סדרה 3 — לקראת הבגרות · טריגונומטריה — יישומים · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים: סולם כבאים שמגיע לחלון, ערוגה בצורת טרפז ישר זווית עם עלות גדר, ואריח בצורת מעוין. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: המשולש ישר הזווית, היחס והנימוק, ורק אז המספר, עם יחידות. סעיף ב משתמש בתוצאה של סעיף א: השאירו אותה בזיכרון המחשבון.

תרגילים

תרגיל 1

סולם של רכב כיבוי אש מחובר לרכב בגובה $2.5$ מטר מעל הקרקע. אורך הסולם $18$ מטר, והוא נשען על קיר של בניין בזווית של $64^\circ$ עם הקו האופקי. א. לאיזה גובה מעל הקרקע מגיע הסולם? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.68

הפתרון:

KT = 18\sin 64^\circ \approx 16.18

במשולש $PKT$ : הסולם $PT$ הוא היתר, $KT$ מול הזווית

\begin{aligned}WT &= KT + KW \approx 16.18 + 2.5 \\ &= 18.68\end{aligned}

הסולם מתחיל בגובה $2.5$ מטר

$\approx 18.68$ מטר. בלי $2.5$ המטרים של הרכב, התשובה נמוכה מדי: זה בדיוק כמו גובה העיניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סולם של רכב כיבוי אש מחובר לרכב בגובה $2.5$ מטר מעל הקרקע. אורך הסולם $18$ מטר, והוא נשען על קיר של בניין בזווית של $64^\circ$ עם הקו האופקי. ב. מה המרחק האופקי בין נקודת החיבור של הסולם לבין הקיר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.89

הפתרון:

PK = 18\cos 64^\circ \approx 7.89

ליד ויתר

$\approx 7.89$ מטר. $\frac{18}{\cos 64^\circ}$ שם את הסולם במכנה, כאילו הוא ניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

סולם של רכב כיבוי אש מחובר לרכב בגובה $2.5$ מטר מעל הקרקע. אורך הסולם $18$ מטר, והוא נשען על קיר של בניין בזווית של $64^\circ$ עם הקו האופקי. ג. חלון נמצא בגובה $20$ מטר מעל הקרקע. באיזו זווית עם הקו האופקי צריך להציב את אותו סולם כדי שיגיע בדיוק לחלון? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 76.46

הפתרון:

\begin{aligned}KT &= 20 - 2.5 \\ &= 17.5\end{aligned}

הגובה שהסולם עצמו צריך לטפס

\sin\alpha = \frac{17.5}{18} \ \Rightarrow \ \alpha \approx 76.46^\circ

מול ויתר

$\alpha \approx 76.46^\circ$ . מי שחישב $\sin\alpha = \frac{20}{18}$ קיבל שגיאה במחשבון: סינוס גדול מ- $1$ . הסיבה היא שלא הוריד את $2.5$ המטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ערוגה בגן ילדים היא טרפז ישר זווית $ABCD$ : $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = \angle D = 90^\circ$ . הבסיסים $AB = 15$ מטר ו- $DC = 9$ מטר, והשוק המשופעת $BC = 10$ מטר. $CE$ הוא הגובה לבסיס $AB$ . א. חשבו את גובה הטרפז $CE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}EB &= 15 - 9 \\ &= 6\end{aligned}

$AECD$ מלבן, ולכן $AE = DC = 9$

\begin{aligned}CE &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $EBC$

$CE = 8$ . בטרפז ישר זווית ההפרש בין הבסיסים כולו בצד אחד: מי שלקח $EB = 3$ קיבל $\sqrt{91}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.13

הפתרון:

\begin{aligned}\cos B &= \frac{EB}{BC} \\ &= \frac{6}{10}\end{aligned}

ליד ויתר

B = \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^\circ

במחשבון

$\angle B \approx 53.13^\circ$ . אפשר גם $\tan B = \frac{8}{6}$ או $\sin B = \frac{8}{10}$ : כל יחס שמשתמש בצלעות הנכונות נותן אותה זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1890

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= CE \\ &= 8\end{aligned}

צלעות נגדיות במלבן $AECD$

\begin{aligned}P &= 15 + 10 + 9 + 8 \\ &= 42\end{aligned}

היקף הטרפז

42 \cdot 45 = 1890

מחיר למטר כפול מספר המטרים

$1890$ ₪. מי שחישב את השטח ( $96$ מ״ר) וכפל ב- $45$ תמחר משטח, אבל גדר נמדדת לאורך ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אריח קרמיקה בצורת מעוין $ABCD$ . צלע האריח $12$ ס״מ, והזווית $\angle DAB = 50^\circ$ . האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . א. חשבו את האלכסון הקצר $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.14

הפתרון:

\begin{aligned}\angle OAB &= 25^\circ \\ \ \angle AOB &= 90^\circ\end{aligned}

במעוין האלכסונים מאונכים וחוצים את הזוויות

BO = 12\sin 25^\circ \approx 5.07

מול ויתר

BD = 2 \cdot BO \approx 10.14

האלכסונים חוצים זה את זה

$BD \approx 10.14$ ס״מ. $BD$ מול הזווית החדה $A$ , ולכן הוא הקצר. עבודה עם $50^\circ$ במקום $25^\circ$ נותנת אלכסון ארוך מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אריח קרמיקה בצורת מעוין $ABCD$ . צלע האריח $12$ ס״מ, והזווית $\angle DAB = 50^\circ$ . האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . ב. חשבו את האלכסון הארוך $AC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.75

הפתרון:

AO = 12\cos 25^\circ \approx 10.88

ליד ויתר, באותו משולש $AOB$

AC = 2 \cdot AO \approx 21.75

כפול

$AC \approx 21.75$ ס״מ. בדיקה בפיתגורס: $10.88^2 + 5.07^2 \approx 144 = 12^2$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אריח קרמיקה בצורת מעוין $ABCD$ . צלע האריח $12$ ס״מ, והזווית $\angle DAB = 50^\circ$ . האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . ג. חשבו את שטח האריח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110.31

הפתרון:

S = \frac{AC \cdot BD}{2} \approx \frac{21.75 \cdot 10.14}{2} \approx 110.31

שטח מעוין: מכפלת האלכסונים חלקי $2$

S = 12^2 \sin 50^\circ \approx 110.31

בדיקה: מעוין הוא מקבילית ✓

השטח $\approx 110.31$ סמ״ר. מי ששכח לחלק ב- $2$ קיבל פי $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אריח קרמיקה בצורת מעוין $ABCD$ . צלע האריח $12$ ס״מ, והזווית $\angle DAB = 50^\circ$ . האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . ד. כמה אריחים שלמים צריך לפחות כדי לכסות משטח של $1$ מ״ר, אם האריחים מונחים בלי רווחים ובלי חפיפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 91

הפתרון:

100 \cdot 100 = 10000

$1$ מ״ר בסמ״ר: ריבוע שצלעו $100$ ס״מ

\frac{10000}{110.31} \approx 90.65

חלוקה בשטח אריח אחד

\Rightarrow 91

מעגלים למעלה: חלק של אריח עדיין דורש אריח

$91$ אריחים. שתי מלכודות: לחלק $1$ ב- $110.31$ בלי להמיר מ״ר לסמ״ר, ולעגל למטה ל- $90$ , שלא מכסה את כל המשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev