סדרה חשבונית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר — ההפרש dd. כל השאר נובע מזה.

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

שימו לב ל-(n−1)(n-1): מ-a1a_1 אל a10a_{10} יש תשע קפיצות, לא עשר. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק, והיא עולה סעיף שלם.

הסכום

Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הרעיון של גאוס: מזווגים את הראשון עם האחרון, את השני עם הלפני-אחרון, וכל זוג נותן אותו סכום. יש n2\frac{n}{2} זוגות.

סכום בשתי שורות

בסדרה a1=5a_1 = 5, d=3d = 3. חשבו את S10S_{10}.

a10=5+9⋅3=32\begin{aligned}a_{10} &= 5 + 9 \cdot 3 \\ &= 32\end{aligned}

קודם האיבר האחרון

S10=10(5+32)2S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}

ואז הסכום

=185= 185

הסכום נשען על האיבר האחרון. מי שמנסה לחשב SnS_n בלי ana_n נתקע — חשבו אותו קודם, תמיד.

בסדרה a1=100a_1 = 100 ו-d=−4d = -4. באיזה מקום מופיע האיבר 00?

להציג את התשובה והפתרון

100−4(n−1)=0100 - 4(n-1) = 0, כלומר 4(n−1)=1004(n-1) = 100 ו-n=26n = 26. הפרש שלילי הוא סדרה יורדת — הנוסחה זהה, רק הסימן משתנה.

שלושה איברים עוקבים

2b=a+c2b = a + c

האיבר האמצעי הוא הממוצע של שכניו. זהו גם התנאי שבודקים כשמבקשים להוכיח שסדרה חשבונית.

האיברים 44, bb, 1010 הם שלושה עוקבים בסדרה חשבונית. מהו bb?

להציג את התשובה והפתרון

2b=142b = 14, ולכן b=7b = 7 — בדיוק הממוצע. ההפרש הוא 33, ואפשר לבדוק: 4,7,104, 7, 10.

שתי הטעויות של הסדרה החשבונית.

an=a1+nda_n = a_1 + nd
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

(n−1)(n-1) קפיצות, לא nn. עם nn מקבלים תמיד איבר אחד קדימה.

Sn=n⋅an2S_n = \frac{n \cdot a_n}{2}
Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הסכום מזווג את הראשון עם האחרון. שכחת a1a_1 נותנת בערך חצי מהתשובה.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו a10a_{10}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

5+9⋅35 + 9 \cdot 3

תשע קפיצות

=32= 32

(n−1)(n-1), לא nn.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו S10S_{10}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 185

הפתרון:

a10=32a_{10} = 32

קודם האחרון

10(5+32)2=185\frac{10(5+32)}{2} = 185

בלי a10a_{10} אי אפשר להתחיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו S20S_{20}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 670

הפתרון:

a20=5+19⋅3=62\begin{aligned}a_{20} &= 5 + 19 \cdot 3 \\ &= 62\end{aligned}
20(5+62)2=670\frac{20(5+62)}{2} = 670

אותה דרך בדיוק, מספרים גדולים יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה a1=100a_1 = 100, d=−4d = -4. באיזה מקום nn מתקבל האיבר 00?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

100−4(n−1)=0100 - 4(n-1) = 0
n−1=25⇒n=26\begin{aligned}n - 1 &= 25 \Rightarrow n \\ &= 26\end{aligned}

הפרש שלילי — סדרה יורדת. הנוסחה לא משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האיברים 44, bb, 1010 עוקבים בסדרה חשבונית. מהו bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

2b=4+102b = 4 + 10

האמצעי הוא הממוצע

b=7b = 7

וההפרש יוצא 33: 4,7,104, 7, 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו סכום 50 המספרים האי-זוגיים הראשונים (1,3,5,…1, 3, 5, \ldots)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2500

הפתרון:

a1=1  d=2\begin{aligned}a_1 &= 1 \ \\ \ d &= 2\end{aligned}
a50=1+49⋅2=99\begin{aligned}a_{50} &= 1 + 49 \cdot 2 \\ &= 99\end{aligned}
50(1+99)2=2500\frac{50(1+99)}{2} = 2500

2500=5022500 = 50^2 — סכום nn האי-זוגיים הראשונים הוא תמיד n2n^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה חשבונית, כמה קפיצות יש מ-a1a_1 ל-a12a_{12}?

  1. 10
  2. 12
  3. 11
  4. 13
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 11

הפתרון:

12−1=1112 - 1 = 11

בדיוק ה-(n−1)(n-1) של הנוסחה. ספרו קפיצות, לא איברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה חשבונית a3=11a_3 = 11 ו-a7=27a_7 = 27. מהו ההפרש dd?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

a7−a3=4da_7 - a_3 = 4d

ארבע קפיצות ביניהם

27−11=16⇒d=4\begin{aligned}27 - 11 &= 16 \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

לא צריך את a1a_1. ההפרש בין שני איברים מגלה את dd ישירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה חשבונית a3=11a_3 = 11 ו-d=4d = 4. מהו a1a_1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d

שתי קפיצות

11=a1+8⇒a1=3\begin{aligned}11 &= a_1 + 8 \Rightarrow a_1 \\ &= 3\end{aligned}

הדרך אחורה: מחסרים את הקפיצות במקום להוסיף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרה שבה כל איבר גדול מקודמו ב-77. מה נכון?

  1. היא חשבונית עם d=7d = 7
  2. תלוי ב-a1a_1
  3. היא הנדסית עם q=7q = 7
  4. היא לא סדרה מוכרת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א היא חשבונית עם d=7d = 7

הפתרון:

an+1−an=7a_{n+1} - a_n = 7

הפרש קבוע

חיבור קבוע ⇐ חשבונית. כפל קבוע ⇐ הנדסית. זו ההבחנה היחידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה סדרה חשבונית עם איבר ראשון a1a_1 והפרש dd. הוכיחו: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d.

  • בסדרה חשבונית: ak+1=ak+da_{k+1} = a_k + d לכל kk
  • האיבר הראשון הוא a1a_1

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

להציג את התשובה והפתרון
  1. a2=a1+da_2 = a_1 + d — הגדרת הסדרה, צעד אחד
  2. a3=a2+d=a1+2da_3 = a_2 + d = a_1 + 2d — עוד צעד, בהצבת השורה הקודמת
  3. מ-a1a_1 אל ana_n יש n−1n-1 צעדים — ספירת המעברים בין nn איברים
  4. כל צעד מוסיף dd בדיוק — ההפרש קבוע בכל הסדרה
  5. an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d — n−1n-1 צעדים, כל אחד מוסיף dd
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת