פותרים יחד · דמיון משולשים · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלון 35371, כמו השאלה של הדמיון שמופיעה בכל מבחן: שני דגלים שווי שוקיים, מראה ומעלית, מדרגות נעות, ושני אוהלים. כל שאלה נפתרת יחד, סעיף אחרי סעיף. אחרי כל אחת מחכה לכם שאלה תאומה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים: איזו זווית שווה ולמה, מהו $k$ , ואיזה אורך מוכפל בו. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — שני דגלים: פיתגורס, יחס ושטח

הדגל

ABC

והדגל

DEF

: שני משולשים שווי שוקיים דומים.

AH

ו-

DK

הגבהים לבסיסים.

פעילות אינטראקטיבית

לקראת יום העצמאות תופרים שני דגלים בצורת משולש שווה שוקיים. בדגל הקטן $ABC$ השוקיים $AB = AC = 50$ ס״מ והבסיס $BC = 60$ ס״מ. הדגל הגדול $DEF$ דומה לקטן, ויחס הצלעות $3:2$ . א. חשבו את הגובה $AH$ ואת שטח הדגל הקטן. ב. מצאו את צלעות הדגל הגדול. ג. מצאו את שטח הדגל הגדול. ד. סביב הדגל הגדול תופרים סרט באורך $2.5$ מטר. האם הסרט מספיק?

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 50 \\ \quad BC &= 60 \\ \quad k &= \frac{3}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגובה אינו נתון: הוא בא מפיתגורס.

א. חצי בסיס

\begin{aligned}BH &= \frac{60}{2} \\ &= 30\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה אותו.

א. גובה

\begin{aligned}AH &= \sqrt{50^2 - 30^2} \\ &= \sqrt{1600} \\ &= 40\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABH$ .

א. שטח

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{60 \cdot 40}{2} \\ &= 1200\end{aligned}

בסמ״ר.

ב.

\begin{aligned}DE &= DF \\ &= 50 \cdot 1.5 \\ &= 75 \\ \quad EF &= 60 \cdot 1.5 \\ &= 90\end{aligned}

יחס $3:2$ פירושו $k = 1.5$ מהקטן לגדול.

ג.

\begin{aligned}S_{DEF} &= 1200 \cdot 1.5^2 \\ &= 2700\end{aligned}

השטחים ביחס $k^2 = 2.25$ . בדיקה: הגובה $60$ , ו- $\frac{90 \cdot 60}{2} = 2700$ .

ד.

\begin{aligned}P_{DEF} &= 75 + 75 + 90 \\ &= 240 < 250\end{aligned}

$2.5$ מטר הם $250$ ס״מ. הסרט מספיק.

שני מקומות שבהם השאלה «תופסת»: לחצות את הבסיס בפיתגורס, ולהמיר מטרים לס״מ בסעיף ד.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה 1, מה היה יוצא בסעיף ג למי שכפל את השטח ב- $k$ ולא ב- $k^2$ ? איך הבדיקה בעזרת הגובה חושפת את הטעות?

להציג את התשובה והפתרון

$1200 \cdot 1.5 = 1800$ . אבל הגובה של הגדול הוא $60$ והבסיס $90$ , ו- $\frac{90 \cdot 60}{2} = 2700$ . שני אורכים גדלו פי $1.5$ , ולכן השטח פי $1.5 \cdot 1.5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מראה ומעלית

EF

גובה העיניים,

M

המראה,

TB

הבניין.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2 — גובה בניין במראה

יעל מניחה מראה $M$ על הקרקע ומתרחקת עד שהיא רואה בה את ראש הבניין $T$ . העיניים שלה בגובה $EF = 1.6$ מטר, היא עומדת $FM = 2$ מטר מהמראה, והמראה נמצאת $MB = 30$ מטר מבסיס הבניין. א. הסבירו למה $\triangle EFM \sim \triangle TBM$ . ב. מצאו את גובה הבניין. ג. מעלית עולה מהקרקע עד הגג במהירות $1.5$ מטר לשנייה. כמה שניות נמשכת העלייה?

$24$ מטר, $16$ שניות

$24$ מטר, $36$ שניות

$0.1$ מטר, $0.07$ שניות

$25.6$ מטר, $17$ שניות

סעיף א: אילו שתי זוויות שוות?

$\angle F = \angle B = 90^\circ$ , ו- $\angle EMF = \angle TMB$ כי זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה

להציג את התשובה והפתרון

כן. יעל והבניין מאונכים לקרקע, והמראה מחזירה את הקרן באותה זווית.

$\angle E = \angle T$ כי הן זוויות קודקודיות

להציג את התשובה והפתרון

$E$ ו- $T$ רחוקות זו מזו; זוויות קודקודיות נוצרות רק בחיתוך של שני ישרים.

$EF = TB$

להציג את התשובה והפתרון

אורכים שווים אינם נתונים, ולא צריך אותם: ז.ז עובד עם זוויות.

\triangle EFM \sim \triangle TBM

משפט ז.ז.

סעיף ב: איזה יחס נותן את $TB$ ?

$\frac{TB}{EF} = \frac{MB}{FM} = \frac{30}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

בשני היחסים המשולש של הבניין במונה.

$\frac{TB}{EF} = \frac{FM}{MB}$

להציג את התשובה והפתרון

היחס הפוך, והבניין היה יוצא נמוך מיעל.

$\frac{TB}{EF} = \frac{FB}{FM} = \frac{32}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$FB$ אינה צלע של המשולש $TBM$ .

\begin{aligned}TB &= 1.6 \cdot 15 \\ &= 24\end{aligned}

הבניין בגובה $24$ מטר.

סעיף ג: איך מחשבים את זמן העלייה?

מחלקים את הגובה במהירות

להציג את התשובה והפתרון

זמן = דרך חלקי מהירות.

כופלים את הגובה במהירות

להציג את התשובה והפתרון

$24 \cdot 1.5 = 36$ אינו זמן: היחידות הן מטר כפול מטר לשנייה.

\begin{aligned}t &= \frac{24}{1.5} \\ &= 16\end{aligned}

$16$ שניות.

להציג את התשובה והפתרון

$24$ מטר ו- $16$ שניות. המלכודת של המראה: המרחק מהבניין הוא עד המראה, $30$ , ולא עד יעל, $32$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

אם יעל הייתה נסוגה עוד מטר אחד אחורה, האם הייתה רואה במראה נקודה גבוהה יותר או נמוכה יותר?

להציג את התשובה והפתרון

נמוכה יותר. עם $FM = 3$ נקבל $\frac{TB}{1.6} = \frac{30}{3}$ , כלומר $16$ מטר. כדי לראות את הגג שוב היא צריכה להזיז גם את המראה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מדרגות נעות

AC

המדרגות הנעות,

BC

הגובה,

DE

עמוד תמיכה אנכי.

פעילות אינטראקטיבית

מדרגות נעות בקניון עולות מ- $A$ עד $C$ , לגובה $BC = 6$ מטר, לאורך מרחק אופקי $AB = 8$ מטר. עמוד תמיכה אנכי $DE$ עומד על הרצפה במרחק $AD = 3.2$ מטר מ- $A$ . א. חשבו את אורך המדרגות $AC$ . ב. הסבירו למה $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . ג. חשבו את $DE$ ואת $AE$ .

\begin{aligned}BC &= 6 \\ \quad AB &= 8 \\ \quad AD &= 3.2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא פיתגורס, והדמיון מתחיל בסעיף ב.

א.

\begin{aligned}AC &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית $ABC$ .

ב. זווית

\angle A = \angle A

זווית משותפת.

ב. זווית

\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

העמוד והקיר מאונכים לרצפה.

ב. מסקנה

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט ז.ז.

ג. יחס

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{3.2}{8} \\ &= 0.4\end{aligned}

מהגדול לקטן.

ג.

\begin{aligned}DE &= 6 \cdot 0.4 \\ &= 2.4 \\ \quad AE &= 10 \cdot 0.4 \\ &= 4\end{aligned}

$DE$ מתאימה ל- $BC$ , ו- $AE$ ל- $AC$ .

את $AE$ אפשר לחשב גם בפיתגורס, $\sqrt{3.2^2 + 2.4^2} = 4$ . שתי הדרכים חייבות להסכים.

לעשות את הפעילות ב-elev

נוסע עומד על המדרגות בנקודה שנמצאת $5$ מטר מ- $A$ לאורך $AC$ . באיזה גובה הוא נמצא?

להציג את התשובה והפתרון

אותו משולש, יחס אחר: $k = \frac{5}{10} = 0.5$ , ולכן הגובה $6 \cdot 0.5 = 3$ מטר.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — אוהל קטן ב-20%

חזית האוהל הגדול

ABC

וחזית האוהל הקטן

DEF

: משולשים שווי שוקיים דומים.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4 — כמה בד חוסכים

חזית של אוהל גדול היא משולש שווה שוקיים: השוקיים $2.5$ מטר והבסיס $3$ מטר. באוהל קטן, שחזיתו דומה, כל צלע קצרה ב- $20\%$ . א. חשבו את שטח החזית של האוהל הגדול. ב. חשבו את שטח החזית של האוהל הקטן. ג. האם הבד בחזית הקטנה קטן ביותר מ- $30\%$ ?

$3$ ו- $2.4$ מ״ר; לא, קטן ב- $20\%$

$3$ ו- $1.92$ מ״ר; כן, קטן ב- $36\%$

$3.75$ ו- $2.4$ מ״ר; כן

$3$ ו- $1.92$ מ״ר; לא, קטן ב- $20\%$

סעיף א: איך מוצאים את הגובה של החזית הגדולה?

פיתגורס עם השוק $2.5$ וחצי הבסיס $1.5$

להציג את התשובה והפתרון

הגובה חוצה את הבסיס.

פיתגורס עם השוק $2.5$ והבסיס $3$

להציג את התשובה והפתרון

$2.5^2 - 3^2 < 0$ : הבסיס כולו אינו ניצב במשולש ישר הזווית.

\begin{aligned}h &= \sqrt{2.5^2 - 1.5^2} \\ &= 2 \\ \quad S &= \frac{3 \cdot 2}{2} \\ &= 3\end{aligned}

$3$ מ״ר.

סעיף ב: מהו יחס הדמיון מהגדול לקטן?

$k = 0.8$

להציג את התשובה והפתרון

קצר ב- $20\%$ : נשארים $80\%$ מכל צלע.

$k = 0.2$

להציג את התשובה והפתרון

$0.2$ הוא מה שהורידו, לא מה שנשאר.

$k = 1.2$

להציג את התשובה והפתרון

$1.2$ הוא הגדלה ב- $20\%$ .

\begin{aligned}S_{DEF} &= 3 \cdot 0.8^2 \\ &= 3 \cdot 0.64 \\ &= 1.92\end{aligned}

$1.92$ מ״ר.

סעיף ג: בכמה אחוזים קטן השטח?

$1 - 0.64 = 0.36$ , כלומר $36\%$

להציג את התשובה והפתרון

השטח קטן ב- $36\%$ , יותר מ- $30\%$ .

$20\%$ , כמו הצלעות

להציג את התשובה והפתרון

השטח יורד פי $k^2$ , לא פי $k$ .

36\% > 30\%

כן.

להציג את התשובה והפתרון

$3$ ו- $1.92$ מ״ר; כן, הבד קטן ב- $36\%$ . צלעות קצרות ב- $20\%$ נותנות שטח קטן ב- $36\%$ , ולא ב- $20\%$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם כל צלע הייתה ארוכה ב- $20\%$ , בכמה אחוזים היה גדל השטח?

להציג את התשובה והפתרון

$k = 1.2$ , ו- $k^2 = 1.44$ . השטח גדל ב- $44\%$ , ולא ב- $40\%$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה, ושאלה 5 מסכמת.

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו השאלות, עם נתונים אחרים.

תרגילים

תרגיל 1

תליון עשוי משני משולשים שווי שוקיים דומים. בקטן השוקיים $13$ מ״מ והבסיס $10$ מ״מ. כל צלע בגדול ארוכה פי $2$ . מהו שטח המשולש הגדול, במ״מ רבועים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

\begin{aligned}h &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

פיתגורס עם חצי הבסיס

\begin{aligned}S_1 &= \frac{10 \cdot 12}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח הקטן

\begin{aligned}S_2 &= 60 \cdot 2^2 \\ &= 240\end{aligned}

השטח פי $k^2$

$240$ . מי שכפל ב- $2$ קיבל $120$ : שני אורכים גדלו, ולכן השטח פי $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אורי רואה במראה שעל הקרקע את ראש המגדל. העיניים שלו בגובה $1.5$ מטר, הוא עומד $2.5$ מטר מהמראה, והמראה נמצאת $20$ מטר מבסיס המגדל. מה גובה המגדל, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\triangle EFM \sim \triangle TBM

זוויות ישרות וזווית פגיעה שווה לזווית החזרה: משפט ז.ז

\begin{aligned}TB &= 1.5 \cdot \frac{20}{2.5} \\ &= 1.5 \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

$\frac{TB}{EF} = \frac{MB}{FM}$

$12$ מטר. המרחק הוא מהמגדל עד המראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מדרגות נעות עולות לגובה $BC = 9$ מטר לאורך מרחק אופקי $AB = 12$ מטר. עמוד אנכי $DE$ עומד במרחק $AD = 4$ מטר מ- $A$ . השלימו.

$AC =$ ____ מטר , $DE =$ ____ מטר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AC =$ 15 מטר , $DE =$ 3 מטר

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 9^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית $A$ משותפת ושתי זוויות ישרות: משפט ז.ז

\begin{aligned}DE &= 9 \cdot \frac{4}{12} \\ &= 3\end{aligned}

$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$

$AC = 15$ , $DE = 3$ . היחס בא מהמרחקים האופקיים, $AD$ מול $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חזית של אוהל גדול היא משולש שווה שוקיים: השוקיים $5$ מטר והבסיס $6$ מטר. באוהל קטן, שחזיתו דומה, כל צלע קצרה ב- $25\%$ . מהו שטח החזית של האוהל הקטן, במ״ר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.75

הפתרון:

\begin{aligned}h &= \sqrt{5^2 - 3^2} \\ &= 4 \\ \quad S &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח החזית הגדולה

\begin{aligned}k &= 0.75 \\ \quad k^2 &= 0.5625\end{aligned}

קצר ב- $25\%$ : נשארים $75\%$

\begin{aligned}S_{DEF} &= 12 \cdot 0.5625 \\ &= 6.75\end{aligned}

$6.75$ מ״ר. מי שהוריד $25\%$ מהשטח קיבל $9$ : השטח קטן ביותר מ- $25\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שלט הוא משולש שווה צלעות שצלעו $60$ ס״מ. שלט גדול דומה לו, ויחס הצלעות $5:3$ . סרט באורך $2.8$ מטר מספיק כדי להקיף את השלט הגדול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

60 \cdot \frac{5}{3} = 100

צלע השלט הגדול, בס״מ

\begin{aligned}P &= 3 \cdot 100 \\ &= 300 > 280\end{aligned}

ההיקף, מול $2.8$ מטר שהם $280$ ס״מ

לא נכון: חסרים $20$ ס״מ. המלכודת: להכפיל ב- $\frac{3}{5}$ במקום ב- $\frac{5}{3}$ , או לשכוח להמיר מטרים לס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שני דגלים: פיתגורס, יחס ושטח

2 — מראה ומעלית

3 — מדרגות נעות

4 — אוהל קטן ב-20%

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev