סדרה 2 — בינוני · טריגונומטריה — יישומים · כיתה י״א

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: היקף משולש ישר זווית, גובה עיניים, מטוס וכבש, משולש שווה שוקיים, טרפז, מעוין ומלבן, זווית מתוך שטח, וצל שמשנה אורך. כל תוצאה של צעד אחד נכנסת לצעד הבא.

שמרו כל תוצאת ביניים במחשבון ועגלו רק בסוף. ובכל צורה: איזה משולש ישר זווית, והאם הצלע שלו היא הצלע של הצורה או חצי ממנה?

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 11$ ו- $\angle A = 36^\circ$ . חשבו את היקף המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32.59

הפתרון:

BC = 11\tan 36^\circ \approx 7.99

שני ניצבים: טנגנס

AB = \frac{11}{\cos 36^\circ} \approx 13.60

ליד ויתר, והיתר במכנה

P \approx 11 + 7.99 + 13.60 \approx 32.59

סכום הצלעות

ההיקף $\approx 32.59$ . את $AB$ עדיף לחשב מהנתון $11$ ולא מ- $BC$ המעוגל: עיגול שנגרר מזיז את הספרה האחרונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תמר עומדת $42$ מטר מבניין. עיניה בגובה $1.65$ מטר, וזווית הגובה מעיניה אל גג הבניין היא $33^\circ$ . מהו גובה הבניין? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28.93

הפתרון:

KT = 42\tan 33^\circ \approx 27.28

החלק שמעל גובה העיניים

BT \approx 27.28 + 1.65 = 28.93

מוסיפים את גובה העיניים

הבניין $\approx 28.93$ מטר. $27.28$ הוא רק החלק שמעל העיניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כבש לכיסאות גלגלים בכניסה לספרייה עולה לגובה $1.2$ מטר, בזווית של $6^\circ$ עם הקרקע. מה אורך הכבש עצמו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.48

הפתרון:

\sin 6^\circ = \frac{1.2}{\ell}

הגובה מול הזווית, הכבש הוא היתר

\ell = \frac{1.2}{\sin 6^\circ} \approx 11.48

מחלקים

הכבש $\approx 11.48$ מטר. $\frac{1.2}{\tan 6^\circ} \approx 11.42$ הוא המרחק האופקי שהכבש תופס, לא אורכו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מטוס קל טס בגובה $900$ מטר. הטייס רואה את תחילת המסלול בזווית עומק של $9^\circ$ , וממשיך לטוס אופקית לעברה במהירות $70$ מטר בשנייה. כעבור כמה שניות יהיה בדיוק מעל תחילת המסלול? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.18

הפתרון:

BS = \frac{900}{\tan 9^\circ} \approx 5682.38

זווית העומק עוברת אל תחילת המסלול

t = \frac{5682.38}{70} \approx 81.18

זמן = דרך חלקי מהירות

כ- $81.18$ שניות. המטוס טס אופקית, ולכן הדרך היא המרחק האופקי $BS$ , לא קו הראייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 18$ וזווית הבסיס $\angle B = 40^\circ$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 67.97

הפתרון:

AD = 9\tan 40^\circ \approx 7.55

הגובה לבסיס, מחצי הבסיס

S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 7.55 \approx 67.97

חצי בסיס כפול גובה, על הבסיס כולו

השטח $\approx 67.97$ . חצי אחד בחישוב הגובה, והבסיס כולו בנוסחת השטח. מי שהשתמש ב- $9$ בשני המקומות קיבל חצי מהשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 28$ ו- $DC = 16$ , והגובה $DE = 8$ . חשבו את זווית הבסיס $\angle A$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.13

הפתרון:

\begin{aligned}AE &= \frac{28 - 16}{2} \\ &= 6\end{aligned}

שני קטעים שווים בצדדים

\tan A = \frac{8}{6} \ \Rightarrow \ A \approx 53.13^\circ

במשולש $AED$ : שני ניצבים

$\angle A \approx 53.13^\circ$ . מי שלקח $AE = 12$ קיבל $33.69^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במעוין $ABCD$ הצלע $15$ והזווית $\angle DAB = 58^\circ$ . חשבו את שטח המעוין. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 190.81

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= 15\cos 29^\circ \approx 13.12 \\ \ BO &= 15\sin 29^\circ \approx 7.27\end{aligned}

במשולש $AOB$ , עם חצי זווית

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{2 \cdot 13.12 \cdot 2 \cdot 7.27}{2} \approx 190.81\end{aligned}

שטח מעוין: מכפלת האלכסונים חלקי $2$

S = 15^2 \sin 58^\circ \approx 190.81

בדיקה בנוסחת המקבילית ✓

השטח $\approx 190.81$ . מי שכפל $AO \cdot BO$ חישב רק שני משולשים קטנים מתוך ארבעה, חצי מהמעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במלבן $ABCD$ האלכסון $AC = 17$ , והוא יוצר עם הצלע $AB$ זווית של $31^\circ$ . חשבו את היקף המלבן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 46.65

הפתרון:

AB = 17\cos 31^\circ \approx 14.57

ליד ויתר

BC = 17\sin 31^\circ \approx 8.76

מול ויתר

P = 2(14.57 + 8.76) \approx 46.65

ארבע צלעות, שתיים מכל סוג

ההיקף $\approx 46.65$ . $AB + BC + AC$ הוא היקף המשולש $ABC$ , לא של המלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ : $CA = 12$ ו- $CB = 11$ . הזווית $\angle C$ חדה, ושטח המשולש $45$ . חשבו את $\angle C$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 42.99

הפתרון:

\begin{aligned}45 &= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 11 \cdot \sin C \\ &= 66\sin C\end{aligned}

מציבים בנוסחה

\sin C = \frac{45}{66} \ \Rightarrow \ C \approx 42.99^\circ

$\sin^{-1}$ , והזווית חדה

$\angle C \approx 42.99^\circ$ . מי ששכח את החצי קיבל $\sin C = \frac{45}{132}$ וזווית קטנה מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באותה שעה, מקל באורך $2$ מטר מטיל צל של $1.5$ מטר, ובניין מטיל צל של $15$ מטר. חשבו את זווית הגובה של השמש, ואז את גובה הבניין. הקלידו את גובה הבניין. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\tan\alpha = \frac{2}{1.5} \ \Rightarrow \ \alpha \approx 53.13^\circ

זווית הגובה של השמש, מהמקל

\begin{aligned}h &= 15\tan\alpha \\ &= 15 \cdot \frac{2}{1.5} \\ &= 20\end{aligned}

אותה זווית לבניין: באותה שעה הקרניים מקבילות

הבניין בגובה $20$ מטר בדיוק: $\tan\alpha = \frac{4}{3}$ , וכל צל כפול $\frac{4}{3}$ נותן גובה. מי שעיגל את הזווית קודם יקבל מספר קרוב ל- $20$ , ולכן עדיף להשאיר את $\tan\alpha$ כשבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev