שטח בעזרת סינוס

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

במושב בעמק חפר גודרים חלקה משולשת. שתי גדרות יוצאות מאותה פינה: אחת באורך 3030 מטר והשנייה באורך 2424 מטר, והזווית ביניהן 65∘65^\circ. כמות הדשן תלויה בשטח החלקה, ואף אחד לא מדד גובה. הסתכלו על השרטוט.

CABH
הגדרות CA=30CA = 30 ו-CB=24CB = 24 יוצאות מהפינה CC. הגובה המקווקו BHBH לא נמדד, אבל הוא ניצב במשולש ישר הזווית BHCBHC.

איך מחשבים את הגובה BHBH מתוך הנתונים? ומה שטח החלקה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

במשולש BHCBHC היתר הוא CB=24CB = 24, ו-BHBH מול הזווית CC: BH=24sin⁡65∘≈21.75BH = 24\sin 65^\circ \approx 21.75 מטר. השטח: 12⋅30⋅24sin⁡65∘≈326.27\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 24\sin 65^\circ \approx 326.27 מ״ר.

הנוסחה

S=12absin⁡γS = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

aa ו-bb שתי צלעות, ו-γ\gamma הזווית שביניהן. הנוסחה מופיעה בדף הנוסחאות.

למה היא נכונה. הגובה לצלע aa הוא הניצב שמול γ\gamma במשולש ישר זווית שהיתר שלו bb, ולכן h=bsin⁡γh = b\sin\gamma. מציבים בנוסחת השטח הרגילה: S=12⋅a⋅h=12absin⁡γS = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2}ab\sin\gamma.

במשולש ABCABC נתונים AB=7AB = 7, AC=9AC = 9 ו-∠B=50∘\angle B = 50^\circ. אפשר להציב את שלושת הנתונים בנוסחה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הזווית שבין ABAB ל-ACAC היא ∠A\angle A, לא ∠B\angle B. הנוסחה דורשת שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן. עם ∠B\angle B צריך את ABAB ואת BCBC.

מקבילית ומעוין

האלכסון BDBD חוצה את המקבילית ABCDABCD לשני משולשים חופפים. לכל אחד מהם שתי צלעות aa, bb והזווית α\alpha ביניהן, ולכן שטח המקבילית הוא פעמיים 12absin⁡α\frac{1}{2}ab\sin\alpha:

S=absin⁡αS = ab\sin\alpha

מקבילית. במעוין שתי הצלעות שוות, ולכן S=a2sin⁡αS = a^2\sin\alpha.

ABCD

שטח מקבילית

במקבילית ABCDABCD הצלעות AB=12AB = 12 ו-AD=7AD = 7, והזווית ∠A=55∘\angle A = 55^\circ. מצאו את שטח המשולש ABDABD ואת שטח המקבילית. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

SABD=12⋅12⋅7⋅sin⁡55∘≈34.40S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7 \cdot \sin 55^\circ \approx 34.40

ABAB ו-ADAD יוצאות מהקודקוד AA

SABCD=12⋅7⋅sin⁡55∘≈68.81S_{ABCD} = 12 \cdot 7 \cdot \sin 55^\circ \approx 68.81

פעמיים שטח המשולש

מהשטח אל הזווית או אל הצלע

כשהשטח ידוע, אותה נוסחה נותנת זווית או צלע. מציבים, מבודדים את sin⁡γ\sin\gamma (או את הצלע), ולוחצים sin⁡−1\sin^{-1}. כשנתון שהזווית חדה, המחשבון נותן אותה ישירות.

לפני שמציבים: סמנו את הזווית בשרטוט ובדקו ששתי הצלעות יוצאות ממנה. אם לא, מחפשים קודם צלע אחרת או זווית אחרת.

שלוש טעויות בנוסחת השטח.

S=12⋅30⋅24S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 24
S=12⋅30⋅24⋅sin⁡65∘S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 24 \cdot \sin 65^\circ

בלי הסינוס, זה נכון רק כשהזווית ישרה.

S△=absin⁡γS_{\triangle} = ab\sin\gamma
S△=12absin⁡γS_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

במשולש יש חצי. בלעדיו זה השטח של מקבילית.

S=12⋅7⋅9⋅sin⁡50∘S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 50^\circ
S=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡AS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A

הזווית BB אינה בין ABAB ל-ACAC. הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות.

תרגילים

תרגיל 1

CAB

במשולש ABCABC: CA=8CA = 8, CB=11CB = 11 והזווית ביניהן ∠C=40∘\angle C = 40^\circ. חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28.28

הפתרון:

S=12⋅8⋅11⋅sin⁡40∘S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 11 \cdot \sin 40^\circ

שתי צלעות והזווית שביניהן

S=44sin⁡40∘≈28.28S = 44\sin 40^\circ \approx 28.28

במחשבון

השטח ≈28.28\approx 28.28. מי שענה 4444 שכח את הסינוס: 4444 הוא השטח רק כשהזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABC

במשולש שווה שוקיים ABCABC השוקיים AB=AC=12AB = AC = 12 וזווית הראש ∠A=50∘\angle A = 50^\circ. חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55.16

הפתרון:

S=12⋅12⋅12⋅sin⁡50∘S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin 50^\circ

שתי השוקיים יוצאות מהקודקוד AA

S=72sin⁡50∘≈55.16S = 72\sin 50^\circ \approx 55.16

במחשבון

השטח ≈55.16\approx 55.16. אין צורך בגובה: זווית הראש כלואה בין שתי השוקיים. מי שהציב את זווית הבסיס 65∘65^\circ קיבל 65.2565.25, והיא אינה בין השוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

CAB

במשולש ABCABC: CA=10CA = 10, CB=8CB = 8, הזווית ∠C\angle C חדה, ושטח המשולש 3030. חשבו את ∠C\angle C. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48.59

הפתרון:

30=12⋅10⋅8⋅sin⁡C=40sin⁡C\begin{aligned}30 &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \sin C \\ &= 40\sin C\end{aligned}

מציבים בנוסחת השטח

sin⁡C=0.75 ⇒ C=sin⁡−1(0.75)≈48.59∘\begin{aligned}\sin C &= 0.75 \ \Rightarrow \ C \\ &= \sin^{-1}(0.75) \approx 48.59^\circ\end{aligned}

הזווית חדה

∠C≈48.59∘\angle C \approx 48.59^\circ. מי שכתב sin⁡C=3080\sin C = \frac{30}{80} שכח את החצי שבנוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

CAB

במשולש ABCABC: CA=10CA = 10 ו-∠C=30∘\angle C = 30^\circ. שטח המשולש 4040. חשבו את CBCB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

40=12⋅10⋅CB⋅sin⁡30∘40 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CB \cdot \sin 30^\circ

מציבים

40=2.5⋅CB ⇒ CB=16\begin{aligned}40 &= 2.5 \cdot CB \ \Rightarrow \ CB \\ &= 16\end{aligned}

sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5

CB=16CB = 16. sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5 בדיוק, ולכן התוצאה מספר שלם. מי שקיבל 88 שכח את החצי שבנוסחה, ומי שקיבל 44 שכח את הסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

BCA

במשולש ABCABC נתונים ABAB, BCBC והזווית ∠B\angle B. איזו נוסחה נותנת את שטח המשולש?

  1. 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡A\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin A
  2. 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B
  3. 12⋅AB⋅BC\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC
  4. AB⋅BC⋅sin⁡BAB \cdot BC \cdot \sin B
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

הפתרון:

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

ABAB ו-BCBC יוצאות מ-BB, ולכן BB היא הזווית שביניהן

הנכונה: 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B. בלי החצי זה שטח מקבילית, ובלי הסינוס זה נכון רק ל-∠B=90∘\angle B = 90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD

במקבילית ABCDABCD הצלעות AB=10AB = 10 ו-AD=6AD = 6, והזווית ∠A=60∘\angle A = 60^\circ. חשבו את שטח המקבילית. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 51.96

הפתרון:

S=AB⋅AD⋅sin⁡A=60sin⁡60∘\begin{aligned}S &= AB \cdot AD \cdot \sin A \\ &= 60\sin 60^\circ\end{aligned}

שני משולשים חופפים, כל אחד 12⋅10⋅6⋅sin⁡60∘\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ

S≈51.96S \approx 51.96

במחשבון

השטח ≈51.96\approx 51.96. במקבילית אין חצי: היא בנויה משני משולשים. מי שענה 25.9825.98 חישב משולש אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD

במעוין ABCDABCD הצלע 99 והזווית ∠A=40∘\angle A = 40^\circ. חשבו את שטח המעוין. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 52.07

הפתרון:

S=a2sin⁡α=92⋅sin⁡40∘\begin{aligned}S &= a^2\sin\alpha \\ &= 9^2 \cdot \sin 40^\circ\end{aligned}

מעוין הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות

S=81sin⁡40∘≈52.07S = 81\sin 40^\circ \approx 52.07

במחשבון

השטח ≈52.07\approx 52.07. אפשר גם בשני אלכסונים: AC⋅BD⋅12AC \cdot BD \cdot \frac{1}{2}, ומקבלים את אותו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

CAB

שתי צלעות של משולש הן 66 ו-88. אם מגדילים את הזווית שביניהן מ-30∘30^\circ ל-60∘60^\circ, השטח גדל פי 22.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S1=12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘=12\begin{aligned}S_1 &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ \\ &= 12\end{aligned}

sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5

S2=24sin⁡60∘≈20.78S_2 = 24\sin 60^\circ \approx 20.78

sin⁡60∘≈0.87\sin 60^\circ \approx 0.87, לא 11

לא נכון: השטח גדל פי 1.731.73 בערך, לא פי 22. השטח גדל כמו sin⁡γ\sin\gamma, והסינוס אינו גדל באותו יחס כמו הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABC

חשבו את שטח המשולש שווה הצלעות שצלעו 66. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15.59

הפתרון:

∠A=60∘\angle A = 60^\circ

כל זוויות המשולש שווה הצלעות הן 60∘60^\circ

S=12⋅6⋅6⋅sin⁡60∘≈15.59S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ \approx 15.59

שתי צלעות והזווית שביניהן

השטח ≈15.59\approx 15.59. מי שחישב 12⋅6⋅6=18\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 לקח צלע כאילו היא הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD

במקבילית ABCDABCD הצלעות AB=10AB = 10 ו-AD=8AD = 8, והשטח 4848. הזווית ∠A\angle A חדה. חשבו את ∠A\angle A. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.87

הפתרון:

48=10⋅8⋅sin⁡A48 = 10 \cdot 8 \cdot \sin A

שטח מקבילית, בלי חצי

sin⁡A=0.6 ⇒ A=sin⁡−1(0.6)≈36.87∘\begin{aligned}\sin A &= 0.6 \ \Rightarrow \ A \\ &= \sin^{-1}(0.6) \approx 36.87^\circ\end{aligned}

הזווית חדה

∠A≈36.87∘\angle A \approx 36.87^\circ. מי שהוסיף חצי קיבל sin⁡A=1.2\sin A = 1.2, והמחשבון החזיר שגיאה: סימן שהנוסחה לא מתאימה לצורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת