = 0.25$ . אותו 30, מכנה אחר.

\frac{120}{200} = 0.6

ענף ראשון: סך השורה חלקי סך הכול

\frac{30}{120} = 0.25

ענף שני: המשבצת חלקי סך השורה שלה

\begin{aligned}0.6 \cdot 0.25 &= \frac{30}{200} \\ &= 0.15\end{aligned}

קצה: המשבצת חלקי סך הכול — מכפלת הענפים

העץ המלא: מ«אוטובוס» ( $0.6$ ) יוצאים «איחר» $0.25$ ו«בזמן» $0.75$ . מ«ברגל» ( $0.4$ ) יוצאים «איחר» $\frac{8}{80} = 0.1$ ו«בזמן» $0.9$ . ההסתברות לאיחור היא סכום שני הקצוות: $0.6 \cdot 0.25 + 0.4 \cdot 0.1 = 0.15 + 0.04 = 0.19$ , בדיוק $\frac{38}{200}$ מהטבלה.

האם «מגיע באוטובוס» ו«איחר» הם מאורעות בלתי תלויים? השוו את שני הענפים של «איחר».

להציג את התשובה והפתרון

לא. מ«אוטובוס» הענף הוא $0.25$ , ומ«ברגל» הוא $0.1$ . הדרך לבית הספר משנה את הסיכוי לאחר, ולכן המאורעות תלויים. אילו שני הענפים היו שווים, המאורעות היו בלתי תלויים.

מעץ לטבלה

שיעור תגבור

30% מ-200 תלמידי השכבה הגיעו לשיעור תגבור לפני המבחן. מבין אלה שהגיעו, 50% קיבלו ציון מעל 80. מבין אלה שלא הגיעו, 20% קיבלו ציון מעל 80. בנו טבלה ומצאו את ההסתברות שתלמיד אקראי קיבל ציון מעל 80.

\begin{aligned}200 \cdot 0.3 &= 60 \\ \quad 200 - 60 &= 140\end{aligned}

השורות: הגיעו ולא הגיעו

60 \cdot 0.5 = 30

הגיעו וגם מעל 80

140 \cdot 0.2 = 28

לא הגיעו וגם מעל 80

\begin{aligned}\frac{30 + 28}{200} &= \frac{58}{200} \\ &= 0.29\end{aligned}

העמודה «מעל 80» כולה

\begin{aligned}0.3 \cdot 0.5 + 0.7 \cdot 0.2 &= 0.15 + 0.14 \\ &= 0.29\end{aligned}

בדיקה בעץ ✓

אחרי שממלאים טבלה, בודקים: כל שורה מסתכמת לסך השורה, וכל עמודה לסך העמודה. טעות בחשבון מתגלה מיד.

המכנה הלא נכון.

\frac{30}{200}

\frac{30}{120}

על הענף «איחר» שיוצא מ«אוטובוס» רושמים $\frac{30}{120}$ . ענף בקומה השנייה כבר «יודע» מה קרה בקומה הראשונה, ולכן המכנה הוא סך השורה. $\frac{30}{200}$ הוא הקצה, לא הענף.

\begin{aligned}P(A) &= 0.25 + 0.1 \\ &= 0.35\end{aligned}

\begin{aligned}P(A) &= 0.6 \cdot 0.25 + 0.4 \cdot 0.1 \\ &= 0.19\end{aligned}

חיבור של שני ענפים שני אינו הסתברות של מאורע. מחברים קצוות, כלומר מכפלות לאורך המסלולים.

תרגילים

תרגיל 1

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. בוחרים תלמיד אקראי. מה ההסתברות שהוא מתנדב וגם עבר את הקורס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.24

הפתרון:

\frac{60}{250} = 0.24

משבצת חלקי סך הכול

זה קצה בעץ, ולכן המכנה הוא כל 250 התלמידים. $\frac{60}{100}$ הוא ענף, לא קצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. בונים עץ שבו הקומה הראשונה היא «מתנדב / לא מתנדב». איזו הסתברות רושמים על הענף «עבר קורס» שיוצא מ«מתנדב»?

$\frac{90}{250}$
$\frac{60}{250}$
$\frac{60}{100}$
$\frac{100}{250}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{60}{100}$

הפתרון:

\frac{60}{100} = 0.6

המשבצת חלקי סך השורה «מתנדבים»

הנכונה: $\frac{60}{100}$ . $\frac{60}{250}$ הוא הקצה (מתנדב וגם עבר). $\frac{100}{250}$ הוא הענף הראשון. $\frac{90}{250}$ הוא ההסתברות לעבור את הקורס בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. מה ההסתברות שתלמיד אקראי עבר את הקורס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.36

הפתרון:

60 + 30 = 90

כל מי שעבר את הקורס

\frac{90}{250} = 0.36

חלקי סך הכול

\begin{aligned}0.4 \cdot 0.6 + 0.6 \cdot 0.2 &= 0.24 + 0.12 \\ &= 0.36\end{aligned}

בדיקה בעץ ✓

בעץ, «עבר קורס» הוא שני קצוות: מתנדב ועבר, לא מתנדב ועבר. הטעות: $0.6 + 0.2 = 0.8$ — חיבור ענפים במקום קצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. מה ההסתברות שתלמיד אקראי אינו מתנדב וגם לא עבר את הקורס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.48

הפתרון:

150 - 30 = 120

לא מתנדבים שלא עברו

\frac{120}{250} = 0.48

חלקי סך הכול

בעץ: $0.6 \cdot 0.8 = 0.48$ ✓. $\frac{120}{150}$ הוא הענף, לא הקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ב-400 תלמידים: 25% משחקים בקבוצת ספורט. מבין המשחקים, 80% מתאמנים גם בבוקר; מבין שאינם משחקים, 40% מתאמנים בבוקר. השלימו את הטבלה.

משחקים וגם מתאמנים בבוקר: ____ תלמידים ; לא משחקים וגם מתאמנים בבוקר: ____ תלמידים ; סך המתאמנים בבוקר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: משחקים וגם מתאמנים בבוקר: 80 תלמידים ; לא משחקים וגם מתאמנים בבוקר: 120 תלמידים ; סך המתאמנים בבוקר: 200

הפתרון:

\begin{aligned}400 \cdot 0.25 &= 100 \\ \quad 400 - 100 &= 300\end{aligned}

סכומי השורות

100 \cdot 0.8 = 80

משחקים וגם מתאמנים

300 \cdot 0.4 = 120

לא משחקים וגם מתאמנים

80 + 120 = 200

סך העמודה

האחוז בקומה השנייה הוא אחוז מתוך השורה: 40% מתוך 300, לא מתוך 400.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותם נתונים (400 תלמידים, 25% משחקים, 80% ו-40% מתאמנים בבוקר): מה ההסתברות שתלמיד אקראי מתאמן בבוקר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\frac{200}{400} = 0.5

מהטבלה

\begin{aligned}0.25 \cdot 0.8 + 0.75 \cdot 0.4 &= 0.2 + 0.3 \\ &= 0.5\end{aligned}

מהעץ ✓

שתי הדרכים חייבות לתת אותה תשובה. הטעות: $\frac{0.8 + 0.4}{2} = 0.6$ — ממוצע שמתעלם מכך שבשורות מספר תלמידים שונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בחנות: 70% מהלקוחות משלמים בכרטיס אשראי, והשאר במזומן. מבין משלמי האשראי 20% קונים ביותר מ-300 ש״ח, ומבין משלמי המזומן 10%. מה ההסתברות שלקוח אקראי קונה ביותר מ-300 ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.17

הפתרון:

0.7 \cdot 0.2 = 0.14

אשראי וגם מעל 300

0.3 \cdot 0.1 = 0.03

מזומן וגם מעל 300

0.14 + 0.03 = 0.17

שני קצוות — מחברים

התשובה $0.3 = 0.2 + 0.1$ מחברת ענפים. צריך קודם לכפול כל ענף בענף הראשון שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותה חנות: מה ההסתברות שלקוח אקראי משלם במזומן וקונה ב-300 ש״ח או פחות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.27

הפתרון:

1 - 0.7 = 0.3

מזומן

1 - 0.1 = 0.9

מבין משלמי המזומן: 300 ש״ח או פחות

0.3 \cdot 0.9 = 0.27

מסלול אחד

בכל ענף משלימים ל-1 בתוך אותה נקודה: $1-0.1$ , ולא $1-0.17$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. התאימו כל שבר למה שהוא מתאר בעץ.

$\frac{100}{250}$
$\frac{60}{100}$
$\frac{60}{250}$
$\frac{90}{250}$

סכום שני קצוות: עבר קורס
ענף ראשון: מתנדב
ענף שני: עבר קורס, אחרי «מתנדב»
קצה: מתנדב וגם עבר קורס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{100}{250}$ — ענף ראשון: מתנדב · $\frac{60}{100}$ — ענף שני: עבר קורס, אחרי «מתנדב» · $\frac{60}{250}$ — קצה: מתנדב וגם עבר קורס · $\frac{90}{250}$ — סכום שני קצוות: עבר קורס

הפתרון:

\frac{100}{250} \cdot \frac{60}{100} = \frac{60}{250}

ענף ראשון כפול ענף שני הוא הקצה

\frac{60}{250} + \frac{30}{250} = \frac{90}{250}

שני קצוות — מחברים

המכנה אומר מאיפה מסתכלים: 250 — מכל השכבה; 100 — רק מתוך המתנדבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בטבלה של 200 תלמידים: בשורה $B$ יש 80 תלמידים, ו-20 מהם שייכים ל- $A$ . בשורה $\bar{B}$ יש 120 תלמידים, ו-30 מהם שייכים ל- $A$ . האם $A$ ו- $B$ תלויים?

תלויים, כי $80 \neq 120$
בלתי תלויים: בשני הענפים ההסתברות ל- $A$ היא 0.25
אי אפשר לדעת בלי עץ
תלויים, כי $20 \neq 30$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בלתי תלויים: בשני הענפים ההסתברות ל- $A$ היא 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{20}{80} &= 0.25 \\ \quad \frac{30}{120} &= 0.25\end{aligned}

הענף « $A$ » מכל אחת מהנקודות

\begin{aligned}P(A) &= \frac{50}{200} \\ &= 0.25\end{aligned}

אותה הסתברות גם בכל השכבה

הנכונה: בלתי תלויים. משווים אחוזים, לא מספרים: 20 ו-30 הם אותו חלק (רבע) מתוך שורות בגדלים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev