צל, מראה ועץ

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

קבוצת צופים ביער בן שמן רוצה לדעת מה גובהו של אורן גבוה. אף אחד לא מטפס, ואין סרגל באורך כזה. יש להם מקל, סרט מדידה, ובאחד התיקים גם מראה קטנה. הנה שלוש דרכים, וכולן נשענות על אותו רעיון: משפט ז.ז.

ABCDEF
ABAB העץ ו-BCBC הצל שלו. DEDE המקל ו-EFEF הצל שלו. קרני השמש ACAC ו-DFDF מקבילות.

למה △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF?

להציג את התשובה והפתרון

∠B=∠E=90∘\angle B = \angle E = 90^\circ: העץ והמקל מאונכים לקרקע. ∠C=∠F\angle C = \angle F: קרני השמש באותו רגע מקבילות, ולכן הן פוגעות בקרקע באותה זווית. שתי זוויות, משפט ז.ז.

דרך 1: הצל

באותו רגע, היחס בין גובה לצל שווה אצל כל העצמים שעומדים זקוף. מודדים את המקל ואת הצל שלו, מודדים את הצל של העץ, ומשלימים.

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

גובה העץ מהצל

מקל שגובהו 1.51.5 מטר מטיל צל של 22 מטר. באותו רגע העץ מטיל צל של 1212 מטר. מה גובה העץ?

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

זוויות ישרות וזווית השמש: משפט ז.ז

k=BCEF=122=6\begin{aligned}k &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הצל של העץ מול הצל של המקל

AB=6⋅1.5=9\begin{aligned}AB &= 6 \cdot 1.5 \\ &= 9\end{aligned}

הגובה של העץ מול הגובה של המקל

דרך 2: צל משותף

מעמידים את המקל בתוך הצל של העץ, במקום שבו קצה הצל של המקל נוגע בקצה הצל של העץ. העץ והמקל מקבילים (שניהם מאונכים לקרקע), ולכן זו התצורה של ישר מקביל לצלע.

TBSKP
TBTB העץ ו-SKSK המקל. קרן השמש TPTP עוברת בראש המקל, והצלים נגמרים באותה נקודה PP.

בשרטוט של הצל המשותף, איזו צלע במשולש הגדול מתאימה ל-KPKP?

להציג את התשובה והפתרון

BPBP כולה, מבסיס העץ ועד קצה הצל. △SKP∼△TBP\triangle SKP \sim \triangle TBP לפי ז.ז: ∠P\angle P משותפת, ו-∠SKP=∠TBP=90∘\angle SKP = \angle TBP = 90^\circ. לכן TBSK=BPKP\frac{TB}{SK} = \frac{BP}{KP}, ולא BKKP\frac{BK}{KP}.

דרך 3: המראה

מניחים מראה על הקרקע ב-MM ומתרחקים עד שרואים בה את ראש העץ. זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה, ולכן ∠EMF=∠TMB\angle EMF = \angle TMB. עם שתי הזוויות הישרות, שוב משפט ז.ז.

EFMBT
EFEF הגובה של העיניים. MM המראה. TBTB העץ.

גובה העץ במראה

העיניים של נועה בגובה 1.61.6 מטר. היא עומדת 22 מטר מהמראה, והמראה נמצאת 1515 מטר מהעץ. מה גובה העץ?

△EFM∼△TBM\triangle EFM \sim \triangle TBM

∠F=∠B=90∘\angle F = \angle B = 90^\circ, ו-∠EMF=∠TMB\angle EMF = \angle TMB (זווית פגיעה וזווית החזרה): משפט ז.ז

TBEF=BMFM=152\begin{aligned}\frac{TB}{EF} &= \frac{BM}{FM} \\ &= \frac{15}{2}\end{aligned}

צלעות מתאימות

TB=1.6⋅7.5=12\begin{aligned}TB &= 1.6 \cdot 7.5 \\ &= 12\end{aligned}

העץ בגובה 1212 מטר

הטעויות של המדידה.

ABDE=EFBC\frac{AB}{DE} = \frac{EF}{BC}
ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

שני היחסים באותו כיוון: עץ מול מקל בשניהם. יחס הפוך באחד מהם נותן עץ נמוך מהמקל.

TBEF=FBFM\frac{TB}{EF} = \frac{FB}{FM}
TBEF=BMFM\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}

במראה, המרחק שמשתמשים בו הוא מהעץ עד המראה, לא מהעץ עד האדם.

בכל שאלה כזאת כתבו את שלושת השלבים: אילו שתי זוויות שוות ולמה, איזה זוג צלעות ידוע, ואיזו צלע מתאימה לנעלם.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDEF

מקל שגובהו 1.51.5 מטר מטיל צל של 22 מטר. באותו רגע בניין מטיל צל של 1616 מטר. מה גובה הבניין, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

זוויות ישרות וזווית השמש: משפט ז.ז

k=162=8\begin{aligned}k &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

צל מול צל

AB=1.5⋅8=12\begin{aligned}AB &= 1.5 \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

גובה מול גובה

1212 מטר. הצל של הבניין ארוך פי 88, ולכן גם הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDEF

עץ שגובהו 66 מטר מטיל צל של 4.54.5 מטר. באותו רגע ילד שגובהו 1.61.6 מטר עומד לידו. מה אורך הצל של הילד, במטרים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.2

הפתרון:

EFBC=DEAB\frac{EF}{BC} = \frac{DE}{AB}

משפט ז.ז: צל מול צל, גובה מול גובה

EF=4.5⋅1.66=1.2\begin{aligned}EF &= 4.5 \cdot \frac{1.6}{6} \\ &= 1.2\end{aligned}

1.21.2 מטר. בדיקה: אצל העץ הצל קצר מהגובה (4.5<64.5 < 6), ולכן גם אצל הילד (1.2<1.61.2 < 1.6).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

EFMBT

העיניים של דני בגובה 1.51.5 מטר. הוא רואה במראה שעל הקרקע את ראש העץ. דני עומד 22 מטר מהמראה, והמראה נמצאת 1212 מטר מהעץ. מה גובה העץ, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

△EFM∼△TBM\triangle EFM \sim \triangle TBM

זוויות ישרות, וזווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה: משפט ז.ז

TBEF=BMFM=122=6\begin{aligned}\frac{TB}{EF} &= \frac{BM}{FM} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}
TB=1.5⋅6=9\begin{aligned}TB &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

99 מטר. המרחק הנכון הוא מהעץ עד המראה, 1212, ולא עד דני, 1414.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

TBSKP
TBTB העץ, SKSK המקל, PP קצה שני הצלים.

מקל שגובהו 22 מטר עומד 66 מטר מבסיס העץ, בתוך הצל של העץ. קצה הצל של המקל נוגע בקצה הצל של העץ, והצל של המקל ארוך 33 מטר. מה גובה העץ, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

△SKP∼△TBP\triangle SKP \sim \triangle TBP

∠P\angle P משותפת ו-∠K=∠B=90∘\angle K = \angle B = 90^\circ: משפט ז.ז

BP=6+3=9\begin{aligned}BP &= 6 + 3 \\ &= 9\end{aligned}

מבסיס העץ עד קצה הצל

TB=2⋅93=6\begin{aligned}TB &= 2 \cdot \frac{9}{3} \\ &= 6\end{aligned}

TBSK=BPKP\frac{TB}{SK} = \frac{BP}{KP}

66 מטר. מי שהשווה ל-BK=6BK = 6 במקום ל-BP=9BP = 9 קיבל 44: זה מקל מול חלק, לא מול שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

EFMBT

במדידה עם מראה, EFEF גובה העיניים, MM המראה ו-TBTB העץ. איזה שוויון נכון?

  1. TBEF=FBFM\frac{TB}{EF} = \frac{FB}{FM}
  2. TBFM=EFBM\frac{TB}{FM} = \frac{EF}{BM}
  3. TBEF=FMBM\frac{TB}{EF} = \frac{FM}{BM}
  4. TBEF=BMFM\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד TBEF=BMFM\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}

הפתרון:

△TBM∼△EFM\triangle TBM \sim \triangle EFM

T↔ET \leftrightarrow E, B↔FB \leftrightarrow F, M↔MM \leftrightarrow M

TBEF=BMFM\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}

צלע במשולש של העץ חלקי הצלע המתאימה במשולש של האדם

בשני היחסים המשולש של העץ במונה. FMBM\frac{FM}{BM} הופך את הכיוון, ו-FBFB אינה צלע של אף משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDE

רמפה לכיסא גלגלים עולה לגובה BC=1.2BC = 1.2 מטר, לאורך מרחק אופקי AB=4AB = 4 מטר. במרחק AD=2.5AD = 2.5 מטר מתחילת הרמפה מעמידים מוט אנכי DEDE שתומך ברמפה. מה אורך המוט, במטרים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

∠A\angle A משותפת ו-∠D=∠B=90∘\angle D = \angle B = 90^\circ: משפט ז.ז

DEBC=ADAB=2.54\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2.5}{4}\end{aligned}
DE=1.2⋅2.54=0.75\begin{aligned}DE &= 1.2 \cdot \frac{2.5}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

0.750.75 מטר. המוט קצר מ-BCBC, כמו שצריך: הוא קרוב יותר לתחילת הרמפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

TBSKP
TBTB הפנס, SKSK האדם, PP קצה הצל של האדם.

פנס רחוב בגובה 4.54.5 מטר. אדם שגובהו 1.51.5 מטר עומד 66 מטר מבסיס הפנס, והאור של הפנס מטיל את הצל שלו הלאה. מה אורך הצל של האדם, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

△SKP∼△TBP\triangle SKP \sim \triangle TBP

∠P\angle P משותפת ושתי זוויות ישרות: משפט ז.ז

1.54.5=x6+x\frac{1.5}{4.5} = \frac{x}{6 + x}

xx הצל; BP=6+xBP = 6 + x

4.5x=1.5(6+x) ⇒ 3x=9 ⇒ x=3\begin{aligned}4.5x &= 1.5(6 + x) \ \Rightarrow \ 3x \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

33 מטר. הצלע של המשולש הגדול היא 6+x6 + x, לא 66: מי שכתב 1.54.5=x6\frac{1.5}{4.5} = \frac{x}{6} קיבל 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDEF

באותו רגע, מקל של 11 מטר מטיל צל של 1.51.5 מטר. לכן כל עמוד שעומד זקוף באותו מקום מטיל צל ארוך פי 1.51.5 מהגובה שלו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

BCAB=EFDE=1.5\begin{aligned}\frac{BC}{AB} &= \frac{EF}{DE} \\ &= 1.5\end{aligned}

משפט ז.ז: כל המשולשים של עמוד וצל דומים באותו רגע

נכון. באותו רגע כל המשולשים דומים, ולכן היחס צל חלקי גובה קבוע. ברגע אחר, כשהשמש גבוהה יותר, היחס משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDE

גג של סוכה בצורת משולש: הקורות ABAB ו-ACAC נפגשות בראש AA, ובסיס הגג BC=8BC = 8 מטר. קורה אופקית DEDE מקבילה ל-BCBC, כאשר AD=1.2AD = 1.2 מטר ו-AB=3AB = 3 מטר. מה אורך הקורה DEDE, במטרים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.2

הפתרון:

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית AA משותפת וזוויות מתאימות בין ישרים מקבילים: משפט ז.ז

DEBC=ADAB=1.23=0.4\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{1.2}{3} \\ &= 0.4\end{aligned}
DE=8⋅0.4=3.2\begin{aligned}DE &= 8 \cdot 0.4 \\ &= 3.2\end{aligned}

3.23.2 מטר. ABAB נתונה כולה: אין לחבר או לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת