צלע חסרה וזווית חסרה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחצר של בית ספר בבאר שבע מעגנים עמוד תאורה בכבל מתוח. הכבל יוצא מראש העמוד, בגובה 99 מטר, ופוגש את הקרקע בזווית של 62∘62^\circ. כמה מטרים של כבל צריך לקנות? הסתכלו על השרטוט: העמוד, הקרקע והכבל סוגרים משולש ישר זווית.

CBA
BCBC הוא העמוד, ABAB הכבל ו-AA נקודת העיגון בקרקע. הזווית הישרה ב-CC, והזווית AA היא 62∘62^\circ.

ביחס לזווית AA: איזו צלע נתונה, איזו צלע מחפשים, ומה התפקיד של כל אחת?

להציג את התשובה והפתרון

נתון BC=9BC = 9, הניצב שמול AA. מחפשים את ABAB, היתר. מול ויתר: סינוס. sin⁡62∘=9AB\sin 62^\circ = \frac{9}{AB}, ולכן AB=9sin⁡62∘≈10.19AB = \frac{9}{\sin 62^\circ} \approx 10.19 מטר.

שלוש שאלות, יחס אחד

כל חישוב בפרק מתחיל באותן שלוש שאלות. איזו זווית חדה משתתפת? איזו צלע נתונה ביחס אליה? איזו צלע מחפשים? שתי הצלעות, הנתונה והמבוקשת, בוחרות את היחס:

sin⁡α\sin\alpha

הניצב שמול α\alpha והיתר

cos⁡α\cos\alpha

הניצב שליד α\alpha והיתר

tan⁡α\tan\alpha

הניצב שמול והניצב שליד. בלי יתר

כופלים או מחלקים?

אחרי שבחרנו יחס, כותבים משוואה עם שבר ורק אז מבודדים את הנעלם. נעלם במונה: כופלים. נעלם במכנה: מחלקים.

כמה רחוק מהעמוד נמצאת נקודת העיגון?

באותו עמוד: BC=9BC = 9 ו-∠A=62∘\angle A = 62^\circ. מצאו את ACAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

tan⁡62∘=BCAC=9AC\begin{aligned}\tan 62^\circ &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{9}{AC}\end{aligned}

BCBC מול AA, ACAC ליד AA: שני ניצבים, טנגנס

AC=9tan⁡62∘≈4.79AC = \frac{9}{\tan 62^\circ} \approx 4.79

הנעלם במכנה, ולכן מחלקים

4.79<9<10.194.79 < 9 < 10.19

בדיקה: שני הניצבים קצרים מהיתר ABAB ✓

מהיחס אל הזווית

כשנתונות שתי צלעות ומחפשים זווית, מחשבים את היחס ואז משתמשים בפונקציה ההפוכה: sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} או tan⁡−1\tan^{-1} (במרבית המחשבונים: SHIFT ואז הכפתור). לפני כן בודקים שבמסך מופיעה האות D (או DEG): המחשבון צריך להיות במצב מעלות.

במשולש ישר זווית הניצב שמול α\alpha הוא 55 והיתר 1313. מהי α\alpha? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

מול ויתר: sin⁡α=513\sin\alpha = \frac{5}{13}, ולכן α=sin⁡−1(513)≈22.62∘\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.62^\circ. והזווית החדה השנייה: 90∘−22.62∘=67.38∘90^\circ - 22.62^\circ = 67.38^\circ.

לא מעגלים באמצע הדרך. משאירים את התוצאה בזיכרון המחשבון (Ans) ומעגלים רק את התשובה הסופית. עיגול מוקדם מזיז את הספרה האחרונה.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

AB=9sin⁡62∘AB = 9\sin 62^\circ
AB=9sin⁡62∘AB = \frac{9}{\sin 62^\circ}

היתר הוא הנעלם, והוא במכנה: מחלקים. 9sin⁡62∘≈7.959\sin 62^\circ \approx 7.95, קצר מהניצב 99, וזה בלתי אפשרי ליתר.

sin⁡30=−0.99\sin 30 = -0.99
sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5

המחשבון במצב רדיאנים. עברו למצב מעלות (D) לפני כל שאלה בפרק.

α=sin⁡0.6\alpha = \sin 0.6
α=sin⁡−1(0.6)≈36.87∘\alpha = \sin^{-1}(0.6) \approx 36.87^\circ

מהיחס אל הזווית עוברים בפונקציה ההפוכה sin⁡−1\sin^{-1}, לא ב-sin⁡\sin.

תרגילים

תרגיל 1

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. נתונים היתר ABAB והזווית AA, ומחפשים את ACAC. באיזה יחס משתמשים?

  1. cos⁡A\cos A
  2. sin⁡A\sin A
  3. משפט פיתגורס
  4. tan⁡A\tan A
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א cos⁡A\cos A

הפתרון:

cos⁡A=ACAB\cos A = \frac{AC}{AB}

ACAC יוצא מהקודקוד AA: הניצב שליד. ABAB היתר

הנכונה: cos⁡A\cos A. מי שבחר sin⁡A\sin A לקח את הניצב שמול, BCBC. ופיתגורס דורש שתי צלעות ידועות, ונתונה רק אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AB=16AB = 16 ו-∠A=38∘\angle A = 38^\circ. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.85

הפתרון:

sin⁡38∘=BC16\sin 38^\circ = \frac{BC}{16}

BCBC מול AA, ABAB היתר: סינוס

BC=16sin⁡38∘≈9.85BC = 16\sin 38^\circ \approx 9.85

הנעלם במונה: כופלים

BC≈9.85BC \approx 9.85. מי שקיבל 12.6112.61 השתמש בקוסינוס וחישב את ACAC, הניצב שליד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=12AC = 12 ו-∠A=27∘\angle A = 27^\circ. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.11

הפתרון:

tan⁡27∘=BC12\tan 27^\circ = \frac{BC}{12}

BCBC מול AA, ACAC ליד AA: טנגנס

BC=12tan⁡27∘≈6.11BC = 12\tan 27^\circ \approx 6.11

כופלים

BC≈6.11BC \approx 6.11. היתר לא משתתף, ולכן לא סינוס ולא קוסינוס. 12sin⁡27∘≈5.4512\sin 27^\circ \approx 5.45 היא טעות נפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, BC=7BC = 7 ו-∠A=32∘\angle A = 32^\circ. חשבו את היתר ABAB. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.21

הפתרון:

sin⁡32∘=7AB\sin 32^\circ = \frac{7}{AB}

BCBC מול AA, ABAB היתר

AB=7sin⁡32∘≈13.21AB = \frac{7}{\sin 32^\circ} \approx 13.21

הנעלם במכנה: מחלקים

AB≈13.21AB \approx 13.21. מי שכפל קיבל 3.713.71, קצר מהניצב 77: יתר לא יכול להיות קצר מניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=18AC = 18 ו-∠B=58∘\angle B = 58^\circ. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.25

הפתרון:

tan⁡58∘=ACBC=18BC\begin{aligned}\tan 58^\circ &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{18}{BC}\end{aligned}

הזווית היא BB: מולה ACAC, לידה BCBC

BC=18tan⁡58∘≈11.25BC = \frac{18}{\tan 58^\circ} \approx 11.25

הנעלם במכנה: מחלקים

BC≈11.25BC \approx 11.25. הזווית הנתונה היא BB, לא AA: «מול» ו«ליד» נקבעים לפי הזווית שבשאלה. מי שכתב 18tan⁡58∘≈28.8118\tan 58^\circ \approx 28.81 התייחס ל-58∘58^\circ כאילו היא בקודקוד AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=9AC = 9 ו-BC=5BC = 5. חשבו את ∠A\angle A במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29.05

הפתרון:

tan⁡A=BCAC=59\begin{aligned}\tan A &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

שני ניצבים: טנגנס

A=tan⁡−1(59)≈29.05∘A = \tan^{-1}\left(\frac{5}{9}\right) \approx 29.05^\circ

במחשבון, במצב מעלות

∠A≈29.05∘\angle A \approx 29.05^\circ. מי שקיבל 60.95∘60.95^\circ הפך את השבר ומצא את ∠B\angle B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AB=14AB = 14 ו-AC=11AC = 11. חשבו את ∠A\angle A במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38.21

הפתרון:

cos⁡A=ACAB=1114\begin{aligned}\cos A &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{11}{14}\end{aligned}

ליד ויתר: קוסינוס

A=cos⁡−1(1114)≈38.21∘A = \cos^{-1}\left(\frac{11}{14}\right) \approx 38.21^\circ

הפונקציה ההפוכה

∠A≈38.21∘\angle A \approx 38.21^\circ. עם sin⁡−1\sin^{-1} מקבלים 51.79∘51.79^\circ: זה היה נכון אילו 1111 היה הניצב שמול AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=10AC = 10 ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ. תלמיד חישב את היתר ABAB. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

cos⁡40∘=10AB\cos 40^\circ = \frac{10}{AB}
AB=10cos⁡40∘≈7.66AB = 10\cos 40^\circ \approx 7.66
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=10cos⁡40∘≈7.66AB = 10\cos 40^\circ \approx 7.66 → AB=10cos⁡40∘≈13.05AB = \frac{10}{\cos 40^\circ} \approx 13.05

הפתרון:

cos⁡40∘=10AB\cos 40^\circ = \frac{10}{AB}

השורה הראשונה נכונה: ליד ויתר

AB=10cos⁡40∘≈13.05AB = \frac{10}{\cos 40^\circ} \approx 13.05

ABAB במכנה: כופלים את שני האגפים ב-ABAB ומחלקים ב-cos⁡40∘\cos 40^\circ

השורה השנייה שגויה: הנעלם היה במכנה, והתלמיד כפל. הבדיקה הייתה חושפת את זה: 7.66<107.66 < 10, ויתר אינו קצר מניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

CAB

במשולש ישר זווית, אם sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8 אז cos⁡α=0.2\cos\alpha = 0.2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

sin⁡α=0.8=45\begin{aligned}\sin\alpha &= 0.8 \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

למשל ניצב 44 מול α\alpha ויתר 55

52−42=3 ⇒ cos⁡α=35=0.6\begin{aligned}\sqrt{5^2 - 4^2} &= 3 \ \Rightarrow \ \cos\alpha \\ &= \frac{3}{5} \\ &= 0.6\end{aligned}

משפט פיתגורס נותן את הניצב שליד

לא נכון: cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. הסינוס והקוסינוס אינם משלימים ל-11. מה שמשלים ל-11 הוא סכום הריבועים שלהם: 0.64+0.36=10.64 + 0.36 = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, היתר AB=20AB = 20 ו-∠A=55∘\angle A = 55^\circ. חשבו את היקף המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 47.85

הפתרון:

BC=20sin⁡55∘≈16.38BC = 20\sin 55^\circ \approx 16.38

מול ויתר

AC=20cos⁡55∘≈11.47AC = 20\cos 55^\circ \approx 11.47

ליד ויתר

P=20+16.38+11.47≈47.85P = 20 + 16.38 + 11.47 \approx 47.85

סכום שלוש הצלעות

ההיקף ≈47.85\approx 47.85. מי שחיבר רק את שני הניצבים שכח את היתר, שהוא הנתון עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת