פותרים יחד · טריגונומטריה — יישומים · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כמו שאלת הטריגונומטריה באשכול התמצאות במישור: הקשר מהחיים, שרטוט, וסעיפים א, ב, ג שנבנים זה על זה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים: איזה משולש ישר זווית, איזו זווית, איזה יחס. ובסוף כל סעיף: יחידות ועיגול.

1 — מגדל מציל וזווית עומק

T

עמדת המציל,

B

בסיס המגדל על קו המים,

S

השחיין.

TH

אופקי.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1

\begin{aligned}TB &= 9 \\ \quad \angle HTS &= 14^\circ \\ \quad v &= 1.5\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מציל יושב בעמדה $T$ , בגובה $9$ מטר מעל פני הים, ורואה שחיין $S$ בזווית עומק של $14^\circ$ . א. מה המרחק האופקי $BS$ ? ב. מה המרחק בקו ישר בין המציל לשחיין? ג. המציל שוחה מ- $B$ אל $S$ במהירות $1.5$ מטר בשנייה. האם יגיע תוך $30$ שניות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

זווית פנימה

\begin{aligned}\angle TSB &= \angle HTS \\ &= 14^\circ\end{aligned}

זוויות מתחלפות: $TH \parallel BS$ .

א. BS

\begin{aligned}\tan 14^\circ &= \frac{9}{BS} \ \Rightarrow \ BS \\ &= \frac{9}{\tan 14^\circ} \approx 36.10\end{aligned}

מול $S$ נמצא $TB = 9$ , לידו $BS$ . הנעלם במכנה.

ב. TS

\begin{aligned}\sin 14^\circ &= \frac{9}{TS} \ \Rightarrow \ TS \\ &= \frac{9}{\sin 14^\circ} \approx 37.20\end{aligned}

קו הראייה הוא היתר. בדיקה: $37.20 > 36.10$ ✓

ג. זמן

t = \frac{36.10}{1.5} \approx 24.06

זמן = דרך חלקי מהירות, בשניות.

ג. מסקנה

24.06 > 30

לא. המציל צריך יותר מ- $30$ שניות.

שני מקומות שבהם השאלה «תופסת»: להעביר את $14^\circ$ אל $S$ לפני הכול, ובסעיף ג לשחות את המרחק האופקי, לא את קו הראייה.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ג, למה המציל שוחה $BS$ ולא $TS$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$TS$ הוא קו הראייה, מהעמדה הגבוהה אל השחיין, באוויר. המציל יורד למים ב- $B$ ושוחה על פני המים, לאורך $BS$ . קראו מה זז ואיפה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — טרפז ישר זווית

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2

ערוגה בגינה ציבורית היא טרפז ישר זווית $ABCD$ : $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = \angle D = 90^\circ$ . הבסיסים $AB = 20$ מטר ו- $DC = 12$ מטר, והזווית $\angle B = 50^\circ$ . א. מצאו את גובה הטרפז. ב. מצאו את השוק $BC$ . ג. מצאו את שטח הערוגה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

$CE \approx 9.53$ , $BC \approx 12.45$ , $S \approx 152.54$

$CE \approx 4.77$ , $BC \approx 6.22$ , $S \approx 76.27$

$CE \approx 6.13$ , $BC \approx 10.44$ , $S \approx 98.05$

$CE \approx 9.53$ , $BC \approx 12.45$ , $S \approx 305.09$

איזה קו מעבירים כדי לקבל משולש ישר זווית?

גובה $CE$ מ- $C$ אל $AB$

להציג את התשובה והפתרון

$AECD$ נעשה מלבן, ו- $EBC$ משולש ישר זווית עם הזווית $B$ .

האלכסון $AC$

להציג את התשובה והפתרון

$AC$ נותן משולש $ABC$ שאינו ישר זווית, והזווית $50^\circ$ לא עוזרת בו.

\begin{aligned}EB &= AB - AE \\ &= 20 - 12 \\ &= 8\end{aligned}

$AE = DC = 12$ : צלעות נגדיות במלבן $AECD$ . בטרפז ישר זווית יש קטע אחד בצד, לא שניים.

איך מוצאים את הגובה $CE$ ?

$CE = 8\sin 50^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$8$ אינו היתר. היתר הוא $BC$ , שעוד לא ידוע.

$CE = 8\tan 50^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$EB$ ליד $B$ , $CE$ מולה: טנגנס.

\begin{aligned}CE &= 8\tan 50^\circ \approx 9.53 \qquad BC \\ &= \frac{8}{\cos 50^\circ} \approx 12.45\end{aligned}

א. הגובה. ב. השוק היא היתר של $EBC$ .

ומהו השטח?

$\frac{20 + 12}{2} \cdot CE$

להציג את התשובה והפתרון

ממוצע הבסיסים כפול הגובה.

$(20 + 12) \cdot CE$

להציג את התשובה והפתרון

שכחו לחלק ב- $2$ : זה כפול מהשטח.

S = 16 \cdot 9.53 \approx 152.54

ג. במ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $CE \approx 9.53$ , $BC \approx 12.45$ , $S \approx 152.54$ מ״ר. האפשרות השנייה חילקה את $8$ לשניים, כאילו הטרפז שווה שוקיים. השלישית לקחה את $8$ כיתר.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה מטרים של גדר צריך מסביב לערוגה?

להציג את התשובה והפתרון

ההיקף: $AB + BC + CD + DA = 20 + 12.45 + 12 + 9.53 \approx 53.98$ מטר. $DA = CE$ , כי $AECD$ מלבן.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מקבילית: גובה, שטח ואלכסון

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3

\begin{aligned}AB &= 24 \\ \quad AD &= 16 \\ \quad \angle A &= 38^\circ \\ \quad DE \perp AB\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מגרש משחקים בצורת מקבילית $ABCD$ . $DE$ הוא הגובה לצלע $AB$ . א. חשבו את $DE$ . ב. חשבו את שטח המגרש. ג. חשבו את אורך האלכסון $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

א. DE

DE = 16\sin 38^\circ \approx 9.85

במשולש $AED$ : $AD = 16$ היתר, $DE$ מול $A$ .

ב. שטח

\begin{aligned}S &= AB \cdot DE \\ &= 24 \cdot 9.85 \approx 236.41\end{aligned}

שטח מקבילית: צלע כפול הגובה אליה.

ג. AE

AE = 16\cos 38^\circ \approx 12.61

הניצב שליד $A$ .

ג. EB

EB = 24 - 12.61 \approx 11.39

$E$ נמצא על $AB$ .

ג. BD

BD = \sqrt{11.39^2 + 9.85^2} \approx 15.06

משפט פיתגורס במשולש $DEB$ , ישר זווית ב- $E$ .

סעיף ג משתמש בשני המשולשים שהגובה יוצר: $AED$ נותן את $AE$ , ו- $DEB$ נותן את האלכסון.

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו את השטח בדרך אחרת, בנוסחה עם סינוס.

להציג את התשובה והפתרון

$S = AB \cdot AD \cdot \sin A = 24 \cdot 16 \cdot \sin 38^\circ \approx 236.41$ . אותה תוצאה, כי $DE = AD\sin A$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מתרחקים, והזווית קטנה

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4

מהנקודה $P$ , $15$ מטר מבסיס קיר טיפוס $B$ , זווית הגובה אל ראש הקיר $T$ היא $50^\circ$ . מתרחקים מהקיר $10$ מטר נוספים, אל הנקודה $A$ . א. מצאו את גובה הקיר. ב. מצאו את זווית הגובה מ- $A$ אל $T$ . ג. האם זווית הגובה מ- $A$ קטנה מ- $35^\circ$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

$BT \approx 17.88$ , $\angle TAB \approx 35.57^\circ$ , לא

$BT \approx 17.88$ , $\angle TAB \approx 60.78^\circ$ , לא

$BT \approx 17.88$ , $\angle TAB = 40^\circ$ , לא

$BT \approx 11.49$ , $\angle TAB \approx 24.68^\circ$ , כן

איך מוצאים את גובה הקיר?

$BT = 15\tan 50^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$PB = 15$ ליד הזווית, $BT$ מולה.

$BT = 15\sin 50^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$15$ הוא מרחק על הקרקע, ניצב ולא יתר.

BT = 15\tan 50^\circ \approx 17.88

א.

מה המרחק האופקי מ- $A$ לקיר?

$AB = 10$

להציג את התשובה והפתרון

$10$ הוא רק הצעד הנוסף, $AP$ .

$AB = 15 + 10 = 25$

להציג את התשובה והפתרון

מתרחקים: המרחק החדש הוא סכום.

AB = 25

הגובה לא השתנה, רק המרחק.

ואיך מוצאים את הזווית החדשה?

$\tan^{-1}\left(\frac{BT}{25}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

שני ניצבים: $BT$ מול, $AB$ ליד.

$50^\circ - 10^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

הזווית אינה יורדת מעלה אחת לכל מטר. מחשבים אותה במשולש החדש.

\angle TAB = \tan^{-1}\left(\frac{17.88}{25}\right) \approx 35.57^\circ > 35^\circ

ב. ו-ג. הזווית אינה קטנה מ- $35^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BT \approx 17.88$ מטר, $\angle TAB \approx 35.57^\circ$ , ולכן לא. מי שענה $40^\circ$ הוריד מעלה לכל מטר, ומי שקיבל $BT \approx 11.49$ השתמש בסינוס.

לעשות את הפעילות ב-elev

בלי לחשב: כשמתרחקים מהקיר, זווית הגובה גדלה או קטנה? ולמה?

להציג את התשובה והפתרון

קטנה. הגובה $BT$ נשאר, והמרחק שליד הזווית גדל. לכן $\tan\alpha = \frac{BT}{AB}$ קטן, והזווית קטנה איתו. בדיקה שכדאי לעשות אחרי כל חישוב כזה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 מוסיפה טרפז שווה שוקיים.

תרגילים

תרגיל 1

מציל יושב בעמדה בגובה $11$ מטר מעל פני הים ורואה שחיין בזווית עומק של $16^\circ$ . המציל יורד לבסיס העמדה ושוחה אל השחיין במהירות $1.4$ מטר בשנייה. כמה שניות תימשך השחייה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27.4

הפתרון:

\angle TSB = 16^\circ

זוויות מתחלפות

BS = \frac{11}{\tan 16^\circ} \approx 38.36

הגובה מול הזווית, המרחק האופקי לידה

t = \frac{38.36}{1.4} \approx 27.40

זמן = דרך חלקי מהירות

כ- $27.40$ שניות. מי ששחה את קו הראייה, $\frac{11}{\sin 16^\circ}$ , קיבל זמן ארוך מדי: שוחים על פני המים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

טרפז ישר זווית $ABCD$ : $AB \parallel DC$ , $\angle A = \angle D = 90^\circ$ , $AB = 26$ , $DC = 18$ ו- $\angle B = 40^\circ$ . $CE$ הוא הגובה לבסיס $AB$ . חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 147.68

הפתרון:

\begin{aligned}EB &= 26 - 18 \\ &= 8\end{aligned}

$AECD$ מלבן, ולכן $AE = 18$

CE = 8\tan 40^\circ \approx 6.71

במשולש $EBC$

S = \frac{26 + 18}{2} \cdot 6.71 \approx 147.68

שטח טרפז

השטח $\approx 147.68$ . בטרפז ישר זווית ההפרש בין הבסיסים כולו בצד אחד: $EB = 8$ , לא $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במקבילית $ABCD$ : $AB = 20$ , $AD = 12$ ו- $\angle A = 42^\circ$ . $DE$ הוא הגובה לצלע $AB$ . חשבו את אורך האלכסון $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.69

הפתרון:

DE = 12\sin 42^\circ \approx 8.03

במשולש $AED$ , $AD$ היתר

AE = 12\cos 42^\circ \approx 8.92 \ \Rightarrow \ EB \approx 11.08

$EB = AB - AE$

BD = \sqrt{11.08^2 + 8.03^2} \approx 13.69

פיתגורס במשולש $DEB$

$BD \approx 13.69$ . מי שחישב $\sqrt{20^2 + 12^2}$ הניח ש- $ABD$ ישר זווית, והזווית $A$ היא $42^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהנקודה $P$ , $20$ מטר מבסיס אנטנה, זווית הגובה אל ראש האנטנה היא $55^\circ$ . מתרחקים מהאנטנה $12$ מטר נוספים, אל הנקודה $A$ . מהי זווית הגובה מ- $A$ אל ראש האנטנה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 41.75

הפתרון:

BT = 20\tan 55^\circ \approx 28.56

הגובה, מהמשולש הראשון

\begin{aligned}AB &= 20 + 12 \\ &= 32\end{aligned}

המרחק החדש

\angle TAB = \tan^{-1}\left(\frac{28.56}{32}\right) \approx 41.75^\circ

שני ניצבים

הזווית $\approx 41.75^\circ$ . הגובה הוא הקשר בין שני המשולשים. מי שחישב $\tan^{-1}\left(\frac{28.56}{12}\right)$ לקח רק את הצעד הנוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 30$ ו- $DC = 16$ , וזווית הבסיס $\angle A = 55^\circ$ . חשבו את היקף הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70.41

הפתרון:

\begin{aligned}AE &= \frac{30 - 16}{2} \\ &= 7\end{aligned}

שני קטעים שווים בצדדים

AD = \frac{7}{\cos 55^\circ} \approx 12.20

במשולש $AED$ , השוק היא היתר

P = 30 + 16 + 2 \cdot 12.20 \approx 70.41

שתי שוקיים

ההיקף $\approx 70.41$ . כאן, בניגוד לטרפז ישר הזווית, ההפרש מתחלק בין שני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מגדל מציל וזווית עומק

2 — טרפז ישר זווית

3 — מקבילית: גובה, שטח ואלכסון

4 — מתרחקים, והזווית קטנה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev