מהו דמיון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחנות צילום בחיפה מגדילים תמונה של 1010 על 1515 ס״מ. בהגדלה אחת יוצאת תמונה של 2020 על 3030 ס״מ, והפנים נראים בדיוק אותו דבר. בהגדלה אחרת יוצאת תמונה של 2020 על 2020 ס״מ, והפנים נראים מתוחים לרוחב. מה ההבדל בין שתי ההגדלות? הסתכלו על שני המשולשים שלמטה לפני כל הגדרה.

ABCDEF
המשולש DEFDEF הוא הגדלה של המשולש ABCABC: כל צלע ארוכה פי 22.

מה נשאר זהה בין שני המשולשים, ומה השתנה?

להציג את התשובה והפתרון

הזוויות נשארו אותן זוויות בדיוק: הצורה לא נמתחה. האורכים השתנו, וכולם באותו יחס: כל צלע ארוכה פי 22. בתמונה של 2020 על 2020 הרוחב גדל פי 22 והגובה רק פי 43\frac{4}{3}, ולכן הצורה התעוותה.

משולשים דומים

שני משולשים הם דומים אם אחד מהם הוא הגדלה או הקטנה של השני. במילים של גאומטריה, שני תנאים: הזוויות המתאימות שוות, וכל צלע במשולש אחד שווה לצלע המתאימה במשולש השני כפול אותו מספר. המספר הזה הוא יחס הדמיון kk.

△ABC∼△DEF⇒DEAB=EFBC=DFAC=k\begin{aligned}\triangle ABC \sim \triangle DEF \quad \Rightarrow \quad \frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}
k>1k>1

הגדלה: המשולש השני גדול יותר.

k<1k<1

הקטנה: המשולש השני קטן יותר, כמו בשרטוט של מפה.

k=1k=1

חפיפה: אותה צורה ואותו גודל.

צלעות משולש אחד הן 33, 44 ו-55, וצלעות משולש שני הן 66, 88 ו-1010. האם המשולשים דומים, ומהו יחס הדמיון?

להציג את התשובה והפתרון

כן. 63=84=105=2\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2. שלושה יחסים שווים, ולכן k=2k=2.

מי מתאים למי

הסימון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF אומר גם מי מתאים למי: AA ל-DD, BB ל-EE ו-CC ל-FF. לכן ABAB מתאימה ל-DEDE, ו-∠C=∠F\angle C = \angle F. כשאין סימון, מתאימים לפי הגודל: הצלע הקצרה לקצרה, הארוכה לארוכה.

צלעות של משולש מוגדל

צלעות משולש הן 44, 66 ו-88 ס״מ. משולש דומה לו מוגדל, והצלע הקצרה בו היא 66 ס״מ. מצאו את שתי הצלעות האחרות.

k=64=1.5\begin{aligned}k &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

הקצרה מול הקצרה: יחס הדמיון

6⋅1.5=96 \cdot 1.5 = 9

הצלע האמצעית

8⋅1.5=128 \cdot 1.5 = 12

הצלע הארוכה

64=96=128=1.5 ✓\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שלושה יחסים שווים

שתי הטעויות של ההגדלה.

3, 4, 5 → 5, 6, 73,\ 4,\ 5 \ \to \ 5,\ 6,\ 7
3, 4, 5 → 6, 8, 103,\ 4,\ 5 \ \to \ 6,\ 8,\ 10

בהגדלה כופלים כל צלע באותו מספר. הוספת 22 לכל צלע משנה את הצורה: 53≠75\frac{5}{3} \neq \frac{7}{5}.

△ABC∼△DEF ⇒ DEAC\triangle ABC \sim \triangle DEF \ \Rightarrow \ \frac{DE}{AC}
DEAB\frac{DE}{AB}

לפי הסדר, DEDE מתאימה ל-ABAB. מתאימים לפי סדר האותיות, לא לפי המקום בשרטוט.

לפני כל חישוב כתבו את הדמיון בסדר הנכון. כל יחס שתכתבו אחר כך נקרא ישר מתוך הסימון.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDEF

צלעות המשולש ABCABC הן 33, 55 ו-66 ס״מ. מגדילים אותו פי 33 ומקבלים את המשולש DEFDEF. מהן צלעות המשולש DEFDEF?

  1. 99, 1515 ו-1818 ס״מ
  2. 66, 88 ו-99 ס״מ
  3. 99, 1515 ו-66 ס״מ
  4. 11, 53\frac{5}{3} ו-22 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 99, 1515 ו-1818 ס״מ

הפתרון:

3⋅3=95⋅3=156⋅3=18\begin{aligned}3 \cdot 3 &= 9 \\ \quad 5 \cdot 3 &= 15 \\ \quad 6 \cdot 3 &= 18\end{aligned}

כל צלע כפול 33

הנכונה: 99, 1515 ו-1818. «66, 88 ו-99» מוסיפה 33 במקום לכפול. «11, 53\frac{5}{3}, 22» מחלקת: זו הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. AB=4AB = 4 ס״מ ו-DE=10DE = 10 ס״מ. מהו יחס הדמיון של המשולש DEFDEF למשולש ABCABC? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

k=DEAB=104=2.5\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

צלע במשולש השני חלקי הצלע המתאימה במשולש הראשון

k=2.5k = 2.5. המשולש DEFDEF גדול יותר, ולכן k>1k > 1. מי שכתב 410\frac{4}{10} הפך את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDEF

צלעות משולש אחד הן 22, 33 ו-44, וצלעות משולש שני הן 44, 55 ו-66. המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

42=253≈1.6764=1.5\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{5}{3} \approx 1.67 \\ \quad \frac{6}{4} &= 1.5\end{aligned}

שלושה יחסים שונים

לא נכון. כל צלע גדלה ב-22, אבל לא פי אותו מספר. הוספה של מספר קבוע אינה הגדלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDEF

צלעות משולש אחד הן 55, 77 ו-99, וצלעות משולש שני הן 1515, 2121 ו-2727. המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

155=217=279=3\begin{aligned}\frac{15}{5} &= \frac{21}{7} \\ &= \frac{27}{9} \\ &= 3\end{aligned}

שלושה יחסים שווים

נכון, ויחס הדמיון 33. מתאימים קצרה לקצרה וארוכה לארוכה, ורק אז מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מהי הזווית ∠F\angle F, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

לפי הסדר, CC מתאימה ל-FF, וזוויות מתאימות שוות

∠F=60∘\angle F = 60^\circ. בדמיון הזוויות לא גדלות: רק האורכים מוכפלים ב-kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. AB=6AB = 6, BC=9BC = 9 ו-DE=4DE = 4 ס״מ. מצאו את EFEF, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

k=DEAB=46=23\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון מזוג צלעות ידוע

EF=BC⋅k=9⋅23=6\begin{aligned}EF &= BC \cdot k \\ &= 9 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 6\end{aligned}

EFEF מתאימה ל-BCBC

EF=6EF = 6 ס״מ. כאן k<1k<1: המשולש DEFDEF הוא הקטנה, ולכן כל צלע בו קטנה מהמתאימה לה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ויחס הדמיון של DEFDEF ל-ABCABC הוא 33. AB=2AB = 2, BC=5BC = 5 ו-AC=4AC = 4 ס״מ. השלימו.

DE=DE = ____ ס״מ , EF=EF = ____ ס״מ , DF=DF = ____ ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: DE=DE = 6 ס״מ , EF=EF = 15 ס״מ , DF=DF = 12 ס״מ

הפתרון:

DE=3⋅AB=6\begin{aligned}DE &= 3 \cdot AB \\ &= 6\end{aligned}
EF=3⋅BC=15\begin{aligned}EF &= 3 \cdot BC \\ &= 15\end{aligned}
DF=3⋅AC=12\begin{aligned}DF &= 3 \cdot AC \\ &= 12\end{aligned}

כל צלע כפול 33. היזהרו: DFDF מתאימה ל-ACAC, לא ל-BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDEF

איזו טענה נכונה?

  1. כל שני משולשים שווי צלעות דומים
  2. כל שני משולשים ישרי זווית דומים
  3. שני משולשים שיש להם זווית אחת שווה דומים
  4. כל שני משולשים שווי שוקיים דומים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כל שני משולשים שווי צלעות דומים

הפתרון:

60∘, 60∘, 60∘60^\circ ,\ 60^\circ ,\ 60^\circ

בכל משולש שווה צלעות כל הזוויות 60∘60^\circ, והצלעות ביחס 1:1:11:1:1

הנכונה: שווי צלעות. בשווי שוקיים ובישרי זווית הזוויות יכולות להיות שונות: למשל 40∘,40∘,100∘40^\circ, 40^\circ, 100^\circ מול 70∘,70∘,40∘70^\circ, 70^\circ, 40^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDEF

מיינו את זוגות המשולשים לפי אורכי הצלעות: דומים או לא דומים?

  • דומים
  • לא דומים
  • 1,1,11,1,1 ו-7,7,77,7,7
  • 2,2,32,2,3 ו-4,4,64,4,6
  • 2,3,42,3,4 ו-3,4,53,4,5
  • 3,4,53,4,5 ו-6,8,106,8,10
  • 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3,4,53,4,5 ו-6,8,106,8,10 — דומים · 2,2,32,2,3 ו-4,4,64,4,6 — דומים · 1,1,11,1,1 ו-7,7,77,7,7 — דומים · 2,3,42,3,4 ו-3,4,53,4,5 — לא דומים · 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12 — לא דומים

הפתרון:

63=84=10542=42=6371=71=71\begin{aligned}\frac{6}{3} &= \frac{8}{4} \\ &= \frac{10}{5} \\ \quad \frac{4}{2} &= \frac{4}{2} \\ &= \frac{6}{3} \\ \quad \frac{7}{1} &= \frac{7}{1} \\ &= \frac{7}{1}\end{aligned}

יחס אחד לכל הצלעות

32≠43,105≠128\frac{3}{2} \neq \frac{4}{3} ,\qquad \frac{10}{5} \neq \frac{12}{8}

יחסים שונים

בודקים שלושה יחסים, קצרה מול קצרה. בזוג 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12 השוקיים גדלו פי 22 והבסיס רק פי 1.51.5: המלכודת היא לבדוק רק זוג צלעות אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת