משפט ז.ז

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בגן שעשועים בנתניה עומדת מגלשה בצורת משולש: שני מוטות נפגשים בראש AA ונשענים על הקרקע ב-BB וב-CC. באמצע הגובה מחברים מוט אופקי DEDE, מקביל לקרקע. המשולש הקטן ADEADE נראה כמו הקטנה של המשולש הגדול ABCABC. איך מוכיחים את זה בלי למדוד את כל הצלעות?

ABCDE
DE∥BCDE \parallel BC: המוט האופקי מקביל לקרקע.

אילו זוויות במשולש ADEADE שוות לזוויות במשולש ABCABC?

להציג את התשובה והפתרון

הזווית ∠A\angle A משותפת לשני המשולשים. ו-∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC: אלה זוויות מתאימות בין הישרים המקבילים DEDE ו-BCBC. באותו אופן גם ∠AED=∠ACB\angle AED = \angle ACB.

משפט ז.ז

ההגדרה דורשת שלוש זוויות שוות וגם שלושה יחסים שווים. המשפט חוסך את רוב העבודה: אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, המשולשים דומים. הזווית השלישית שווה ממילא, כי סכום הזוויות במשולש הוא 180∘180^\circ, והיחסים השווים באים מעצמם.

מאיפה באות זוויות שוות

11

זווית משותפת לשני המשולשים, כמו ∠A\angle A במגלשה.

22

זוויות מתאימות או מתחלפות בין ישרים מקבילים.

33

זוויות קודקודיות, כשני ישרים נחתכים.

44

שתי זוויות ישרות, למשל עמוד ומקל שעומדים על הקרקע.

התצורה השנייה שחוזרת בכל מבחן היא שעון חול: שני קטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה OO, ו-AC∥DBAC \parallel DB.

OACBD
ABAB ו-CDCD נחתכים ב-OO, ו-AC∥DBAC \parallel DB.

בשעון החול, אילו שתי זוויות מוכיחות ש-△AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD?

להציג את התשובה והפתרון

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD — זוויות קודקודיות. ∠CAO=∠DBO\angle CAO = \angle DBO — זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים ACAC ו-DBDB. שתי זוויות, ולכן משפט ז.ז. הסדר: A↔BA \leftrightarrow B, O↔OO \leftrightarrow O, C↔DC \leftrightarrow D.

זוויות במגלשה

במשולש ABCABC, DE∥BCDE \parallel BC. נתון ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠ABC=65∘\angle ABC = 65^\circ. הראו ש-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ומצאו את ∠AED\angle AED.

∠ADE=∠ABC=65∘\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ &= 65^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט ז.ז

∠AED=180∘−40∘−65∘=75∘\begin{aligned}\angle AED &= 180^\circ - 40^\circ - 65^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ADEADE

שתי הטעויות של ז.ז.

∠A=∠D ⇒ △ABC∼△DEF\angle A = \angle D \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle DEF
∠A=∠D ∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E\end{aligned}

זווית אחת שווה לא מספיקה. צריך שתיים.

△AOC∼△DOB\triangle AOC \sim \triangle DOB
△AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

בשעון החול AA מתאימה ל-BB (הזוויות המתחלפות), לא ל-DD. סדר שגוי הופך כל יחס שנכתוב אחר כך לשגוי.

בכל שלב כתבו את הסיבה: «זווית משותפת», «זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים», «זוויות קודקודיות», ולבסוף «משפט ז.ז». בבחינה הסיבה שווה נקודות.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDE

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC, ו-DE∥BCDE \parallel BC. אילו שתי זוויות, עם הסיבה, מוכיחות ש-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC?

  1. ∠ADE=∠AED\angle ADE = \angle AED וזווית AA משותפת
  2. DE∥BCDE \parallel BC בלבד מספיק, בלי זוויות
  3. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC (מתאימות בין ישרים מקבילים) וזווית AA משותפת
  4. ∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB וזווית AA משותפת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC (מתאימות בין ישרים מקבילים) וזווית AA משותפת

הפתרון:

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות בין DE∥BCDE \parallel BC, על החותך ABAB

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט ז.ז

המלכודת: ∠ADE\angle ADE נמצאת על הצלע ABAB, ולכן היא מתאימה ל-∠ABC\angle ABC, לא ל-∠ACB\angle ACB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

OACBD

הקטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה OO, ו-AC∥DBAC \parallel DB. איזה סימון דמיון נכון?

  1. △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD
  2. △AOC∼△DOB\triangle AOC \sim \triangle DOB
  3. △ACO∼△BOD\triangle ACO \sim \triangle BOD
  4. △AOC∼△OBD\triangle AOC \sim \triangle OBD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

הפתרון:

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD

זוויות קודקודיות

∠CAO=∠DBO\angle CAO = \angle DBO

זוויות מתחלפות בין AC∥DBAC \parallel DB

A↔B, O↔O, C↔DA \leftrightarrow B ,\ O \leftrightarrow O ,\ C \leftrightarrow D

ההתאמה, ולכן △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

הנקודה OO מתאימה לעצמה, ו-AA ל-BB. הסימון △AOC∼△DOB\triangle AOC \sim \triangle DOB מתאים את AA ל-DD: זו הטעות הנפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDE

במשולש ABCABC, DE∥BCDE \parallel BC (DD על ABAB, EE על ACAC). נתון ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. מהי ∠AED\angle AED, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

∠ACB=180∘−50∘−60∘=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABCABC

∠AED=∠ACB=70∘\begin{aligned}\angle AED &= \angle ACB \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

∠AED=70∘\angle AED = 70^\circ. היא מתאימה ל-∠ACB\angle ACB, כי שתיהן על הצלע ACAC. מי שענה 60∘60^\circ התאים אותה ל-∠B\angle B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDEF

במשולש אחד שתי זוויות הן 40∘40^\circ ו-60∘60^\circ. במשולש שני שתי זוויות הן 60∘60^\circ ו-80∘80^\circ. המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

180∘−40∘−60∘=80∘180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ

הזווית השלישית במשולש הראשון

40∘, 60∘, 80∘40^\circ ,\ 60^\circ ,\ 80^\circ

אותן שלוש זוויות בשני המשולשים: משפט ז.ז

נכון. הזוויות הנתונות אינן אותן זוויות, אבל אחרי חישוב השלישית רואים ששתיים משותפות: 60∘60^\circ ו-80∘80^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDEF

במשולש אחד שתי זוויות הן 50∘50^\circ ו-70∘70^\circ. במשולש שני שתי זוויות הן 50∘50^\circ ו-80∘80^\circ. המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

180∘−50∘−70∘=60∘180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ

המשולש הראשון: 50∘,70∘,60∘50^\circ, 70^\circ, 60^\circ

180∘−50∘−80∘=50∘180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ

המשולש השני: 50∘,80∘,50∘50^\circ, 80^\circ, 50^\circ

לא נכון. רק זווית אחת משותפת, 50∘50^\circ. זווית אחת שווה אינה מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDE

במשולש ABCABC, DE∥BCDE \parallel BC. סדרו את שלבי ההוכחה ש-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC.

  • ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת
  • ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים
  • △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט ז.ז
  • DE∥BCDE \parallel BC — נתון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: DE∥BCDE \parallel BC — נתון · ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים · ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת · △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט ז.ז

הפתרון:

DE∥BC⇒∠ADE=∠ABCDE \parallel BC \Rightarrow \angle ADE = \angle ABC

הנתון נותן את הזווית הראשונה

∠A=∠A\angle A = \angle A

הזווית השנייה

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

המסקנה באה אחרונה

המסקנה תמיד בסוף, אחרי שתי הזוויות. אפשר להחליף את סדר שתי הזוויות, אבל לא להקדים את המסקנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEF

במשולש ABCABC הזווית ∠B=90∘\angle B = 90^\circ, ובמשולש DEFDEF הזווית ∠E=90∘\angle E = 90^\circ. נתון ∠A=∠D=35∘\angle A = \angle D = 35^\circ. מה נכון?

  1. המשולשים דומים לפי משפט ז.ז
  2. אי אפשר לדעת בלי אורכי צלעות
  3. המשולשים חופפים
  4. המשולשים דומים רק אם AB=DEAB = DE
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א המשולשים דומים לפי משפט ז.ז

הפתרון:

∠B=∠E=90∘\begin{aligned}\angle B &= \angle E \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות

∠A=∠D=35∘\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ &= 35^\circ\end{aligned}

נתון

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט ז.ז

שתי זוויות מספיקות. «חופפים» דורש גם צלע שווה: הזוויות קובעות רק את הצורה, לא את הגודל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

OACBD

התאימו לכל תצורה את מקור הזוויות השוות בה.

  • ישר מקביל לצלע במשולש
  • שעון חול: שני קטעים נחתכים ושני קטעים מקבילים
  • עמוד וצל לצד מקל וצל
  • זווית ישרה בשני משולשים וזווית חדה שווה
  • זוויות ישרות וזווית השמש
  • זוויות מתאימות וזווית משותפת
  • זוויות קודקודיות וזוויות מתחלפות
  • זווית ישרה ועוד זווית נתונה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ישר מקביל לצלע במשולש — זוויות מתאימות וזווית משותפת · שעון חול: שני קטעים נחתכים ושני קטעים מקבילים — זוויות קודקודיות וזוויות מתחלפות · עמוד וצל לצד מקל וצל — זוויות ישרות וזווית השמש · זווית ישרה בשני משולשים וזווית חדה שווה — זווית ישרה ועוד זווית נתונה

הפתרון:

∠A=∠A ∠ADE=∠ABC\begin{aligned}\angle A &= \angle A \\ \ \angle ADE &= \angle ABC\end{aligned}

ישר מקביל לצלע

∠AOC=∠BOD ∠CAO=∠DBO\begin{aligned}\angle AOC &= \angle BOD \\ \ \angle CAO &= \angle DBO\end{aligned}

שעון חול

בכל תצורה מחפשים שתי זוויות. בשעון החול אין זווית משותפת: הזוג הוא קודקודיות ומתחלפות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDE

שורה אחת בהוכחה שגויה. מצאו אותה.

DE∥BCDE \parallel BC
∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB
∠A=∠A\angle A = \angle A
△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB → ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

הפתרון:

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

∠ADE\angle ADE ו-∠ABC\angle ABC נמצאות שתיהן על ABAB: זוויות מתאימות

הזווית שליד DD מתאימה לזווית שליד BB, כי DD על הצלע ABAB. הזווית שליד EE מתאימה לזו שליד CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת