סדרה 3 — לקראת הבגרות · סטיית תקן · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים: טבלת שכיחויות עם נתון שנוסף, השוואה בין שתי ערים, ומשכורות עם עובד שמצטרף. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח.

בבחינה כל סעיף בונה על הקודם: הממוצע מסעיף ב נכנס לסטיית התקן בסעיף ג. כתבו כל תוצאה ביניים עם יחידות, ובשאלות «גדל, קטן או לא משתנה» תנו נימוק במשפט אחד.

תרגילים

תרגיל 1

דירות שנמכרו

מספר חדרים	2	3	4	5
מספר דירות	2	7	8	3

בטבלה: מספר החדרים בדירות שנמכרו בשכונה חדשה בחודש אחד. א. כמה דירות נמכרו? איזה אחוז מהדירות שנמכרו הן בנות $4$ חדרים או יותר?

מספר הדירות: ____ , האחוז: ____ %

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר הדירות: 20 , האחוז: 55 %

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 2+7+8+3 \\ &= 20\end{aligned}

סכום השכיחויות

\begin{aligned}\frac{8+3}{20} &= 0.55 \\ &= 55\%\end{aligned}

$4$ חדרים או יותר: שתי העמודות האחרונות

« $4$ או יותר» כולל גם את $4$ וגם את $5$ . מי שענה $40\%$ ספר רק את דירות ה- $4$ חדרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

דירות שנמכרו

מספר חדרים	2	3	4	5
מספר דירות	2	7	8	3

בטבלה: מספר החדרים בדירות שנמכרו בשכונה חדשה בחודש אחד. ב. מצאו את מספר החדרים הממוצע בדירה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{2 \cdot 2+3 \cdot 7+4 \cdot 8+5 \cdot 3}{20} \\ &= \frac{72}{20} \\ &= 3.6\end{aligned}

ממוצע משוקלל

הממוצע $3.6$ חדרים. זה לא מספר חדרים אפשרי, וזה בסדר: ממוצע לא חייב להיות אחד הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

דירות שנמכרו

מספר חדרים	2	3	4	5
מספר דירות	2	7	8	3

בטבלה: מספר החדרים בדירות שנמכרו בשכונה חדשה בחודש אחד. ג. מצאו את סטיית התקן של מספר החדרים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.86

הפתרון:

-1.6,\ -0.6,\ 0.4,\ 1.4

הסטיות מ- $3.6$

2 \cdot 2.56+7 \cdot 0.36+8 \cdot 0.16+3 \cdot 1.96 = 14.8

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{14.8}{20}} \\ &= \sqrt{0.74} \approx 0.86\end{aligned}

חלוקה ושורש

$S \approx 0.86$ חדרים. בדיקת היגיון: רוב הדירות בנות $3$ או $4$ חדרים, קרוב לממוצע, ולכן $S$ קטנה מ- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

דירות שנמכרו

מספר חדרים	2	3	4	5
מספר דירות	2	7	8	3

בטבלה: מספר החדרים בדירות שנמכרו בשכונה חדשה בחודש אחד. ד. בסוף החודש נמכרה עוד דירה בת $5$ חדרים. מה קרה לממוצע ולסטיית התקן?

הממוצע לא השתנה, וסטיית התקן גדלה
הממוצע גדל, וסטיית התקן גדלה
הממוצע גדל, וסטיית התקן לא השתנתה
הממוצע גדל, וסטיית התקן קטנה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הממוצע גדל, וסטיית התקן גדלה

הפתרון:

5 > 3.6

הנתון החדש מעל הממוצע: הממוצע עולה

5 - 3.6 = 1.4 > 0.86

הוא רחוק מהממוצע יותר מ- $S$

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{77}{21} \approx 3.67 \\ \quad S \approx 0.89\end{aligned}

בדיקה בחישוב

הנכונה: שניהם גדלים. בבגרות מספיק נימוק: הנתון החדש גדול מהממוצע, ורחוק ממנו יותר מרוב הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הטמפרטורות המקסימליות (במעלות) בחמישה ימים של מרץ: בחיפה $18,\ 20,\ 21,\ 22,\ 24$ , ובבאר שבע $12,\ 17,\ 21,\ 25,\ 30$ . א. מצאו את הטמפרטורה הממוצעת בכל עיר.

חיפה: ____ , באר שבע: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חיפה: 21 , באר שבע: 21

הפתרון:

\frac{105}{5} = 21

חיפה

\frac{105}{5} = 21

באר שבע

לשתי הערים אותו ממוצע. לכן הממוצע לבדו לא מבחין ביניהן, והשאלה ממשיכה לפיזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הטמפרטורות המקסימליות (במעלות) בחמישה ימים של מרץ: בחיפה $18,\ 20,\ 21,\ 22,\ 24$ , ובבאר שבע $12,\ 17,\ 21,\ 25,\ 30$ . ב. מצאו את סטיית התקן בכל עיר. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

חיפה: ____ , באר שבע: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חיפה: 2 , באר שבע: 6.23

הפתרון:

\begin{aligned}9+1+0+1+9 &= 20 \\ \quad S &= \sqrt{\frac{20}{5}} \\ &= 2\end{aligned}

חיפה

\begin{aligned}81+16+0+16+81 &= 194 \\ \quad S &= \sqrt{\frac{194}{5}} \approx 6.23\end{aligned}

באר שבע

בבאר שבע הסטיות גדולות פי $3$ בערך, וגם סטיית התקן. מי שחילק ב- $4$ במקום ב- $5$ קיבל $2.24$ ו- $6.96$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הטמפרטורות המקסימליות (במעלות) בחמישה ימים של מרץ: בחיפה $18,\ 20,\ 21,\ 22,\ 24$ , ובבאר שבע $12,\ 17,\ 21,\ 25,\ 30$ . ג. באיזו עיר מזג האוויר יציב יותר באותם ימים? בחרו את המסקנה המנומקת.

אין הבדל: הממוצעים שווים
בבאר שבע: סטיית התקן בה גדולה יותר
בחיפה: הממוצעים שווים, וסטיית התקן בחיפה קטנה יותר
בחיפה: הממוצע בה גבוה יותר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בחיפה: הממוצעים שווים, וסטיית התקן בחיפה קטנה יותר

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x}_1 &= \bar{x}_2 \\ &= 21\end{aligned}

מרכז: שווה

2 < 6.23

פיזור: בחיפה קטן יותר

הנכונה: חיפה. «יציב» פירושו פיזור קטן. מסקנה מלאה מזכירה את שני המדדים ואת המספרים שלהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ארבעה סטודנטים עובדים במשרה חלקית. המשכורות החודשיות שלהם, בש״ח: $1800,\ 2200,\ 2400,\ 3600$ . א. מצאו את הממוצע ואת החציון.

הממוצע: ____ , החציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 2500 , החציון: 2300

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{10000}{4} \\ &= 2500\end{aligned}

הממוצע

\begin{aligned}Me &= \frac{2200+2400}{2} \\ &= 2300\end{aligned}

ממוצע שני האמצעיים

הממוצע גדול מהחציון בגלל המשכורת $3{,}600$ , שמושכת אותו למעלה. החציון לא מרגיש בה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ארבעה סטודנטים עובדים במשרה חלקית. המשכורות החודשיות שלהם, בש״ח: $1800,\ 2200,\ 2400,\ 3600$ . ב. מצאו את סטיית התקן של המשכורות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 670.82

הפתרון:

-700,\ -300,\ -100,\ 1100

הסטיות מ- $2500$

490000+90000+10000+1210000 = 1800000

סכום הריבועים

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{1800000}{4}} \\ &= \sqrt{450000} \approx 670.82\end{aligned}

חלוקה ושורש

$S \approx 670.82$ ש״ח. במספרים גדולים הריבועים ענקיים: עבדו בזהירות עם המחשבון, ובדקו שהסכום של הסטיות $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ארבעה סטודנטים עובדים במשרה חלקית. המשכורות החודשיות שלהם, בש״ח: $1800,\ 2200,\ 2400,\ 3600$ . ג. סטודנט חמישי, שמשכורתו $2{,}500$ ש״ח, הצטרף. מצאו את הממוצע החדש ואת סטיית התקן החדשה.

הממוצע: ____ , סטיית התקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 2500 , סטיית התקן: 600

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{10000+2500}{5} \\ &= 2500\end{aligned}

הנתון החדש שווה לממוצע

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{1800000+0}{5}} \\ &= \sqrt{360000} \\ &= 600\end{aligned}

אותו סכום ריבועים, חלקי $5$

הממוצע לא זז וסטיית התקן ירדה מ- $670.82$ ל- $600$ . לא צריך לחשב מחדש את כל הסטיות: הסטייה של הנתון החדש $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev