סדרה חשבונית

תמליל

מ-a 1 אל a 10: עשר קפיצות או תשע? תשע. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק, והיא עולה סעיף שלם. בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר — ההפרש d. כל השאר נובע מזה: a n שווה a 1 ועוד, בסוגריים, n פחות 1, כפול d. שימו לב ל-n פחות 1: יש n פחות 1 קפיצות, לא n.

עם n מקבלים תמיד איבר אחד קדימה. הרעיון של גאוס לחישוב סכום: מזווגים את הראשון עם האחרון, את השני עם הלפני-אחרון, וכל זוג נותן אותו סכום. יש n חלקי 2 זוגות, ולכן S n שווה n כפול הסכום של a 1 ו-a n, חלקי 2. הסכום נשען על האיבר האחרון — מי שמנסה לחשב S n בלי a n נתקע, חשבו אותו קודם, תמיד. בסדרה שבה a 1 שווה 100 ו-d שווה מינוס 4, באיזה מקום מופיע האיבר 0?

100 פחות 4 כפול, בסוגריים, n פחות 1, שווה 0. כלומר 4 כפול, בסוגריים, n פחות 1, שווה 100, ו-n שווה 26. הפרש שלילי הוא סדרה יורדת — הנוסחה זהה, רק הסימן משתנה. האיברים 4, b ו-10 עוקבים בסדרה חשבונית. מהו b?

2b שווה 4 ועוד 10, כלומר 14, ולכן b שווה 7 — בדיוק הממוצע. ההפרש הוא 3, ואפשר לבדוק: 4, 7, 10. זה הכלל עבור שלושה איברים עוקבים: 2b שווה a ועוד c. האיבר האמצעי הוא הממוצע של שכניו. זהו גם התנאי שבודקים כשמבקשים להוכיח שסדרה היא סדרה חשבונית.