זווית גובה וזווית עומק

נועה עומדת בפארק בחיפה, $50$ מטר מבסיס של מגדל תצפית. היא מרימה את המבט אל ראש המגדל, והמבט יוצר עם הקרקע זווית של $35^\circ$ . איש לא טיפס עם סרט מדידה, ובכל זאת אפשר לדעת את גובה המגדל. הסתכלו על השרטוט.

A

המקום של נועה,

B

בסיס המגדל ו-

T

ראשו.

AT

הוא קו הראייה. הזווית בין קו הראייה לקרקע,

\angle TAB

, נקראת זווית גובה.

באיזה יחס משתמשים כדי למצוא את $BT$ ? ומה גובה המגדל?

להציג את התשובה והפתרון

$AB = 50$ הוא הניצב שליד הזווית, ו- $BT$ הניצב שמולה: טנגנס. $BT = 50\tan 35^\circ \approx 35.01$ מטר.

זווית גובה: הזווית בין הקו האופקי לבין קו הראייה, כשמסתכלים למעלה. זווית עומק: הזווית בין הקו האופקי לבין קו הראייה, כשמסתכלים למטה. בשתיהן מודדים מהאופק, אף פעם לא מהקו האנכי.

מראש הצוק

T

רואים סירה

S

. הקו המקווקו

TH

אופקי. זווית העומק היא

\angle HTS

, בין האופק לקו הראייה. זווית הגובה מהסירה אל ראש הצוק היא

\angle TSB

למה זווית העומק $\angle HTS$ שווה לזווית הגובה $\angle TSB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$TH$ אופקי, ולכן הוא מקביל לפני הים $BS$ . הזוויות $\angle HTS$ ו- $\angle TSB$ הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, ולכן הן שוות. בחישוב מעבירים את זווית העומק פנימה, אל הקודקוד $S$ .

זווית העומק נמצאת מחוץ למשולש. הצעד הראשון בכל שאלה: להעביר אותה פנימה, אל הקודקוד שלמטה, בעזרת הזוויות המתחלפות. רק אז בוחרים יחס.

גובה העיניים

המבט יוצא מהעיניים, לא מהרגליים. אם אדם שעיניו בגובה $1.6$ מטר מודד זווית גובה, המשולש ישר הזווית מתחיל בגובה העיניים. מחשבים את החלק שמעל העיניים, ומוסיפים את גובה העיניים בסוף.

PE

הוא גובה העיניים של דני.

EK

אופקי, בגובה העיניים. המשולש ישר הזווית הוא

EKT

, ו-

KB = PE

גובה מגדל המים

דני עומד $30$ מטר ממגדל מים. עיניו בגובה $1.6$ מטר, וזווית הגובה אל ראש המגדל היא $40^\circ$ . מהו גובה המגדל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

KT = 30\tan 40^\circ \approx 25.17

במשולש $EKT$ : $EK = 30$ ליד הזווית, $KT$ מולה

\begin{aligned}BT &= KT + KB \approx 25.17 + 1.6 \\ &= 26.77\end{aligned}

מוסיפים את גובה העיניים

מגדל, צוק, רחפן וכבש

h = d \cdot \tan\alpha

מגדל, בניין, עמוד: מרחק על הקרקע וזווית גובה נותנים גובה.

d = \frac{h}{\tan\alpha}

צוק, מטוס, רחפן: גובה וזווית עומק נותנים מרחק אופקי.

\ell = \frac{h}{\sin\alpha}

קו ראייה, כבל, כבש: גובה וזווית נותנים את האורך המשופע, שהוא היתר.

רחפן מרחף בגובה $80$ מטר. זווית העומק ממנו אל ילד על החוף היא $20^\circ$ . מה המרחק האופקי בין הילד לנקודה שמתחת לרחפן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

מעבירים את $20^\circ$ אל הילד. שם $80$ הוא הניצב שמול, והמרחק $d$ הניצב שליד: $\tan 20^\circ = \frac{80}{d}$ , ולכן $d = \frac{80}{\tan 20^\circ} \approx 219.80$ מטר. מי שכתב $80\tan 20^\circ \approx 29.12$ השאיר את הזווית ליד הרחפן.

שלוש טעויות של זוויות גובה ועומק.

\tan 28^\circ = \frac{BS}{40}

\tan 28^\circ = \frac{40}{BS}

אחרי שמעבירים את זווית העומק $28^\circ$ אל הסירה, הצוק $TB = 40$ נמצא מולה.

BT = 30\tan 40^\circ

BT = 30\tan 40^\circ + 1.6

שכחו את גובה העיניים: הזווית נמדדת מהעיניים, לא מהקרקע.

\angle BTS = 28^\circ

\begin{aligned}\angle BTS &= 90^\circ - 28^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

זווית העומק נמדדת מהאופק. הזווית בין הצוק האנכי לקו הראייה משלימה אותה ל- $90^\circ$ .

תרגילים

תרגיל 1

יעל עומדת בנקודה $A$ ומסתכלת על ראש העמוד $T$ . $B$ הוא בסיס העמוד, ו- $AB$ אופקי. מהי זווית הגובה?

$\angle TAB$
$\angle ATB$
$\angle ABT$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\angle TAB$

הפתרון:

\angle TAB

הזווית בין הקו האופקי $AB$ לבין קו הראייה $AT$ , בקודקוד שבו עומדת יעל

הנכונה: $\angle TAB$ . $\angle ATB$ היא הזווית בראש העמוד, בין העמוד לקו הראייה. $\angle ABT$ היא הזווית הישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מנקודה $A$ על הקרקע, במרחק $40$ מטר מבסיס בניין, זווית הגובה אל ראש הבניין היא $52^\circ$ . מהו גובה הבניין? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 51.2

הפתרון:

\tan 52^\circ = \frac{BT}{40}

$AB = 40$ ליד הזווית, הגובה $BT$ מולה

BT = 40\tan 52^\circ \approx 51.20

כופלים

הגובה $\approx 51.20$ מטר. מי שהשתמש ב- $\sin$ חישב כאילו $40$ הוא קו הראייה, אבל $40$ הוא מרחק על הקרקע: ניצב, לא יתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

עומר עומד $25$ מטר מעמוד תאורה. עיניו בגובה $1.7$ מטר, וזווית הגובה מעיניו אל ראש העמוד היא $38^\circ$ . מהו גובה העמוד? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.23

הפתרון:

KT = 25\tan 38^\circ \approx 19.53

במשולש ישר הזווית שמתחיל בגובה העיניים

BT \approx 19.53 + 1.7 = 21.23

מוסיפים את גובה העיניים

העמוד $\approx 21.23$ מטר. מי שענה $19.53$ שכח את גובה העיניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מראש צוק בגובה $60$ מטר מעל פני הים, זווית העומק אל סירה היא $25^\circ$ . מה המרחק בין הסירה לבסיס הצוק? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 128.67

הפתרון:

\angle TSB = 25^\circ

זוויות מתחלפות: זווית העומק שווה לזווית הגובה מהסירה

\begin{aligned}\tan 25^\circ &= \frac{60}{BS} \ \Rightarrow \ BS \\ &= \frac{60}{\tan 25^\circ} \approx 128.67\end{aligned}

הצוק מול הזווית, המרחק לידה

המרחק $\approx 128.67$ מטר. מי שכתב $60\tan 25^\circ \approx 27.98$ השאיר את הזווית למעלה, ליד $T$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

רחפן מרחף בגובה $120$ מטר. זווית העומק ממנו אל מכונית חונה היא $35^\circ$ . מה המרחק בקו ישר בין הרחפן למכונית? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 209.21

הפתרון:

\angle TSB = 35^\circ

מעבירים את זווית העומק אל המכונית $S$

\begin{aligned}\sin 35^\circ &= \frac{120}{TS} \ \Rightarrow \ TS \\ &= \frac{120}{\sin 35^\circ} \approx 209.21\end{aligned}

הגובה מול הזווית, והמרחק בקו ישר הוא היתר

המרחק $\approx 209.21$ מטר. «בקו ישר» הוא קו הראייה, היתר. המרחק על הקרקע, $\frac{120}{\tan 35^\circ} \approx 171.38$ , הוא תשובה לשאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כבש בכניסה לחניון עולה לגובה $1.2$ מטר לאורך מרחק אופקי של $8.5$ מטר. מהי זווית השיפוע של הכבש עם הקרקע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.04

הפתרון:

\tan\alpha = \frac{1.2}{8.5}

הגובה מול הזווית, המרחק האופקי לידה

\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1.2}{8.5}\right) \approx 8.04^\circ

הפונקציה ההפוכה, במצב מעלות

$\alpha \approx 8.04^\circ$ . $8.5$ מטר הוא מרחק אופקי, לא אורך הכבש, ולכן לא $\sin^{-1}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חוט של עפיפון באורך $50$ מטר מתוח בקו ישר, בזווית של $48^\circ$ עם הקרקע. הקצה התחתון של החוט קשור ליתד בקרקע. באיזה גובה נמצא העפיפון? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37.16

הפתרון:

\sin 48^\circ = \frac{BT}{50}

החוט הוא היתר, הגובה מול הזווית

BT = 50\sin 48^\circ \approx 37.16

כופלים

הגובה $\approx 37.16$ מטר. $50\tan 48^\circ$ היה נכון רק אילו $50$ היה מרחק על הקרקע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מראש מגדלור $T$ רואים סירה $S$ . זווית העומק מ- $T$ אל $S$ שווה לזווית הגובה מ- $S$ אל $T$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

TH \parallel BS

הקו האופקי דרך $T$ מקביל לפני הים

\angle HTS = \angle TSB

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים

נכון. זה מה שמאפשר להעביר את זווית העומק אל תוך המשולש. הטעות הנפוצה היא לשים את זווית העומק ב- $\angle BTS$ , בין המגדלור לקו הראייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

עמוד בגובה $6$ מטר מטיל צל באורך $8.5$ מטר על קרקע אופקית. מהי זווית הגובה של השמש, הזווית בין קרני השמש לקרקע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35.22

הפתרון:

\tan\alpha = \frac{6}{8.5}

העמוד מול הזווית, הצל לידה

\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8.5}\right) \approx 35.22^\circ

במחשבון

$\alpha \approx 35.22^\circ$ . מי שקיבל $54.78^\circ$ חישב את הזווית בראש העמוד, בין העמוד לקרן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מטוס טס בגובה $1500$ מטר ומתחיל לנחות. זווית העומק מהמטוס אל תחילת המסלול היא $12^\circ$ . מה המרחק בקו ישר בין המטוס לתחילת המסלול? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7214.6

הפתרון:

\angle TSB = 12^\circ

זווית העומק עוברת אל תחילת המסלול $S$

TS = \frac{1500}{\sin 12^\circ} \approx 7214.60

הגובה מול הזווית, המרחק בקו ישר הוא היתר

המרחק $\approx 7214.60$ מטר, כמעט $7.2$ ק״מ. זווית קטנה נותנת מרחק גדול: אם יצא לכם מספר קטן מ- $1500$ , כפלתם במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev