פותרים יחד · הסתברות מתקדמת · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: שני שלבים בלתי תלויים, גלגל עם גזרות לא שוות, הוצאה בלי החזרה, ואיחוד עם בדיקת תלות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם: כמה מסלולים בעץ מתאימים לסעיף? מסלול אחד — כפל. כמה מסלולים — כפל בכל אחד ואז חיבור. «לפחות אחד» — משלים.

1 — שני רמזורים בלתי תלויים

פעילות אינטראקטיבית

בדרך לבית הספר שני רמזורים. ההסתברות לאור ירוק ברמזור הראשון היא 0.7, וברמזור השני 0.4. הרמזורים פועלים באופן בלתי תלוי. א. מה ההסתברות לאור אדום ברמזור הראשון? ב. מה ההסתברות לאור ירוק בשני הרמזורים? ג. מה ההסתברות לאור ירוק ברמזור אחד בלבד? ד. מה ההסתברות לעצור לפחות ברמזור אחד?

\begin{aligned}P(G_1) &= 0.7 \\ \quad P(G_2) &= 0.4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם משלימים את כל הענפים, ורק אחר כך עונים על הסעיפים.

א.

\begin{aligned}P(R_1) &= 1 - 0.7 \\ &= 0.3\end{aligned}

ירוק ואדום משלימים זה את זה.

ענפים

\begin{aligned}P(R_2) &= 1 - 0.4 \\ &= 0.6\end{aligned}

העץ מלא: בכל נקודה שני ענפים שסכומם 1.

ב.

0.7 \cdot 0.4 = 0.28

מסלול אחד: ירוק וגם ירוק.

ג.

\begin{aligned}0.7 \cdot 0.6 + 0.3 \cdot 0.4 &= 0.42 + 0.12 \\ &= 0.54\end{aligned}

שני מסלולים: ירוק-אדום ואדום-ירוק.

ד.

1 - 0.28 = 0.72

«לפחות אדום אחד» הוא המשלים של «ירוק בשניהם», שחישבנו בסעיף ב.

סעיף ד השתמש בתשובה של סעיף ב. בבגרות הסעיפים בנויים כך בכוונה: חפשו תשובה קודמת שחוסכת עבודה.

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו את סעיף ד בדרך אחרת: חברו את שלושת המסלולים שבהם יש לפחות אדום אחד.

להציג את התשובה והפתרון

ירוק-אדום $0.42$ , אדום-ירוק $0.12$ , אדום-אדום $0.3 \cdot 0.6 = 0.18$ . הסכום: $0.42 + 0.12 + 0.18 = 0.72$ ✓. אותה תשובה, בשלוש מכפלות במקום אחת.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — גלגל עם גזרות לא שוות

פעילות אינטראקטיבית

אותו מספר פעמיים

גלגל מחולק ל-6 גזרות שוות: על שלוש מהן כתוב 5, על שתיים כתוב 10, ועל אחת כתוב 20. מסובבים את הגלגל פעמיים. מה ההסתברות שבשני הסיבובים יתקבל אותו מספר?

$\frac{7}{18}$

$1$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{36}$

מהן ההסתברויות בסיבוב אחד?

$\frac{3}{6}$ , $\frac{2}{6}$ , $\frac{1}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

מספר הגזרות של כל מספר, חלקי 6.

$\frac{1}{3}$ לכל מספר

להציג את התשובה והפתרון

שלושה מספרים, אבל לא שלוש גזרות שוות: ל-5 יש שלוש גזרות, ל-20 רק אחת.

\begin{aligned}P(5) &= \frac{1}{2} \\ \quad P(10) &= \frac{1}{3} \\ \quad P(20) &= \frac{1}{6}\end{aligned}

בדיקה: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$ ✓

כמה מסלולים בעץ מתאימים ל«אותו מספר»?

שלושה: 5-5, 10-10, 20-20

להציג את התשובה והפתרון

לכל מספר מסלול אחד שבו הוא יוצא פעמיים.

אחד

להציג את התשובה והפתרון

«אותו מספר» לא אומר איזה מספר. כל אחד משלושת המספרים יכול לחזור.

\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 ,\quad \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 ,\quad \left(\tfrac{1}{6}\right)^2

הסיבובים בלתי תלויים: בכל מסלול כופלים

מה עושים עם שלוש המכפלות?

מחברים

להציג את התשובה והפתרון

שלושה מסלולים נפרדים של אותו מאורע.

כופלים

להציג את התשובה והפתרון

כפל של מסלולים היה דורש שכולם יקרו יחד, וזה בלתי אפשרי.

\begin{aligned}\frac{9}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36} &= \frac{14}{36} \\ &= \frac{7}{18}\end{aligned}

מכנה משותף 36

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{7}{18}$ . התשובה $1$ מחברת את ההסתברויות בלי לכפול: זה סכום הענפים של סיבוב אחד. $\frac{1}{3}$ מניחה שלושה מספרים שווי סיכוי. $\frac{1}{36}$ היא רק המסלול 20-20.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה ההסתברות שבשני הסיבובים יתקבלו מספרים שונים?

להציג את התשובה והפתרון

זה המשלים של «אותו מספר»: $1 - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$ . בלי לחשב שישה מסלולים.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שני מטבעות בלי החזרה

פעילות אינטראקטיבית

בקופת חיסכון 10 מטבעות: 2 מטבעות של 10 ש״ח, 3 מטבעות של 5 ש״ח ו-5 מטבעות של 2 ש״ח. מוציאים באקראי מטבע אחד, ואחריו עוד מטבע, בלי החזרה. א. מה ההסתברות שהמטבע הראשון הוא של 10 ש״ח? ב. מה ההסתברות ששני המטבעות של 2 ש״ח? ג. מה ההסתברות שסכום שני המטבעות 15 ש״ח? ד. מה ההסתברות שסכום שני המטבעות לפחות 10 ש״ח?

10 ,\ 10 ,\ 5 ,\ 5 ,\ 5 ,\ 2 ,\ 2 ,\ 2 ,\ 2 ,\ 2

לחצו «להתחיל». «בלי החזרה»: בשלב השני המכנה הוא 9.

א.

\frac{2}{10} = 0.2

שלב אחד בלבד, עדיין אין תלות.

ב.

\begin{aligned}\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} &= \frac{20}{90} \\ &= \frac{2}{9} \approx 0.22\end{aligned}

אחרי מטבע של 2 ש״ח נשארו 4 כאלה מתוך 9.

ג.

\begin{aligned}\frac{2}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} &= \frac{12}{90} \\ &= \frac{2}{15} \approx 0.13\end{aligned}

15 = 10 + 5, בשני סדרים.

ד. משלים

\begin{aligned}2+2 &= 4 \\ \quad 2+5 &= 7\end{aligned}

הסכומים שקטנים מ-10. כל שאר הסכומים ( $5+5=10$ ומעלה) הם לפחות 10.

ד. חישוב

\begin{aligned}\frac{20}{90} + \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9} &= \frac{20 + 15 + 15}{90} \\ &= \frac{50}{90}\end{aligned}

הסתברות לסכום קטן מ-10: 2-2, 2-5, 5-2.

ד.

\begin{aligned}1 - \frac{50}{90} &= \frac{40}{90} \\ &= \frac{4}{9} \approx 0.44\end{aligned}

המשלים.

בסעיף ד יש שישה מסלולים של «לפחות 10» ורק שלושה של «פחות מ-10». המשלים קיצר את העבודה בחצי.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה כסף יש בקופה, ולמה המכנה בסעיף ג הוא 90 ולא 100?

להציג את התשובה והפתרון

$2 \cdot 10 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 45$ ש״ח. המכנה $10 \cdot 9 = 90$ כי המטבע הראשון לא חוזר: בשלב השני יש 9 מטבעות.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — איחוד, וגם בדיקת תלות

פעילות אינטראקטיבית

בסקר בקרב תלמידי השכבה נמצא: 45% נוסעים לחו״ל בקיץ, 30% עובדים בקיץ, ו-10% גם נוסעים לחו״ל וגם עובדים. בוחרים תלמיד אקראי. א. מה ההסתברות שהוא נוסע לחו״ל או עובד? ב. מה ההסתברות שהוא לא נוסע וגם לא עובד? ג. מה ההסתברות שהוא עובד ואינו נוסע לחו״ל? ד. האם «נוסע לחו״ל» ו«עובד» הם מאורעות בלתי תלויים?

\begin{aligned}P(A) &= 0.45 \\ \quad P(B) &= 0.3 \\ \quad P(A \cap B) &= 0.1\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $A$ : נוסע לחו״ל. $B$ : עובד.

א.

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.45 + 0.3 - 0.1 \\ &= 0.65\end{aligned}

נוסחת האיחוד: החיתוך נספר פעמיים.

ב.

1 - 0.65 = 0.35

«אף אחד מהשניים» הוא המשלים של האיחוד.

ג.

\begin{aligned}P(B) - P(A \cap B) &= 0.3 - 0.1 \\ &= 0.2\end{aligned}

מכל העובדים מורידים את אלה שגם נוסעים.

ד.

\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.45 \cdot 0.3 \\ &= 0.135 \neq 0.1\end{aligned}

אילו היו בלתי תלויים, החיתוך היה שווה למכפלה.

סעיף ד: תלויים. כלל הכפל $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ הוא גם מבחן: אם הוא לא מתקיים, המאורעות תלויים.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה ההסתברות שתלמיד אקראי עושה בדיוק אחד מהשניים?

להציג את התשובה והפתרון

רק נוסע: $0.45 - 0.1 = 0.35$ . רק עובד: $0.2$ (סעיף ג). יחד: $0.55$ . או: האיחוד פחות החיתוך, $0.65 - 0.1 = 0.55$ ✓.

השאלות התאומות: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

ההסתברות לאור ירוק ברמזור הראשון היא 0.8, וברמזור השני 0.5, באופן בלתי תלוי. השלימו.

ירוק בשניהם: ____ ; ירוק ברמזור אחד בלבד: ____ ; לפחות רמזור אדום אחד: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ירוק בשניהם: 0.4 ; ירוק ברמזור אחד בלבד: 0.5 ; לפחות רמזור אדום אחד: 0.6

הפתרון:

0.8 \cdot 0.5 = 0.4

מסלול אחד

\begin{aligned}0.8 \cdot 0.5 + 0.2 \cdot 0.5 &= 0.4 + 0.1 \\ &= 0.5\end{aligned}

שני מסלולים

1 - 0.4 = 0.6

המשלים של «ירוק בשניהם»

בסעיף «ירוק באחד בלבד» קל לשכוח את המסלול אדום-ירוק ( $0.1$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גלגל מחולק ל-5 גזרות שוות: שלוש כחולות, אחת אדומה ואחת ירוקה. מסובבים את הגלגל פעמיים. מה ההסתברות שבשני הסיבובים יתקבל אותו צבע?

$\frac{11}{25}$
$\frac{9}{25}$
$\frac{1}{3}$
$1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{11}{25}$

הפתרון:

\frac{3}{5} ,\quad \frac{1}{5} ,\quad \frac{1}{5}

כחול, אדום וירוק בסיבוב אחד

\frac{9}{25} + \frac{1}{25} + \frac{1}{25} = \frac{11}{25}

שלושה מסלולים — מחברים

הנכונה: $\frac{11}{25}$ . $\frac{9}{25}$ היא רק כחול-כחול. $\frac{1}{3}$ מניחה שלושה צבעים שווי סיכוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בקופת חיסכון 10 מטבעות: 2 של 10 ש״ח, 4 של 5 ש״ח ו-4 של 2 ש״ח. מוציאים שני מטבעות בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שסכומם 15 ש״ח? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.177778

הפתרון:

\frac{2}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{90}

10 ואז 5

\frac{4}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{90}

5 ואז 10

\frac{16}{90} \approx 0.18

שני מסלולים — מחברים

15 מתקבל בשני סדרים. מי שענה 0.09 חישב סדר אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסקר בשכבה: 50% מהתלמידים משתתפים בחוג, 40% מתנדבים, ו-20% גם משתתפים בחוג וגם מתנדבים. השלימו.

חוג או התנדבות: ____ ; אף אחד מהשניים: ____ ; חוג בלי התנדבות: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חוג או התנדבות: 0.7 ; אף אחד מהשניים: 0.3 ; חוג בלי התנדבות: 0.3

הפתרון:

0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7

נוסחת האיחוד

1 - 0.7 = 0.3

המשלים

0.5 - 0.2 = 0.3

מהחוג מורידים את מי שגם מתנדב

שתי התשובות האחרונות שוות כאן במקרה. הן מאורעות שונים לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותו סקר (50% בחוג, 40% מתנדבים, 20% גם וגם): המאורעות «משתתף בחוג» ו«מתנדב» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}0.5 \cdot 0.4 &= 0.2 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המכפלה שווה לחיתוך

נכון. כאן כלל הכפל מתקיים, ולכן המאורעות בלתי תלויים. בשאלה 4 של המדריך הוא לא התקיים ( $0.135 \neq 0.1$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שני רמזורים בלתי תלויים

2 — גלגל עם גזרות לא שוות

3 — שני מטבעות בלי החזרה

4 — איחוד, וגם בדיקת תלות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev