תרגול · סטיית תקן · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: טווח, סטיית תקן של רשימה ושל טבלה, השוואה בין קבוצות, נתונים שנוספו ושינוי של כל הנתונים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

זמני הנסיעה (בדקות) של אוטובוס מהתחנה המרכזית לאוניברסיטה בשישה ימים: $23,\ 31,\ 18,\ 27,\ 35,\ 22$ . מהו הטווח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

35 - 18 = 17

הגדול פחות הקטן

הטווח $17$ דקות. הטווח לא אומר כלום על ארבעת הזמנים שבאמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חמישה חברים רשמו כמה ספרים קראו השנה: $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 15$ . מצאו את סטיית התקן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{35}{5} \\ &= 7\end{aligned}

הממוצע

\begin{aligned}4 \cdot (-2)^2 + 8^2 &= 16 + 64 \\ &= 80\end{aligned}

ארבע סטיות של $-2$ ואחת של $8$

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{80}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

חלוקה ושורש

סטיית התקן $4$ , אף שארבעה מתוך חמשת הנתונים שווים. הנתון $15$ לבדו תורם $64$ מתוך $80$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לציוני כיתה ממוצע $68$ וסטיית תקן $12$ . כל תלמיד קיבל בונוס של $7$ נקודות. מהם הממוצע וסטיית התקן החדשים?

ממוצע $68$ , סטיית תקן $19$
ממוצע $75$ , סטיית תקן $19$
ממוצע $75$ , סטיית תקן $5$
ממוצע $75$ , סטיית תקן $12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ממוצע $75$ , סטיית תקן $12$

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= 68 + 7 \\ &= 75\end{aligned}

הממוצע זז

S = 12

סטיית התקן לא משתנה

הנכונה: $75$ ו- $12$ . הבונוס הזיז את כל הציונים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

דקות הליכה	10	20	30
מספר עובדים	3	4	3

בטבלה: כמה דקות הלכו ברגל עשרה עובדים בדרך לעבודה. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.75

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{30+80+90}{10} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע משוקלל

3 \cdot 100+4 \cdot 0+3 \cdot 100 = 600

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{600}{10}} \\ &= \sqrt{60} \approx 7.75\end{aligned}

חלוקה ושורש

$S \approx 7.75$ דקות. מי שחילק ב- $3$ קיבל $\sqrt{200} \approx 14.14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני סניפים של רשת פיצריות מדדו את זמן המשלוח. בסניף א: ממוצע $35$ דקות, סטיית תקן $5$ דקות. בסניף ב: ממוצע $28$ דקות, סטיית תקן $12$ דקות. מה נכון?

בסניף א המשלוחים מגיעים מהר יותר, כי סטיית התקן שלו קטנה יותר
בסניף ב המשלוחים מגיעים מהר יותר בממוצע, וגם זמני המשלוח בו אחידים יותר
בסניף ב המשלוחים מגיעים מהר יותר בממוצע, אבל זמני המשלוח בסניף א אחידים יותר
כל משלוח מסניף ב מגיע מהר יותר מכל משלוח מסניף א

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בסניף ב המשלוחים מגיעים מהר יותר בממוצע, אבל זמני המשלוח בסניף א אחידים יותר

הפתרון:

28 < 35

בזמן משלוח, ממוצע קטן יותר הוא טוב יותר

5 < 12

א הומוגני יותר

הנכונה: ב מהיר יותר בממוצע, א אחיד יותר. כאן ממוצע קטן הוא יתרון: קראו מה נמדד לפני שמסיקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במבחן של $50$ שאלות, הממוצע $40$ תשובות נכונות וסטיית התקן $6$ . הציון מחושב כך: מכפילים את מספר התשובות הנכונות ב- $2$ ומוסיפים $10$ . השלימו.

ממוצע הציונים: ____ , סטיית התקן של הציונים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ממוצע הציונים: 90 , סטיית התקן של הציונים: 12

הפתרון:

x \to 2x + 10

הכלל

\begin{aligned}\bar{x} &= 2 \cdot 40 + 10 \\ &= 90\end{aligned}

הממוצע עובר את שני השלבים

\begin{aligned}S &= 2 \cdot 6 \\ &= 12\end{aligned}

רק הכפל משפיע

ממוצע $90$ , סטיית תקן $12$ . מי שכתב $22$ הוסיף $10$ גם לסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ארבעה נתונים: $3,\ 5,\ 7,\ 9$ . הממוצע $6$ . מוסיפים עוד שני נתונים, שניהם $6$ . מהי סטיית התקן החדשה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.83

הפתרון:

9+1+1+9 = 20

סכום הריבועים של הארבעה

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{24+12}{6} \\ &= 6\end{aligned}

הממוצע לא משתנה

S = \sqrt{\frac{20}{6}} \approx 1.83

אותו סכום, חלקי $6$

סטיית התקן ירדה מ- $2.24$ ל- $1.83$ . שני נתונים על הממוצע מגדילים את $n$ בלי להוסיף פיזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

כרטיסים בקנייה

מספר כרטיסים	1	2	3	4	5
מספר לקוחות	4	6	$x$	3	2

בטבלה: מספר הכרטיסים שקנו לקוחות בקופה של תיאטרון. אחת השכיחויות חסרה, והממוצע $2.65$ . מצאו את השכיחות החסרה ואת סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

השכיחות החסרה: ____ , סטיית התקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיחות החסרה: 5 , סטיית התקן: 1.24

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{4+12+3x+12+10}{15+x} &= \frac{38+3x}{15+x} \\ &= 2.65\end{aligned}

ממוצע, $x$ במונה ובמכנה

\begin{aligned}38+3x &= 39.75+2.65x \ \Rightarrow \ 0.35x \\ &= 1.75 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

פותרים

4 \cdot 2.7225+6 \cdot 0.4225+5 \cdot 0.1225+3 \cdot 1.8225+2 \cdot 5.5225 = 30.55

שכיחות כפול ריבוע הסטייה, $n=20$

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{30.55}{20}} \\ &= \sqrt{1.5275} \approx 1.24\end{aligned}

חלוקה ושורש

שני שלבים שתלויים זה בזה: בלי $x$ אין $n$ , ובלי $n$ אין סטיית תקן. בדיקה: $4+6+5+3+2=20$ לקוחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לחמישה נתונים הממוצע $20$ וסטיית התקן $4$ . מוסיפים עוד שני נתונים, שניהם $20$ . מהי סטיית התקן של שבעת הנתונים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.38

הפתרון:

\begin{aligned}S^2 &= \frac{\sum (x-\bar{x})^2}{5} \ \Rightarrow \ \sum (x-\bar{x})^2 \\ &= 5 \cdot 16 \\ &= 80\end{aligned}

מחזירים את סכום הריבועים מתוך $S$

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{100 + 40}{7} \\ &= 20\end{aligned}

הממוצע לא משתנה

S = \sqrt{\frac{80}{7}} \approx 3.38

אותו סכום, חלקי $7$

לא נתונים הנתונים עצמם, ולא צריך אותם: מ- $S=4$ ו- $n=5$ מקבלים את סכום הריבועים, $80$ . מי שחישב $\frac{4 \cdot 5}{7}$ שכח שהנוסחה עוברת דרך ריבוע של $S$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בתחנה מטאורולוגית בחו״ל רשמו טמפרטורות בפרנהייט: ממוצע $77$ , סטיית תקן $9$ . ממירים לצלזיוס כך: מחסירים $32$ ומחלקים ב- $1.8$ . השלימו (במעלות צלזיוס).

הממוצע: ____ , סטיית התקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 25 , סטיית התקן: 5

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{77 - 32}{1.8} \\ &= \frac{45}{1.8} \\ &= 25\end{aligned}

הממוצע עובר את שני השלבים

\begin{aligned}S &= \frac{9}{1.8} \\ &= 5\end{aligned}

החיסור לא משפיע; החילוק כן

חילוק ב- $1.8$ הוא כפל ב- $\frac{1}{1.8}$ , ולכן גם סטיית התקן מתחלקת. מי שכתב $\frac{9-32}{1.8}$ קיבל סטיית תקן שלילית, וזה בלתי אפשרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev