סדרה 2 — בינוני · סטיית תקן · כיתה י״א

עשר שאלות בינוניות: סטיית תקן עם עיגול, מטבלה ומדיאגרמה, נעלם שנמצא מהממוצע, נתון שנוסף, מסקנה בהשוואה, ושינוי כפול של כל הנתונים. כל שאלה דורשת שניים או שלושה צעדים.

בכל השוואה כתבו שני משפטים: אחד על הממוצע ואחד על סטיית התקן. ובכל שינוי של כל הנתונים שאלו: הוספה או כפל? רק הכפל משנה את סטיית התקן.

תרגילים

תרגיל 1

שישה תלמידים רשמו כמה שעות ישנו בלילה שלפני הבחינה: $6,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 5$ . מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.29

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{42}{6} \\ &= 7\end{aligned}

הממוצע

-1,\ 0,\ 0,\ 1,\ 2,\ -2

הסטיות

1+0+0+1+4+4 = 10

סכום הריבועים

S = \sqrt{\frac{10}{6}} \approx 1.29

חלוקה ב- $6$ ושורש

$S \approx 1.29$ שעות. שני הנתונים הקיצוניים, $5$ ו- $9$ , תורמים $8$ מתוך $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נסיעות ברכבת הקלה בשבוע

מספר נסיעות	0	1	2	3
מספר תושבים	4	8	6	2

בטבלה: מספר הפעמים שעשרים תושבים השתמשו ברכבת הקלה בשבוע. השלימו.

הממוצע: ____ , סטיית התקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 1.3 , סטיית התקן: 0.9

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0+8+12+6}{20} \\ &= \frac{26}{20} \\ &= 1.3\end{aligned}

ממוצע משוקלל

4 \cdot 1.69+8 \cdot 0.09+6 \cdot 0.49+2 \cdot 2.89 = 16.2

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{16.2}{20}} \\ &= \sqrt{0.81} \\ &= 0.9\end{aligned}

חלוקה ושורש

סטיית התקן $0.9$ . הערך $0$ שכיח, אבל גם הוא נכנס לחישוב: הסטייה שלו $-1.3$ , רחוקה מאוד מהממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בבחינה, ממוצע הציונים $64$ וסטיית התקן $10$ . המורה העלה כל ציון ב- $10\%$ , ואחר כך הוסיף $3$ נקודות לכל תלמיד. מהי סטיית התקן החדשה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

x \to 1.1 \cdot x + 3

כפל ואז חיבור

S \to 1.1 \cdot 10 = 11

רק הכפל משנה את סטיית התקן

סטיית התקן $11$ . התוספת של $3$ לא משנה את המרחקים. מי שענה $14$ הוסיף גם את ה- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בקבוצה של $15$ נתונים הממוצע $30$ וסטיית התקן $2$ . מוסיפים נתון אחד, $50$ . מה קורה?

הממוצע לא משתנה וסטיית התקן גדלה
הממוצע גדל וסטיית התקן גדלה
הממוצע גדל וסטיית התקן קטנה
הממוצע גדל וסטיית התקן לא משתנה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הממוצע גדל וסטיית התקן גדלה

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{450 + 50}{16} \\ &= 31.25\end{aligned}

הממוצע עולה

50 - 30 = 20 \gg 2

הנתון החדש רחוק מאוד מהממוצע

הנכונה: שניהם גדלים. נתון שרחוק מהממוצע פי $10$ מסטיית התקן מגדיל את הפיזור מאוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ארבעה נתונים: $4,\ 6,\ x,\ 10$ . הממוצע הוא $7$ . מצאו את $x$ ואת סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

$x=$ ____ , $S=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 8 , $S=$ 2.24

הפתרון:

\begin{aligned}4+6+x+10 &= 4 \cdot 7 \\ &= 28 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

סכום הנתונים = מספרם כפול הממוצע

9+1+1+9 = 20

הסטיות $-3,\ -1,\ 1,\ 3$ בריבוע

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5} \approx 2.24\end{aligned}

סטיית התקן

את הנעלם מוצאים מהממוצע: הסכום הוא $4 \cdot 7=28$ . בלי $x$ אין סטיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נכון או לא נכון: לשתי קבוצות עם אותה סטיית תקן יש תמיד אותו טווח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}0 \\ \ 2 : \quad \bar{x} &= 1 \\ \ S &= \sqrt{\frac{1+1}{2}} \\ &= 1 \\ \ \text{טווח} &= 2\end{aligned}

קבוצה ראשונה

\begin{aligned}0 \\ \ 2 \\ \ 2 \\ \ 2 \\ \ 2 \\ \ 2 \\ \ 2 \\ \ 4 : \quad \bar{x} &= 2 \\ \ S &= \sqrt{\frac{4+4}{8}} \\ &= 1 \\ \ \text{טווח} &= 4\end{aligned}

קבוצה שנייה

לא נכון. בדוגמה הנגדית לשתי הקבוצות $S=1$ , אבל הטווחים $2$ ו- $4$ . הטווח תלוי רק בשני נתונים, וסטיית התקן בכולם: בקבוצה השנייה ששת הנתונים על הממוצע «מדללים» את שני הקיצוניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשתי כיתות נבדק ציון בבחינה במתמטיקה. בכיתה א: ממוצע $72$ , סטיית תקן $6$ . בכיתה ב: ממוצע $80$ , סטיית תקן $15$ . איזו מסקנה נכונה?

בכיתה ב כל התלמידים קיבלו יותר מהתלמידים בכיתה א
בכיתה ב הציונים גבוהים יותר בממוצע, ובכיתה א הם הומוגניים יותר
בכיתה א הציונים גבוהים יותר, כי סטיית התקן שלה קטנה
בכיתה ב הציונים גבוהים יותר בממוצע וגם הומוגניים יותר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בכיתה ב הציונים גבוהים יותר בממוצע, ובכיתה א הם הומוגניים יותר

הפתרון:

80 > 72

מדד המרכז

6 < 15

מדד הפיזור

הנכונה: ב גבוהה יותר, א אחידה יותר. והמסיח האחרון: ממוצע גבוה לא אומר שכל תלמיד בכיתה ב קיבל יותר. עם $S=15$ , בכיתה ב יש גם ציונים נמוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בטבלה: הערכים $1,\ 2,\ 3$ עם השכיחויות $2,\ 4,\ 4$ . הממוצע $2.2$ . אחד השלבים בחישוב סטיית התקן שגוי: מצאו אותו.

x - \bar{x}:\ -1.2,\ -0.2,\ 0.8

(x-\bar{x})^2:\ 1.44,\ 0.04,\ 0.64

1.44+0.04+0.64 = 2.12

S = \sqrt{\frac{2.12}{10}} \approx 0.46

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1.44+0.04+0.64 = 2.12$ → $2 \cdot 1.44+4 \cdot 0.04+4 \cdot 0.64 = 5.6$

הפתרון:

2 \cdot 1.44+4 \cdot 0.04+4 \cdot 0.64 = 5.6

עם השכיחויות

S = \sqrt{\frac{5.6}{10}} \approx 0.75

סטיית התקן הנכונה

השורה השלישית שגויה: חסרות השכיחויות. כל ריבוע נספר כמספר הנתונים שלו. אחרי התיקון גם השורה האחרונה משתנה: $S \approx 0.75$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בדיאגרמה: מספר השיעורים הפרטיים בחודש של 20 תלמידים. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.12

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{5(1+2+3+4)}{20} \\ &= 2.5\end{aligned}

כל העמודות שוות: הממוצע באמצע

5(2.25+0.25+0.25+2.25) = 25

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{25}{20}} \\ &= \sqrt{1.25} \approx 1.12\end{aligned}

חלוקה ושורש

$S \approx 1.12$ . כשכל השכיחויות שוות, התוצאה זהה לרשימה $1,\ 2,\ 3,\ 4$ : השכיחות המשותפת מתבטלת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ממוצע המשכורות של עובדי חברה הוא $7{,}500$ ש״ח וסטיית התקן $900$ ש״ח. מכל משכורת נוכו $300$ ש״ח לקרן השתלמות. השלימו (בש״ח).

הממוצע החדש: ____ , סטיית התקן החדשה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע החדש: 7200 , סטיית התקן החדשה: 900

הפתרון:

x \to x - 300

ניכוי קבוע

\begin{aligned}\bar{x} &= 7200 \\ \quad S &= 900\end{aligned}

רק הממוצע זז

ניכוי של סכום קבוע הוא כמו תוספת שלילית: הפיזור לא משתנה. מי שכתב $600$ הוריד $300$ גם מסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev