תרגול · סדרות · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: האיבר הכללי $a_n$ , הסכום $S_n$ , ההפרש מתוך שני איברים, ושלושה איברים עוקבים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

בסדרה חשבונית $a_1 = 7$ ו- $d = 4$ . מהו $a_{15}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63

הפתרון:

a_{15} = 7 + 14 \cdot 4

ארבע-עשרה קפיצות

= 63

$(n-1)$ קפיצות, לא $n$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה חשבונית $a_1 = 20$ ו- $d = -3$ . האיבר $a_5$ שווה ל- $5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

a_5 = 20 + 4 \cdot (-3)

ארבע קפיצות בלבד

= 8

התשובה $5$ מתקבלת מחמש קפיצות — זו בדיוק הטעות של $n$ במקום $n-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

האיברים $9 \ , \ b \ , \ 21$ הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית. מהו $b$ ?

$6$
$12$
$15$
$30$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $15$

הפתרון:

\begin{aligned}2b &= 9 + 21 \\ &= 30\end{aligned}

האמצעי הוא הממוצע של שכניו

b = 15

בדיקה: $9, 15, 21$ — ההפרש $6$ בשני הצעדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

בסדרה חשבונית $a_1 = 3$ ו- $d = 5$ . מהו $S_{12}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 366

הפתרון:

\begin{aligned}a_{12} &= 3 + 11 \cdot 5 \\ &= 58\end{aligned}

קודם האיבר האחרון

S_{12} = \frac{12(3+58)}{2}

ואז הסכום

= 366

הסכום נשען על האיבר האחרון — חשבו אותו קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה חשבונית $a_4 = 17$ ו- $a_9 = 42$ . מהו $a_1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

a_9 - a_4 = 5d

חמש קפיצות ביניהם

\begin{aligned}42 - 17 &= 25 \Rightarrow d \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}a_1 &= a_4 - 3d \\ &= 17 - 15 \\ &= 2\end{aligned}

שלוש קפיצות אחורה

ההפרש בין שני איברים מגלה את $d$ , ואז חוזרים אחורה אל $a_1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באולם מופעים בחיפה יש 25 שורות. בשורה הראשונה 18 מושבים, ובכל שורה יש 2 מושבים יותר מבשורה שלפניה. כמה מושבים יש באולם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1050

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 18 \ \\ \ d &= 2 \ \\ \ n &= 25\end{aligned}

סדרה חשבונית

\begin{aligned}a_{25} &= 18 + 24 \cdot 2 \\ &= 66\end{aligned}

בשורה האחרונה

\begin{aligned}S_{25} &= \frac{25(18+66)}{2} \\ &= 1050\end{aligned}

באולם 1050 מושבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איזו מהסדרות היא סדרה חשבונית?

$1, 4, 9, 16, \ldots$
$2, 4, 8, 16, \ldots$
$5, 8, 12, 17, \ldots$
$3, 7, 11, 15, \ldots$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $3, 7, 11, 15, \ldots$

הפתרון:

\begin{aligned}7-3 &= 11-7 \\ &= 15-11 \\ &= 4\end{aligned}

הפרש קבוע

\begin{aligned}4-2 &= 2 \ \\ \ 8-4 &= 4\end{aligned}

בסדרה $2, 4, 8, 16$ מכפילים, לא מוסיפים

חיבור קבוע ⇐ חשבונית. בשלוש הסדרות האחרות ההפרשים גדלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נועה חוסכת לקראת טיול. הקופה הייתה ריקה בהתחלה. בשבוע הראשון היא שמה בקופה 20 ש״ח, ובכל שבוע היא שמה 5 ש״ח יותר מבשבוע הקודם. בשבוע מסוים היא שמה בקופה 80 ש״ח. כמה ש״ח היו בקופה בסוף אותו שבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 650

הפתרון:

20 + 5(n-1) = 80

באיזה שבוע היא שמה 80

\begin{aligned}n - 1 &= 12 \Rightarrow n \\ &= 13\end{aligned}

\begin{aligned}S_{13} &= \frac{13(20+80)}{2} \\ &= 650\end{aligned}

סכום כל השבועות עד אז

שני שלבים: קודם $n$ , ואז הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה חשבונית $a_1 = 5$ , וסכום עשרת האיברים הראשונים הוא $S_{10} = 230$ . מהו ההפרש $d$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\frac{10(5 + a_{10})}{2} = 230

נוסחת הסכום

\begin{aligned}5 + a_{10} &= 46 \Rightarrow a_{10} \\ &= 41\end{aligned}

\begin{aligned}41 &= 5 + 9d \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

תשע קפיצות

הסכום נותן את האיבר האחרון, והאיבר האחרון נותן את $d$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האיברים $x \ , \ 2x+1 \ , \ 5x-4$ הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית. מהו $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2(2x+1) = x + (5x-4)

האמצעי פעמיים שווה לסכום השכנים

4x + 2 = 6x - 4

x = 3

האיברים הם $3, 7, 11$ — ההפרש $4$ בשני הצעדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev