יחס הדמיון · דמיון משולשים · כיתה י״א

עירייה מתכננת שתי ערוגות פרחים בצורת משולש. הערוגה הגדולה היא הגדלה של הקטנה: כל צלע ארוכה פי $2$ . לערוגה הקטנה הספיקה שקית זרעים אחת. כמה שקיות צריך לגדולה? ואורך הגדר סביבה?

הערוגה

DEF

היא הגדלה פי

2

של הערוגה

ABC

כמה משולשים בגודל של $ABC$ נכנסים בתוך $DEF$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ארבעה. מחברים את אמצעי הצלעות של $DEF$ ומקבלים ארבעה משולשים חופפים ל- $ABC$ . לכן צריך $4$ שקיות זרעים. הגדר, לעומת זאת, רק פי $2$ : כל צלע פי $2$ .

מציאת צלע חסרה

1

כותבים את הדמיון בסדר הנכון ומנמקים אותו (בדרך כלל משפט ז.ז).

2

מוצאים זוג צלעות מתאימות ששתיהן ידועות, ומחשבים מהן את $k$ .

3

כופלים ב- $k$ (מהקטן לגדול) או מחלקים ב- $k$ (מהגדול לקטן).

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

בישר המקביל לצלע, הצלע של המשולש הגדול היא כל $AB$ , כלומר $AD + DB$ . המשולש הקטן $ADE$ מושווה לשלם, לא לחלק שנשאר.

DE \parallel BC

. המשולש הקטן

ADE

מול המשולש הגדול

ABC

צלע במשולש הגדול

במשולש $ABC$ , $DE \parallel BC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 8$ ו- $DE = 5$ ס״מ. מצאו את $BC$ .

\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית $A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות בין ישרים מקבילים: משפט ז.ז

\begin{aligned}AB &= 4 + 8 \\ &= 12\end{aligned}

הצלע השלמה

\begin{aligned}k &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

מהקטן לגדול

\begin{aligned}BC &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

$BC$ מתאימה ל- $DE$

היקפים ושטחים

כל אורך במשולש הגדול ארוך פי $k$ : הצלעות, הגבהים, ולכן גם ההיקף. אבל שטח הוא אורך כפול אורך. אם הבסיס גדל פי $k$ והגובה גדל פי $k$ , השטח גדל פי $k \cdot k = k^2$ .

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2\end{aligned}

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $3$ . פי כמה גדל ההיקף, ופי כמה השטח?

להציג את התשובה והפתרון

ההיקף פי $3$ , השטח פי $3^2 = 9$ .

השטח של משולש גדול פי $25$ מהשטח של משולש דומה לו. פי כמה ארוכה כל צלע?

להציג את התשובה והפתרון

הפוך: $k^2 = 25$ , ולכן $k = 5$ . כל צלע ארוכה פי $5$ .

משולשים שווי שוקיים דומים

בשאלות רבות שני המשולשים הם משולשים שווי שוקיים דומים: שני דגלים, שני אוהלים, שני מדפים. הגובה לבסיס לא נתון, ומוצאים אותו במשפט פיתגורס: הגובה חוצה את הבסיס, ונוצר משולש ישר זווית.

משולש שווה שוקיים

ABC

(

AB = AC

) והגובה

AH

לבסיס.

שני דגלים

דגל קטן הוא משולש שווה שוקיים: השוקיים $13$ ס״מ והבסיס $10$ ס״מ. דגל גדול דומה לו, ויחס הדמיון $1.5$ . מצאו את שטח הדגל הקטן ואת שטח הדגל הגדול.

\begin{aligned}BH &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

בשווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AH &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABH$

\begin{aligned}S_1 &= \frac{10 \cdot 12}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח הדגל הקטן, בסמ״ר

\begin{aligned}S_2 &= 60 \cdot 1.5^2 \\ &= 135\end{aligned}

השטחים ביחס $k^2 = 2.25$

בדגלים של הדוגמה, מהו הגובה של הדגל הגדול? חשבו ממנו את השטח בדרך שנייה.

להציג את התשובה והפתרון

גובה הוא אורך: $12 \cdot 1.5 = 18$ . הבסיס $10 \cdot 1.5 = 15$ . השטח $\frac{15 \cdot 18}{2} = 135$ , בדיוק כמו ב- $k^2$ .

הטעויות של היחסים.

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{DB}

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

$DB$ אינו צלע של אף משולש. $AD$ מתאימה ל- $AB$ כולה.

\begin{aligned}k &= 2 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 2\end{aligned}

\frac{S_2}{S_1} = 4

השטח גדל פי $k$ בריבוע. ההיקף הוא שגדל פי $k$ .

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ , $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 5$ , $AB = 15$ ו- $DE = 4$ ס״מ. מצאו את $BC$ , בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית משותפת וזוויות מתאימות בין ישרים מקבילים: משפט ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{15}{5} \\ &= 3\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}BC &= 3 \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

$BC$ מתאימה ל- $DE$

$BC = 12$ ס״מ. כאן $AB$ נתונה כולה, ולכן אין צורך לחבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ , $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ ו- $BC = 15$ ס״מ. מצאו את $DE$ , בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט ז.ז

\begin{aligned}AB &= 6 + 4 \\ &= 10\end{aligned}

הצלע השלמה

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{10}\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}DE &= 15 \cdot \frac{6}{10} \\ &= 9\end{aligned}

$DE = 9$ ס״מ. מי שחישב $15 \cdot \frac{6}{4}$ השווה ל- $DB$ וקיבל צלע ארוכה מ- $BC$ , וזה בלתי אפשרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB = 6$ ו- $DE = 9$ ס״מ. היקף המשולש $ABC$ הוא $24$ ס״מ. מהו היקף המשולש $DEF$ , בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}P_{DEF} &= 24 \cdot 1.5 \\ &= 36\end{aligned}

ההיקף גדל פי $k$

$36$ ס״מ. היקף הוא אורך, ולכן פי $k$ ולא פי $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB = 4$ ו- $DE = 12$ ס״מ. שטח המשולש $ABC$ הוא $10$ סמ״ר. מהו שטח המשולש $DEF$ , בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

השטחים ביחס $k^2$

\begin{aligned}S_{DEF} &= 10 \cdot 9 \\ &= 90\end{aligned}

$90$ סמ״ר, ולא $30$ . $30$ יוצא למי שכפל את השטח ב- $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מגדילים משולש כך שכל צלע ארוכה פי $3$ . פי כמה גדל השטח?

פי $9$
פי $3$
פי $6$
פי $27$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א פי $9$

הפתרון:

\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ k^2 \\ &= 9\end{aligned}

השטח גדל פי $k^2$

פי $9$ . «פי $6$ » מכפיל ב- $2$ במקום להעלות בריבוע, ו«פי $27$ » הוא $k^3$ — של נפח, לא של שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שטחי שני משולשים דומים הם $18$ סמ״ר ו- $50$ סמ״ר. הצלע הקצרה במשולש הקטן היא $6$ ס״מ. מהי הצלע הקצרה במשולש הגדול, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= \frac{50}{18} \\ &= \frac{25}{9}\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}k &= \sqrt{\frac{25}{9}} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון הוא השורש

6 \cdot \frac{5}{3} = 10

הצלע הקצרה בגדול

$10$ ס״מ. מי שכפל ב- $\frac{50}{18}$ בלי שורש קיבל כ- $16.67$ : זה יחס השטחים, לא יחס הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

יחס ההיקפים של שני משולשים דומים הוא $4$ . לכן יחס השטחים שלהם הוא גם $4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \\ &= 4\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 16\end{aligned}

יחס השטחים

לא נכון: יחס השטחים $16$ . ההיקף פי $k$ , השטח פי $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO = 4$ , $OB = 10$ ו- $AC = 6$ ס״מ. מצאו את $BD$ , בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

זוויות קודקודיות ב- $O$ וזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים: משפט ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

$OB$ מתאימה ל- $AO$

\begin{aligned}BD &= 6 \cdot 2.5 \\ &= 15\end{aligned}

$BD$ מתאימה ל- $AC$

$BD = 15$ ס״מ. בשעון חול שני המשולשים נפרדים, ולכן אין צלע שלמה לחבר, בשונה מישר מקביל לצלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ , $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD : DB = 1 : 2$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $45$ סמ״ר. מהו שטח הטרפז $DBCE$ , בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{1}{1+2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם

\begin{aligned}S_{ADE} &= 45 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= 5\end{aligned}

השטחים ביחס $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 45 - 5 \\ &= 40\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר

$40$ סמ״ר. שתי מלכודות: להשתמש ב- $\frac{1}{2}$ במקום $\frac{1}{3}$ , או לעצור בשטח המשולש הקטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שני אוהלים הם משולשים שווי שוקיים דומים. באוהל הקטן השוקיים $2.5$ מטר והבסיס $3$ מטר. כל צלע באוהל הגדול ארוכה פי $2$ . מהו שטח החזית של האוהל הגדול, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}AH &= \sqrt{2.5^2 - 1.5^2} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

פיתגורס: חצי הבסיס $1.5$

\begin{aligned}S_1 &= \frac{3 \cdot 2}{2} \\ &= 3\end{aligned}

שטח החזית הקטנה

\begin{aligned}S_2 &= 3 \cdot 2^2 \\ &= 12\end{aligned}

השטח פי $k^2$

$12$ מ״ר. שתי מלכודות: לשכוח לחצות את הבסיס בפיתגורס, או להכפיל את השטח ב- $2$ במקום ב- $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מציאת צלע חסרה

היקפים ושטחים

משולשים שווי שוקיים דומים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev